《计算方法》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：19110052 课程名称：计算方法 英文名称：Computation Methods 课程类别：专业课 时：32（理论课：32） 学 分：2 适用对象：大二计算机科学与技术（人工智能方向）专业 考核方式：专试 先修课程：高等数学、线性代数、高级程序设计语言 二、课程简介 计算方法为计算机和信息类专业必修课之一，具有非常重要的地位。本课程的授 课对象为计算机科学与技术（人工智能方向）专业第四学期学生，课程总学时36学 时。本课程是一门理论与实践紧密结合的课程，通过学习使学生理解、掌握各种常用 数值方法建立的数学原理，构造方法和理论分析过程，掌握实际数值算法的基本方法 和一般原理，同时具有一定的解决实际问题的能力。 Calculation method is one of the compulsory courses for computer and information majors and has a very important position.This course is taught to students in the fourth semester of computer science and technology (artificial intelligence).The total course hours are36 hours.This course is a close combination of theory and practice.Through leaming students can understand and master the mathematical principles,construction methods and theoretical analysis processes established by various commonly used numerical methods. and master the basic methods and general principles of actual numerical algorithms.Certain ability tosolve practical problems 三、课程性质与教学目的 课程性质：古往今来，无数科学大家赞美数学，数学是他们研究的基石，思考的 脉络，甚至是灵感的来源。这里列举了几个名人说的话： 英国的哲学家罗杰培根说：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知 识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严 重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措
1 《计算方法》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：19110052 课程名称：计算方法 英文名称：Computation Methods 课程类别：专业课 学 时：32（理论课：32） 学 分：2 适用对象：大二计算机科学与技术（人工智能方向）专业 考核方式：专试 先修课程：高等数学、线性代数、高级程序设计语言 二、课程简介 计算方法为计算机和信息类专业必修课之一，具有非常重要的地位。本课程的授 课对象为计算机科学与技术（人工智能方向）专业第四学期学生，课程总学时 36 学 时。本课程是一门理论与实践紧密结合的课程，通过学习使学生理解、掌握各种常用 数值方法建立的数学原理，构造方法和理论分析过程，掌握实际数值算法的基本方法 和一般原理，同时具有一定的解决实际问题的能力。 Calculation method is one of the compulsory courses for computer and information majors and has a very important position. This course is taught to students in the fourth semester of computer science and technology (artificial intelligence). The total course hours are 36 hours. This course is a close combination of theory and practice. Through learning, students can understand and master the mathematical principles, construction methods and theoretical analysis processes established by various commonly used numerical methods, and master the basic methods and general principles of actual numerical algorithms. Certain ability to solve practical problems. 三、课程性质与教学目的 课程性质：古往今来，无数科学大家赞美数学，数学是他们研究的基石，思考的 脉络，甚至是灵感的来源。这里列举了几个名人说的话： 英国的哲学家罗杰⋅培根说：数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知 识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严 重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措
施。黑格尔说：数学是上帝描述自然的符号。恩格斯说：要辩证而又唯物地了解自然， 就必须学握数学。你看两位哲学家的观点一致，为什么必须掌握数学才能辩证而又 物地了解自然呢，因为数学是上帝描述自然的符号，你只有掌握这种语言符号，才能 进一步了解自然。所以，作为“计算机之父”（同时也是数学家）的冯诺依曼说：数学 处于人类智慧的中心领域。所以我们要学握好数学，从而对其他边缘领域降维打击”。 历史证明，数学实力往往影响着国家实力，世界强国，必然是数学强国。数学对 于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需 求。 计算方法是数学学科的一个分支，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的 数学课程，也是科学计算的基础。计算方法是以各类数学问题的数值解法作为研究对 象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供基本 的算法。 教学要求：计管方法是计算机科学与技术（人工智能方向）专业的一门主要专业 基础课程。通过本课程的学习，使学生理解并掌握现代科学计算中常用的数值计算方 法及其原理，包括线性方程组的数值解、非线性方程（组）的数值解法、插值法、函 数的最佳一致逼近与最佳平方逼近、曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程的 数值解法以及数值求解矩阵的特征值与特征向量等：并通过实践操作熟练数值方法与 一些数学软件的结合运用，达到理论与实践的和谐统一。为解决科学与工程中的实际 问题打好基础，同时为后继课程的学习提供必要的知识 四、教学内容及要求 第一章数值分析与科学计算引论 (一)目的与要求 1.掌握绝对误差、相对误差与有效数字的定义： 2.了解误差的来源 (二)教学内容 第一节：数值分析的对象、作用与特点 1.数学科学与数值分析： 2.计算数学与科学计算 3.计算方法与计算机： 4.数值问题与算法。 第二节：数值计算的误差 1.误差来源与分类： 2.误差与有效数字 3.数值运算的误差估计。 2
2 施。黑格尔说：数学是上帝描述自然的符号。恩格斯说：要辩证而又唯物地了解自然， 就必须掌握数学。你看两位哲学家的观点一致，为什么必须掌握数学才能辩证而又唯 物地了解自然呢，因为数学是上帝描述自然的符号，你只有掌握这种语言符号，才能 进一步了解自然。所以，作为“计算机之父”（同时也是数学家）的冯诺依曼说：数学 处于人类智慧的中心领域。所以我们要掌握好数学，从而对其他边缘领域“降维打击”。 历史证明，数学实力往往影响着国家实力，世界强国，必然是数学强国。数学对 于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需 求。 计算方法是数学学科的一个分支，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的 数学课程，也是科学计算的基础。计算方法是以各类数学问题的数值解法作为研究对 象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供基本 的算法。 教学要求：计算方法是计算机科学与技术（人工智能方向）专业的一门主要专业 基础课程。通过本课程的学习，使学生理解并掌握现代科学计算中常用的数值计算方 法及其原理，包括线性方程组的数值解、非线性方程（组）的数值解法、插值法、函 数的最佳一致逼近与最佳平方逼近、曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程的 数值解法以及数值求解矩阵的特征值与特征向量等；并通过实践操作熟练数值方法与 一些数学软件的结合运用，达到理论与实践的和谐统一。为解决科学与工程中的实际 问题打好基础，同时为后继课程的学习提供必要的知识。 四、教学内容及要求 第一章 数值分析与科学计算引论 （一）目的与要求 1．掌握绝对误差、相对误差与有效数字的定义； 2．了解误差的来源。 （二）教学内容 第一节：数值分析的对象、作用与特点 1．数学科学与数值分析； 2．计算数学与科学计算； 3．计算方法与计算机； 4．数值问题与算法。 第二节：数值计算的误差 1．误差来源与分类； 2．误差与有效数字； 3．数值运算的误差估计
第三节：误差定性分析与避免误差危害 1.算法的数值稳定性： 2.病态问题与条件数 3.避免误差危害。 第四节：数值计算中算法设计的技术 1.多项式求解的秦九韶算法： 2.供代法与开方求值： 3.以直代曲与化整为“零” 4.加权平均的松靴技术 第五节：数学软件 第六节：张恭庆院士文章《数学与国家实力》分享 (三)重点与难点 重点：绝对误差、相对误差 难点：有效数字、算法的稳定性 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第二章插值法 (一)目的与要求 1.理解并掌握拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值的构造和计算 2.掌握分段低次插值和三次样条插值的构造思想、特点和计算方法： 3.了解上述插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计： 4.了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。 (二)教学内容 第一节：引言 1.插值问题的提出： 2.多项式插值。 第二节：拉格朗日插值 1.线性插值与抛物线插值： 2.拉格朗日插值多项式： 3.插值余项与误差估计。 第三节：均差与牛顿插值多项式 1.插值多项式的逐次生成： 2.均差及其性质： 3.牛顿插值多项式 4,差分形式的牛顿插值公式。 3
3 第三节：误差定性分析与避免误差危害 1. 算法的数值稳定性； 2. 病态问题与条件数； 3. 避免误差危害。 第四节：数值计算中算法设计的技术 1. 多项式求解的秦九韶算法； 2. 迭代法与开方求值； 3. 以直代曲与化整为“零”； 4. 加权平均的松驰技术。 第五节：数学软件 第六节：张恭庆院士文章《数学与国家实力》分享 （三）重点与难点 重点：绝对误差、相对误差。 难点：有效数字、算法的稳定性。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第二章 插值法 （一）目的与要求 1．理解并掌握拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值的构造和计算 2．掌握分段低次插值和三次样条插值的构造思想、特点和计算方法； 3．了解上述插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计； 4．了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。 （二）教学内容 第一节：引言 1．插值问题的提出； 2．多项式插值。 第二节：拉格朗日插值 1．线性插值与抛物线插值； 2．拉格朗日插值多项式； 3．插值余项与误差估计。 第三节：均差与牛顿插值多项式 1. 插值多项式的逐次生成； 2. 均差及其性质； 3. 牛顿插值多项式； 4. 差分形式的牛顿插值公式
第四节：埃尔米特插值 1.重节点均差与泰勒插值： 2.两个典型的埃尔米特插值。 第五节：分段低次插值 1.高次插值的病态性质！ 2.分段线性插值： 3.分段三次埃尔米特插值 第六节：三次样条插值 1.三次样条函数： 2.样条插值函数的建立 3.误差界与收敛性 (三)重点与难点 重点：插值的概念，插值平均的概念，代数精度的概念 难点：不同插值算法的构造方法、思想及特点。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第三章解线性方程组的直接方法 (·)目的与要求 1.了解线性方程组的高斯消去法，列主元法 三解分解法等 2.理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组： 3.了解特殊线性方程组的追赶法。 (二)教学内容 第一节：引言与预备知识 1.引言： 2.向量和矩阵 3.特殊矩阵。 第二节：高斯消去法 1.高斯消去法： 2.矩阵的三角分解。 第三节：高斯主元素消去法 1.列主元素消去法： 2.高斯-若当消去法 第四节：矩阵三角分解法 1.直接三角分解法： 2.平方根法：
4 第四节：埃尔米特插值 1. 重节点均差与泰勒插值； 2. 两个典型的埃尔米特插值。 第五节：分段低次插值 1. 高次插值的病态性质； 2. 分段线性插值； 3. 分段三次埃尔米特插值。 第六节：三次样条插值 1. 三次样条函数； 2. 样条插值函数的建立； 3. 误差界与收敛性。 （三）重点与难点 重点：插值的概念，插值平均的概念，代数精度的概念。 难点：不同插值算法的构造方法、思想及特点。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第三章 解线性方程组的直接方法 （一）目的与要求 1．了解线性方程组的高斯消去法，列主元法，三解分解法等； 2．理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组； 3．了解特殊线性方程组的追赶法。 （二）教学内容 第一节：引言与预备知识 1．引言； 2．向量和矩阵； 3．特殊矩阵。 第二节：高斯消去法 1．高斯消去法； 2．矩阵的三角分解。 第三节：高斯主元素消去法 1．列主元素消去法； 2．高斯-若当消去法。 第四节：矩阵三角分解法 1．直接三角分解法； 2．平方根法；
3.追赶法。 第五节：向量和矩阵的范数 第六节：误差分析 1.矩阵的条件数 2.迭代改善法】 (三)重点与难点 重点：高斯消去法、列主元素消去法： 难点：直接三角分解法、平方根法、追赶法。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第四章解线性方程组的迭代法 (一)目的与要求 1.掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法 2.理解这些方法的构造过程以及适用范围： 3.能判定雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法的敛散性 (二)教学内容 第一节：引言 第二节：基本迭代法 1.雅可比迭代法 2.高斯-塞德尔迭代法： 3.解大型稀疏线性方程组的逐次超松驰迭代法 第三节：迭代法的收敛性 1. 一阶定常迭代法的基本定理： 2.关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性。 第四节：分块迭代法 (三)重点与难点 重点：解线性方法组迭代法的构造方法。 难点：上沭方法敛散性的判定 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第五章非线性方程求根 (一)目的与要求 1.掌握非线性方程根的二分区间法、牛顿法： 2.理解这些方法的构造特点、收敛速度及适用范围： 3.了解局部收敛及收敛阶的概念 5
5 3．追赶法。 第五节：向量和矩阵的范数 第六节：误差分析 1．矩阵的条件数； 2．迭代改善法。 （三）重点与难点 重点：高斯消去法、列主元素消去法； 难点：直接三角分解法、平方根法、追赶法。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第四章 解线性方程组的迭代法 （一）目的与要求 1．掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法； 2．理解这些方法的构造过程以及适用范围； 3．能判定雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法的敛散性。 （二）教学内容 第一节：引言 第二节：基本迭代法 1．雅可比迭代法； 2．高斯-塞德尔迭代法； 3．解大型稀疏线性方程组的逐次超松驰迭代法。 第三节：迭代法的收敛性 1. 一阶定常迭代法的基本定理； 2. 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性。 第四节：分块迭代法 （三）重点与难点 重点：解线性方法组迭代法的构造方法。 难点：上述方法敛散性的判定。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学。 第五章 非线性方程求根 （一）目的与要求 1．掌握非线性方程根的二分区间法、牛顿法； 2．理解这些方法的构造特点、收敛速度及适用范围； 3．了解局部收敛及收敛阶的概念
4.掌握不动点迭代原理。 (二)教学内容 第一节：方程求根与二分法 1.引言： 2.二分法。 第二节：迭代法及其收敛性 1.不动点迭代法： 2.不动点的存在性与迭代法的收敛性： 3.局部收敛性与收敛阶。 第三节：迭代收敛的加速方法 1.埃特金加速收敛方法 2.斯蒂芬森迭代法。 第四节：牛顿法 1.牛顿法及其收敛性： 2.牛顿法应用举例： 3.简化牛顿法与牛顿下山法： 4.重根情形。 第五节：弦截法与抛物线法 1.弦截法： 2.抛物线法。 第六节：解非线性方程组的牛顿迭代法 (三)重点与难点 重点：二分法、牛顿法的原理及构造 难点：收敛阶、收敛速度分析：不动点原理。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、上机实验。 第六章矩阵特征值问题计算 (一)目的与要求 1.学握幂法及反幂法的构造方法： 2.理解豪斯霍尔德、QR方法的构造原理。 (二)教学内容 第一节：引言 第二节：幂法及反幂法 1.幂法： 2.加速方法 6
6 4．掌握不动点迭代原理。 （二）教学内容 第一节：方程求根与二分法 1．引言； 2．二分法。 第二节：迭代法及其收敛性 1．不动点迭代法； 2．不动点的存在性与迭代法的收敛性； 3．局部收敛性与收敛阶。 第三节：迭代收敛的加速方法 1. 埃特金加速收敛方法； 2. 斯蒂芬森迭代法。 第四节：牛顿法 1. 牛顿法及其收敛性； 2. 牛顿法应用举例； 3. 简化牛顿法与牛顿下山法； 4. 重根情形。 第五节：弦截法与抛物线法 1. 弦截法； 2. 抛物线法。 第六节：解非线性方程组的牛顿迭代法 （三）重点与难点 重点：二分法、牛顿法的原理及构造。 难点：收敛阶、收敛速度分析；不动点原理。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、上机实验。 第六章 矩阵特征值问题计算 （一）目的与要求 1．掌握幂法及反幂法的构造方法； 2．理解豪斯霍尔德、QR 方法的构造原理。 （二）教学内容 第一节：引言 第二节：幂法及反幂法 1．幂法； 2．加速方法；
3.反幂法。 第三节：豪斯霍尔德方法 1.引言： 2.用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵： 3.用正交相似变换约化对称阵为对称三解阵。 第四节：QR方法 1.QR算法： 2.带原点位移的QR方法： 3.用单步Q方法计算上海森伯格阵特征值： 4.双步QR方法。 (三)重点与难点 重点：幂法、反振法、加速方法 难点：豪斯霍尔德、QR方法。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、上机实验。 五、各教学环节学时分配 敢学环节 效 习 效 其他 教学时数 论 实验 实习 教学 环节 课程内容 第一章：绪论 第二章：插值法 第三章：解线性方法组的 2 直接方法 第四章：解线性方程组的 迭代法 第五章：非线性方程求根 6 6 第六章：矩阵特征值问题 6 计算 合计 32 六、课程考核 (一)考核方式：考试
7 3．反幂法。 第三节：豪斯霍尔德方法 1. 引言； 2. 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵； 3. 用正交相似变换约化对称阵为对称三解阵。 第四节：QR 方法 1. QR 算法； 2. 带原点位移的 QR 方法； 3. 用单步 QR 方法计算上海森伯格阵特征值； 4. 双步 QR 方法。 （三）重点与难点 重点：幂法、反幂法、加速方法。 难点：豪斯霍尔德、QR 方法。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、上机实验。 五、各教学环节学时分配 教学环节 教学时数 课程内容 讲 课 习 题 课 讨 论 课 实验 实习 其他 教学 环节 小 计 第一章：绪论 2 2 第二章：插值法 4 4 第三章：解线性方法组的 直接方法 4 2 6 第四章：解线性方程组的 迭代法 6 2 8 第五章：非线性方程求根 6 6 第六章：矩阵特征值问题 计算 4 2 6 合计 26 32 六、课程考核 （一）考核方式:考试
(二)成绩构成 平时成绩占比：40% 期末考试占比：60% (三)成绩考核标准 平时成绩主要由学生考勤、平时作业及实验报告三部分组成：期末考试主要考查学生 对所讲授内容的掌握情况。 七、推荐教材和教学参考资源 教材： [1]李庆扬，王能超，易大义。数值分析（第5版）[们.北京：清华大学出版社， 2008. 参考书： [l]Timothy Sauer(裴玉茹等译).Numerical Analysis(中文名：数值分析， 原书第2版)[.机械工业出版社，2014. [2]张诚坚，何南忠，覃婷婷。计算方法（第二版）[M.高等教有出版社，2016. [3]莫勒（喻文健译），Matlab数值计算[.机械工业出版社，2006. 八、其他说明 大纲修订人：周锋 修订日期：2022.12 大纲审定人：王志坚 审定日期：2022.1.6
8 （二）成绩构成 平时成绩占比： 40% 期末考试占比：60% （三）成绩考核标准 平时成绩主要由学生考勤、平时作业及实验报告三部分组成；期末考试主要考查学生 对所讲授内容的掌握情况。 七、推荐教材和教学参考资源 教材： [1] 李庆扬，王能超，易大义。数值分析（第 5 版）[M].北京：清华大学出版社， 2008. 参考书： [1] Timothy Sauer（裴玉茹等译）. Numerical Analysis （中文名：数值分析， 原书第 2 版）[M]. 机械工业出版社，2014. [2] 张诚坚，何南忠，覃婷婷。 计算方法（第二版）[M]. 高等教育出版社，2016. [3] 莫勒（喻文健译）. Matlab 数值计算[M]. 机械工业出版社，2006. 八、其他说明 大纲修订人：周锋 修订日期：2022.1.2 大纲审定人：王志坚 审定日期：2022.1.6