山西能源学院：《传热学》课程教学资源（电子教案）6.1 相似原理与量纲分析 6.2 相似原理的应用

山西能源学院教案 授课班级」 授课时间 计2学时 课题（章节 及内容) 6.1相似原理与量纲分析、6.2相似原理的应用 教学目的 1. 理解相似理论在对流换热实验研究中的指导作用。 和要求 2.掌握基本的对流换热相似准则数的意义及它们间的函数关系。 3.掌握常见相似准则数的物理意义。 重 难点 相似性质，相似准则数，准则数间关系，判断相似的条件。 教学进程 教学内容： (含课堂 1.几何相似，物理现象相似： 教学内容、 2.相似性质，相似准则数，准则数间关系，判断相似的条件。 教学方法、 3.常见相似准则数及其物理意义 辅助手段等) 教学方法：讲授与练习、启发讨论、诱导式、归纳总结法。 作业布置 无 主要 1.杨世铭陶文铨，《传热学》（第四版)，高等教育出版社，2006. 参考资料 2.章熙民、任泽霈等，《传热学》，中国建筑工业出版社，2014. 课后自我 在课堂教学中穿插一些生活实例.用力知学知识进行解释.使 总结分析 学生从根本上清楚原因，会提高学生的学习兴趣

1 山西能源学院教案 授课班级 授课时间 计 2 学时 课题（章节 及内容） 6.1 相似原理与量纲分析、6.2 相似原理的应用 教学目的 和要求 1. 理解相似理论在对流换热实验研究中的指导作用。 2. 掌握基本的对流换热相似准则数的意义及它们间的函数关系。 3. 掌握常见相似准则数的物理意义。 重 点 难 点 相似性质，相似准则数，准则数间关系，判断相似的条件。 教学进程 （含课堂 教学内容、 教学方法、 辅助手段等） 教学内容： 1. 几何相似，物理现象相似； 2. 相似性质，相似准则数，准则数间关系，判断相似的条件。 3. 常见相似准则数及其物理意义 教学方法：讲授与练习、启发讨论、诱导式、归纳总结法。 作业布置 无 主 要 参考资料 1.杨世铭 陶文铨，《传热学》（第四版），高等教育出版社，2006． 2.章熙民、任泽霈等，《传热学》，中国建筑工业出版社，2014． 课后自我 总结分析 在课堂教学中穿插一些生活实例.用力知学知识进行解释.使 学生从根本上清楚原因，会提高学生的学习兴趣

山西能源学院教案 6.1相似原理与量纲分析 由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量参数比较多，常常给 分析求解和实验研究带来困难。为此，人们常采用相似原则对换热过程的参数进 行归类处理，将物性量，几何量和过程量按物理过程的特征组合成无量纲的数， 这些数常称为准则。这样做的结果不仅仅减少了所研究问题的变量数目，而且给 求解对流换热问题（包括分析求解、实验求解及数值求解）带来了较大的方便。 下面我们将具体讨论对流换热过程的相似分析方法。 6.1.1物理现象相似的定义 如果同类物理现象之间所有同名物理量场都相似，即同名的物理量在所有对 应时间、对应地点的数值成比例，则称物理现象相似。 同类物理现象：具有相同性质、服从于同一自然规律、用形式和内容相同的 方程式来描写的物理现象。 相似：对于同类的物理现象，在相应的时刻与相应的地点上与现象有关的物 理量一对应成比例。 如果物理现象由Φ、Φ。、Φ。…等n个物理量来描述，则彼此相似的物理 现象就有个对应相似的物理量场，即在所有对应的时间和对应的地点， -=Coe 其中CoA、CB、CC 分别为各物理量的相似倍数。如果所有的相似倍数都 等于1，则两个物理现象完全相同。 对应地点：指空间坐标对应成比例的地点，也称为相似地点。 3* 0.75 050 0.75 0.25 0.50 029 相似地点： R'd'1' 凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可用一个统一的无量纲的场来表 示。 2

2 山西能源学院教案 6.1 相似原理与量纲分析 由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量参数比较多，常常给 分析求解和实验研究带来困难。为此，人们常采用相似原则对换热过程的参数进 行归类处理，将物性量，几何量和过程量按物理过程的特征组合成无量纲的数， 这些数常称为准则。这样做的结果不仅仅减少了所研究问题的变量数目，而且给 求解对流换热问题（包括分析求解、实验求解及数值求解）带来了较大的方便。 下面我们将具体讨论对流换热过程的相似分析方法。 6.1.1 物理现象相似的定义 如果同类物理现象之间所有同名物理量场都相似，即同名的物理量在所有对 应时间、对应地点的数值成比例，则称物理现象相似。 同类物理现象：具有相同性质、服从于同一自然规律、用形式和内容相同的 方程式来描写的物理现象。 相似：对于同类的物理现象，在相应的时刻与相应的地点上与现象有关的物 理量一一对应成比例。 如果物理现象由ΦA、ΦB、ΦC……等 n 个物理量来描述，则彼此相似的物理 现象就有 n 个对应相似的物理量场，即在所有对应的时间和对应的地点， 其中 CΦA、CΦB、CΦC 分别为各物理量的相似倍数。如果所有的相似倍数都 等于 1，则两个物理现象完全相同。 对应地点：指空间坐标对应成比例的地点，也称为相似地点。 相似地点： 凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可用一个统一的无量纲的场来表 示

6.1.2相似原理的基本内容 一、相似性质 彼此相似的现象，它们的同名相似准则必定相等。 导出相似准则（特征数）的两种方法： (1)相似分析法：数学模型无量纲化 (2)量纲分析法 1.相似分析法 若两流体的运动现象相似，其雷诺数Re必定相等。（从动量微分方程） Re'=Re" 从能量微分方程，如两热量传递现象相似， Pe'=Pe" (贝克来数) 这里， l Pe=Pr Re= 9 对于自然对流流动，动量微分方程需增加体积力项， gae+v 02u OX ay2 式中，a为流体的体胀系数，日=t-tn为过余温度。 对此式进行相似分析，可得格拉晓夫数 Gr=ga41月 v2 2.量纲分析法 Π(Buckingham pi)定理：一个表示n个物理量间关系的量纲一致的方程 式，一定可以转换成包含-r个独立的无量纲物理量群间的关系式。r指n个物 理量中所涉及到的基本量纲的数目。 以单相介质管内对流换热问题为例，应用量纲分析法来导出无量纲量。 h=f(u,d,,n,p,cn） (1)列出各物理量的量纲，选定基本物理量。 本例7个物理量，量纲包括4个基本量的量纲： T、L、M、⊙，即n=7,r=4 选定的基本物理量的量纲必须包括上述4个基本量的量纲。这里选用

3 6.1.2 相似原理的基本内容 一、相似性质 彼此相似的现象，它们的同名相似准则必定相等. 导出相似准则（特征数）的两种方法： （1）相似分析法：数学模型无量纲化 （2）量纲分析法 1. 相似分析法 若两流体的运动现象相似，其雷诺数 Re 必定相等。（从动量微分方程） Re  Re 从能量微分方程，如两热量传递现象相似， Pe  Pe （贝克来数） 这里， 对于自然对流流动，动量微分方程需增加体积力项， 式中， 为流体的体胀系数，   t  t 为过余温度。 对此式进行相似分析，可得格拉晓夫数 2. 量纲分析法 Π（Buckingham pi）定理：一个表示 n 个物理量间关系的量纲一致的方程 式，一定可以转换成包含 n-r 个独立的无量纲物理量群间的关系式。r 指 n 个物 理量中所涉及到的基本量纲的数目。 以单相介质管内对流换热问题为例，应用量纲分析法来导出无量纲量。  ( , ,,,, )p h f u d c （1）列出各物理量的量纲，选定基本物理量。 本例 7 个物理量，量纲包括 4 个基本量的量纲： T、L、M 、 ，即 n=7,r=4 选定的基本物理量的量纲必须包括上述 4 个基本量的量纲。这里选用

u、 d、及n。 (2)将基本量逐一与其余各量组成无量纲量。无量纲量采用幂指数形式表 示，其中指数值待定字母π表示无量纲量。 π1=hud9λ9n4 π2=pu产d9n π3=c,产d9n (3)应用量纲和谐原理来决定上述待定指数。以π：为例可列出各物理量的 量纲如下： dim=MOT:dimd =L dim h MeT-:dimn =MT- dimu LT- 由此， 元1=L月+4+9-4/9+4+101-9T-4-4-39-3 得 [a+6+c-d4=0 a=0 9+d,+1=0 6=1 -1-9=0 9=-1 -a-d,-3c-3=0 d,=0 故有 元=hud2n°= hd =Nu 类似地可得 π2= pud =Re n π3= ncp=Pr 入 至此，原关系式可转化为 Nu f(Re,Pr) 二、相似准则（特征数）间的关系

4 u、d、及 。 （2）将基本量逐一与其余各量组成无量纲量。无量纲量采用幂指数形式表 示，其中指数值待定字母π表示无量纲量。 （3）应用量纲和谐原理来决定上述待定指数。以π1为例可列出各物理量的 量纲如下： 由此， 得， 故有 类似地可得 至此，原关系式可转化为 二、相似准则（特征数）间的关系

描述现象的微分方程式表达了各物理量之间的函数关系，那么由这些量组成 的相似特征数间应存在函数关系 例如：无相变受迫稳态对流换热，当自然对流不可忽略时，有如下准则数组 成Nu=f(Re,Pr,Gr) 受迫流动，自然对流可忽略时Nu=f(Re,Pr) 对空气Pr可作为常数，Nu=f(Re) 自然对流换热Nu=f(Pr,Gr) 由于彼此相似物理现象的同名相似特征数相等，所以相似物理现象的解必定 用同一个特征数关联式来描写，从一个物理现象所得到的特征数关联式一定适用 于与其相似的所有物理现象。 三、判别相似的条件 根据物理现象相似的定义和性质，可以得出物理现象相似必须满足3个条 件： 1)同类现象； 2)单值性条件相似： 3)同名已定特征数相等。 6.2相似原理的应用 相似原理回答了进行对流换热实验研究所必须解决的3个主要问题：如何安 排试验：怎样整理实验数据：实验结果的适用性。 相似原理阐明了实验结果应整理成准则数间的关系式，但具体的函数形式以 及定性温度和特征长度的确定，则带有经验的性质。 在对流换热研究中，幂函数形式很常用，如 Nu C Re" Nu =C Re"Pr Ig Nu 1g Re 图5-14Nu=CRe双对数图图示 实验数据很多时，最好的方法是用最小二乘法确定关联式中各常数值。 相似原理的另一个重要应用是指导模化试验。 模化试验：用不同于实物几何尺寸的模型（一般是缩小的模型）来研究实际 5

5 描述现象的微分方程式表达了各物理量之间的函数关系，那么由这些量组成 的相似特征数间应存在函数关系 例如：无相变受迫稳态对流换热，当自然对流不可忽略时，有如下准则数组 成 Nu  f Re,Pr,Gr 受迫流动，自然对流可忽略时 Nu  f Re,Pr 对空气 Pr 可作为常数， Nu  f Re 自然对流换热 Nu  f Pr,Gr 由于彼此相似物理现象的同名相似特征数相等，所以相似物理现象的解必定 用同一个特征数关联式来描写，从一个物理现象所得到的特征数关联式一定适用 于与其相似的所有物理现象。 三、判别相似的条件 根据物理现象相似的定义和性质，可以得出物理现象相似必须满足 3 个条 件： 1) 同类现象； 2) 单值性条件相似； 3) 同名已定特征数相等。 6.2 相似原理的应用 相似原理回答了进行对流换热实验研究所必须解决的 3 个主要问题：如何安 排试验；怎样整理实验数据；实验结果的适用性。 相似原理阐明了实验结果应整理成准则数间的关系式，但具体的函数形式以 及定性温度和特征长度的确定，则带有经验的性质。 在对流换热研究中，幂函数形式很常用，如  Re n Nu C  Re Pr n m Nu C 实验数据很多时，最好的方法是用最小二乘法确定关联式中各常数值。 相似原理的另一个重要应用是指导模化试验。 模化试验：用不同于实物几何尺寸的模型（一般是缩小的模型）来研究实际

装置中所进行的物理过程的试验。要求对过程有决定性影响的条件满足相似原理 的要求。一般物性场的相似通过引入定性温度来实现。 使用特征数方程时应注意以下几个问题： (1)特征长度按该准则式规定的方式选取。如管内流（内径）和管外流（外 径)。 (2)定性温度按该准则式规定的方式选取。如内部流与外部流。 (3)特征速度按该准则式规定的方式选取。 (4)准则方程不能任意推广到得到该方程的实验参数的范围之外。如R 数范围、Pr数范围、几何参数范围等。 6

6 装置中所进行的物理过程的试验。要求对过程有决定性影响的条件满足相似原理 的要求。一般物性场的相似通过引入定性温度来实现。 使用特征数方程时应注意以下几个问题： （1）特征长度按该准则式规定的方式选取。如管内流（内径）和管外流（外 径）。 （2）定性温度按该准则式规定的方式选取。如内部流与外部流。 （3）特征速度按该准则式规定的方式选取。 （4）准则方程不能任意推广到得到该方程的实验参数的范围之外。如 Re 数范围、Pr 数范围、几何参数范围等