第8章非线性回归 81可化为线性回归的曲线回归 82多项式回归 83非线性模型 84本章小结与评注
第8章 非线性回归 8.1 可化为线性回归的曲线回归 8.2 多项式回归 8.3 非线性模型 8.4 本章小结与评注
§8.1可化为线性回归的曲线回归 可线性化的曲线回归模型,也称为本质线性回归模型 y=Bo+g 1e + e (8.1) 只须令x′=ex即可化为y对x′是线性的形式 厂=βa+B1x′+e 需要指出的是,新引进的自变量只能依赖于原始变量, 而不能与未知参数有关
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 y=β0+β1e x +ε （8.1） 可线性化的曲线回归模型, 也称为本质线性回归模型 只须令x′=ex 即可化为y对x′ y=β0+β1x′+ε 需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量， 而不能与未知参数有关
§8.1可化为线性回归的曲线回归 BotB ctp 25 +.+Nxp+e (8.2) 令x1=x,x2=x2,…,x=xP, 于是得到关于x1,x2,…,x的线性表达式 y-Bo+Bx1+B 2x2++B xp+e (82)式本来只有一个自变量x,是一元p次多项式回归, 在线性化后,变为P元线性回归
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 y=β0+β1x+β2x 2+…+βpx p +ε （8.2） 令x1 =x,x2 =x 2 ,…，xp =x p， 于是得到y关于x1,x2,…，xp y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp +ε (8.2)式本来只有一个自变量x，是一元p次多项式回归， 在线性化后，变为p元线性回归
§8.1可化为线性回归的曲线回归 可线性化的曲线回归模型,也称为本质线性回归模型 y=aeo xea (83) 对等式两边同时取自然对数,得: Iny=lna+bx+ e 令y′=1ny,B=1na,B1=b, 于是得到y′关于x的一元线性回归模型 y'=Bo+BiX+e
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 y=aeb xe ε （8.3） 可线性化的曲线回归模型, 也称为本质线性回归模型 对等式两边同时取自然对数，得： lny=lna+bx+ε 令y′=lny, β0=lna,β1 =b, 于是得到y′关于x的一元线性回归模型 y′=β0+β1x+ε
§8.1可化为线性回归的曲线回归 不可以线性化的曲线回归模型,也称为本质非线性回归模型 abx+e (8.4) 当b未知时,不能通过对等式两边同时取自然对数的 方法将回归模型线性化,只能用非线性最小二乘方法求解。 (83)式的误差项称为乘性误差项 (84)式的误差项称为加性误差项。 个非线性回归模型是否可以线性化,不仅与回归函数的 形式有关,而且与误差项的形式有关
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 不可以线性化的曲线回归模型, 也称为本质非线性回归模型 y= ae b x +ε （8.4） 当b未知时，不能通过对等式两边同时取自然对数的 方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。 (8.3)式的误差项称为乘性误差项 (8.4)式的误差项称为加性误差项。 一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的 形式有关，而且与误差项的形式有关
§8.1可化为线性回归的曲线回归 在对非线性回归模型线性化时,总是假定误差项的形 式就是能够使回归模型线性化的形式,为了方便,常常省 去误差项,仅写出回归函数的形式 例如把回归模型(8.3)式 y-aedree 简写为 aeb x
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 在对非线性回归模型线性化时，总是假定误差项的形 式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便，常常省 去误差项，仅写出回归函数的形式。 例如把回归模型（8.3）式 y=ae b xe ε 简写为 y=ae b x
§8.1可化为线性回归的曲线回归 英文名称 中文名称 方程形式 Linear 线性函数 bo+bit Logarithm对数函数 y=botbiInt SPSS软件 Ir nverse 逆函数 botb/t Quadratic 次曲线yb+bt+bt2 给出的10种 Cubic 次曲线 y=bott+b2t+but 常见的可线 Power 幂函数 y=bot 性化的曲线 Compound 复合函数 bo b 回归方程 s型函数y=exp(+b) Logistic 逻辑函数 +bb u是预先给定的常数 Growth 增长曲线 y=exp (bott Exponent 指数函数 y=boexp(bit
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 SPSS软件 给出的10种 常见的可线 性化的曲线 回归方程 英文名称 中文名称 方程形式 Linear 线性函数 y=b0+b1t Logarithm 对数函数 y=b0+b1lnt Inverse 逆函数 y=b0+b1/t Quadratic 二次曲线 y=b0+b1t+b2t 2 Cubic 三次曲线 y=b0+b1t+b2t 2 +b3t 3 Power 幂函数 y=b0 b1 t Compound 复合函数 y=b0 t b1 S S 型函数 y=exp(b0+b1/t) Logistic 逻辑函数 t b0 b1 u 1 1 y + = u 是预先给定的常数 Growth 增长曲线 y=exp(b0+b1t) Exponent 指数函数 y=b0exp(b1t)
§8.1可化为线性回归的曲线回归 除了以上SPSS软件中收入的几种曲线回归外 另外几种其他常用的曲线回归,例如 1.双曲函数 y ax+b 或等价地表示为 =atb
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 除了以上SPSS软件中收入的几种曲线回归外， 另外几种其他常用的曲线回归,例如 1. 双曲函数 ax b x y + = 或等价地表示为 x a b y 1 1 = +
§8.1可化为线性回归的曲线回归 (a>0,b>0 (a>0,b<0) (a)双曲函数
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 (a>0, b>0)
§8.1可化为线性回归的曲线回归 2.S型曲线 y atbe 此S型曲线当a>0,b>0时,是x的增函数。 当x→+∞时,y→l1a;x→-∞时,y-→0。 y=0与y=1/a是这条曲线的两条渐进线。 S型曲线有多种,其共同特点是曲线首先是缓慢增长,在达 到某点后迅速增长,在超过某点后又变为缓慢增长,并且趋于 一个稳定值。 S型曲线在社会经济等很多领域都有应用,例如某种产品的 销售量与时间的关系,树木、农作物的生长与时间的关系等
§8.1 可化为线性回归的曲线回归 2. S型曲线 x a be y − + = 1 此S型曲线当a>0，b>0时，是x的增函数。 当x→+∞时，y→1/a ; x→-∞时，y→0。 y=0与y=1/a是这条曲线的两条渐进线。 S型曲线有多种，其共同特点是曲线首先是缓慢增长，在达 到某点后迅速增长，在超过某点后又变为缓慢增长，并且趋于 一个稳定值。 S型曲线在社会经济等很多领域都有应用，例如某种产品的 销售量与时间的关系，树木、农作物的生长与时间的关系等