同心圆柱套筒间接触热阻研究(Ⅰ):数学模型.pdf_大学文库

第 1 8卷第 4期 1 9 9 6年 8 月北京科技大学学报 J o u r n a l o f U o i v e r s iyt o f S e i e n c e a n d T e e h n o l o yg B e ij ni g V o l . 1 8 N 0 . 4 A u g . 1 9 96 同心圆柱套筒间接触热阻研究 ( 工) : 数学模型殷晓静 ’ ) 注 . D 塔 i o v a n n i ’ ) l) 北京科技大学热能系 , 北京 10 0 0 8 3 2 ) L EM T ^ 一则p L 一 F arn e e 摘要建立了同心圆柱套筒表面间相互接触的粗糙单元体的三维稳态导热数学模型 , 给出了数学解析方法和接触热阻的解析表达式 . 结果表明 , 单元体的稳态热传导可表达为一个由接触缝隙间流体的热阻、粗糙热阻和收缩热阻构成的模拟电网络 . 关键词接触热阻 , 热传导 , 数学模型中图分类号 T K . 12 4 迄今为止 , 绝大部分的研究工作是针对两个平板间的接触热阻进行的 , 并且取得了许多重要成果 {l, “ 〕 , 而两个曲面间接触热阻的研究尚不多见 3[] . 本文提出了同心圆柱套筒间接触热阻的三维稳态传热数学模型 . 根据这个模型一方面可以用来将两个曲面间的接触热阻简捷地表达为 3 个特殊热阻的传热网络 , 另一方面可以分析材料的力学性能、几何参数及热物性参数对接触热阻的影响 . 1 数学描述当两个固体表面接触时 , 由于粗糙的存在 , 接触点之间被孔隙隔开 , 在多数情况下 , 这些孔隙是充满流体的 . 几何上 , 两个同心圆柱表面间的接触可以模化为许许多多的单元体间的接触 ; 在每个单元体中 , 将实际接触表面定义为单元体中心 , 非接触部分被流体隔开 . 图 l 中给出了文中所用到的几何参数符号 . 单元体中的稳态热传导过程由以下偏微分方程组描述 : 刁, kT l 己兀 l 己,兀己, 兀 - 不 -二犷十 : 丁戈一如十 - 二 -又二: 二 + - 不 , 气二二口 r ` I 口 r r ` 口口 ` 口艺` } 几巾( 0 < 口 ` 口 o ( k = l : R 。 < r < R 。 + I L,. k = 2 : R 。 + l ; < r < R 。丰 l , + 几) ( 1) T , = 不 ( r = R。 ) ( l a ) = eT ( r = R 。 + 1 . + 1 2 ) ( l b ) 几k (己兀 / 己r ) = , 0 < z ` b , r = R o + 一中 (0 < e < 氏力 < , < a ;0 < 0 < l , , k = l , 2 ) 0 。 , 0 < z ` b : r = R 。 + 1 1 , k = l , 2 ) ( I c ) 己爪/ 。 z = o ( z = o , z 一 a , k 一 l , 2 ) 刁几 / 己o = o (0 = o , 口 = 0 。 , k = l , 2 ) ( l d ) ( l e ) 19 9 5 一 0 9 一 0 4 收稿第一作者女 39 岁博士副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1996. 04. 019

. 3 8 4 . 北京科技大学学报 1 99 6年 N o . 4 介质 2认 2 ) 介质 1林 , ) 巍娜断 1/ 4单元体 r 一 Z 断面图 1 粗糙单元体几何参数示意图 r 刁断面两层介质间的连续方程 : _ r R 。 + l , 天。 + 2 . 天。 + 2 1 T一关二中 ! = 长一 I n 二一井二一二二 + L 人 1 式。 + l , 一 0 1 = 七凡一2 R _ + 1 . + 占 . I n = 气 , 牛 , 止入。 + l - (2 ) ( o < 0 ` 0 , o < : ` b , r = R 。 + l , ) _ _ _ , 凡十 l , . 凡 + l , 十久 _ _ _ , _ _ _ _ , _ 1 . 一 1 , 二甲 - - - 万- - ID 二尸尸一寸` 一川户 ( U < 仃 < 仃八 . 口 < Z < a : 仃 < 口 < 仃~ U < 2 S D 二r = 式。十 l , , 人 r 人。 + l一 0 2 ’ 汀 ( 3 ) 其中=k 1 或 2 , 代表内层或外层介质 ; 又1 、礼和脸别为内层、外层以及夹层中流体的导热系数 · 模型的假设条件是 : (l ) 为了求解方便 , 交界面上的接触面和非接触面的热流为常数 ; (2) 交界面上的接触面以及非接触面上的热量传递是径向一维的 , 连续方程中的温度为接触面和非接触面上的平均温度 , 这样可将两种介质祸合传热问题作为两个独立的系统来求解 . 2 接触热阻的解析表达式两种介质中温度场的解析解可以分别表达为由式 ( 4) 和 (5) 所示的 3 项之和的形式 : T l ( r , 0 , z ) 一 iT + 中F : ( r , 0 , z ) + 巾 ’ 凡( r , 0 , z ) ( 4 ) (zT r,e , )z 一 eT + 巾凡(r, e,z 卜中 ’ 习 r,e ,)z (5) 在求解温度场的基础上 , 进而可以计算两种介质交界面上的平均温度 , 将其代人连续方程 (2 ) 和 (3) 后可得 : 、少、./刃. J J 少 6 ,入à少nn 了.、、.了、 .了、卜 eT = 叫 x + 撇声+ R ’ 〕 + 巾 ’ 卜 X + l(Y 一峭)] 不一 eT 一叫一撇户l(/ 一峭+) aY 川 + 中 ’ {爪明 / l( 一峭卜 l(Y 一峭) + R ’ 其中 : 卜导 in 丫 · 丫 I n 签黔 “ ’ 州 nI 瓦公气万十赞 I n 等护 R 。 + 1 . R 。 + l , + d , R 率 = — 1 1 二井一 : 一产凡 r 入。 + 1 1 一 o - ( 10 )

Vol.18 No.4 殷晓静等：同心圆柱套筒间接触热阻研究(I)力：数学模型 ·385· 9a9 含29然8+受+号 (11) vine abe 上述式中Y为单位面积介质的热阻；R'为单位面积介质接触部分的粗髓热阻；R·是孔隙内单位面积流体的热阻；X为单位面积的收缩热阻；H,HH,(i=I,2)是a、B、v、0。入a、 12/a的函数，且有：a=0Bo,B=ba,-0(R。+1)b,y,=lm/0o,n4=km/a,1=1,2,…,o, k=1,2,…,0. 接触热阻可以定义为两种介质实际接触时单元体总热阻？，与理想接触时单元体总热阻 6的差值，即： re=rT-ro (12) 根据总热阻的定义，则： rr=(T,-T)/{4ΦR。+19'b+4φ(R。+1)[8(a-b)+(8。-6')a]} (13) r。=Y14(R+1)9a] (14) 由式(6)和式(7)解出Φ和Φ'后代入式(12)即可获得接触热阻的表达式： 4,+19,am.=`二g+R'a8+RR1-9 R'a1-a)+R(1-2+X (15) 对于工程问题所研究的接触表面，不等式α邱≤0.1，即1-邱≈1是可以满足的.进而，又由于流体的导热系数通常总是小于或等于固体的导热系数，因此有： XRa邱<XR*(I-) 基于这两点讨论，单元体接触热阻可以表达为： re=rra+r)/(r+ra+r) (16) 其中r=R·/S是夹层中流体的热阻；r,=R'/S′为粗糙热阻；r4=X/S'为收缩热阻 S=4(R。+I)9a为单元体表观面积；S′=4(R。+1,)9'b为单元体实际接触面积. 显然，单元体中的稳态热传导可表达为一个由3个热阻构成的模拟电网络（图2）：粗糙热阻与收缩热阻串联后，与夹层中流体的热阻并联，每个热阻都具有十分明确的物理含义. 值得提出的是在粗糙热阻的支路上了出现 rt 另一种热阻一收缩热阻.从传热学角度而言，一个局部的三维传热问题被转化为一个总体上的一维传热问题. 图2小粗糙单元体的热阻网络 3收缩热阻从物理概念上，收缩热阻是由于接触表面的粗糙而引起热流线变形造成的.热流流经两个相互接触的表面时，实际接触的表面的热阻远小于被流体填充的孔隙的热阻，热流线发生变形和扭曲.其程度取决于实际接触面积与单元体表观面积的比值（心*=SS,且变形和扭曲的程度越大收缩热阻的值也就越大，收缩热阻是接触单元的几何参数和材料导热系数的函数.本文建议用函数A来描述收缩热阻，根据定义，单位表观面积上的收缩热阻可表

V 0 1 . 1 8 N 0 . 4 殷晓静等 : 同心圆柱套筒间接触热阻研究 ( 工:) 数学模型 . 3 8 5 . 艺 Z s i n , (刁kb )e 户 1 。觅o o a b 鱿 ; 从 * 、子 t 、二一` 十二一 ] 十夕流 1 凡: ` 昌 Z s i n Z v( 刀 ` ) (R 。 + 1 1 ) b v ) e o a 口 H : , 城 , 、 t , 二 es + 二` 、 ] 十肉九 ` 子寻 4 s i n Z v( 刀 ` ) s i n , (刀 * b )( R 。 + l : ) 0 ` H l* 从 * 、忌忌一- , 而不丽一一一可L + 育’ ( 1 1) 上述式中 Y为单位面积介质的热阻 ; R ` 为单位面积介质接触部分的粗糙热阻 ; R , 是孔隙内单位面积流体的热阻 ; X 为单位面积的收缩热阻 ; 拭。凡、代 , ( i一 l , 2) 是 a 、户、 , 、 0 、又 , a/ 、礼a/ 的函数 , 且有 : a =0 ’ 0/ 。 , 月一 b a/ , 间 ’ (R 。 + 人)乃 , v , 一玩 / 0 , 。 * 一玩 / a , l 一 1 , 2 , 一 , co , k = 1 , 2 , … , co . 接触热阻可以定义为两种介质实际接触时单元体总热阻 r T 与理想接触时单元体总热阻佗的差值 , 即 : r 。 = r : 一 r o ( 12 ) 根据总热阻的定义 , 则 : rT 一 (不一爪) / { 4 中 (R 。 + 1 1 )0 ` b + 4 中 ’ (尺。 + 2 1 ) [ 0 ’ ( a 一 b ) + (e 。一 e ’ ) a ]} ( 1 3 ) r0 一 Y / [ 4 ( R。 + 1 1 ) o o a ] ( 14 ) 由式 (6 ) 和式 ( 7) 解出中和中 ` 后代人式 ( 12) 即可获得接触热阻的表达式 : 4 (R 。 + 1 1 )o o a cr = XR ’ ( l 一峭) + XR ` 峭 + R ` R ’ ( l 一峭) R ’ 叨( l 一峭) + R ’ ( 1 一峭) 2 + X 对于工程问题所研究的接触表面 , 不等式叨 ` 0 . 1 , 即 l 一叨二 ( 15 ) l 是可以满足的 . 进而 , 又由于流体的导热系数通常总是小于或等于固体的导热系数 , 因此有 : xR ’ 叨 < XR ’ (l 一峭) 基于这两点讨论 , 单元体接触热阻可以表达为 : cr = r 荞 r c t + r 。 ) / ( r f + cr t + r公 ( 16 ) 其中 ; f一 R ’ / s 是夹层中流体的热阻 ; ; : 一 R ` / s ` 为粗糙热阻 ; : c t 一 x / s ` 为收缩热阻 S 一 4( R 。 +l ; )0 。为单元体表观面积 ; S ` =4 (R 。 + 汽)e ` b 为单元体实际接触面积 · 显然 , 单元体中的稳态热传导可表达为一个由 3 个热阻构成的模拟电网络 ( 图 2) : 粗糙热阻与收缩热阻串联后 , 与夹层中流体的热阻并联 , 每个热阻都具有十分明确的物理含义 . 值得提出的是在粗糙热阻的支路上了出现另一种热阻 — 收缩热阻 . 从传热学角度而言 , 一个局部的三维传热问题被转化为一个总体上的一维传热问题 . 图2 小粗糙单元体的热阻网络 3 收缩热阻从物理概念上 , 收缩热阻是由于接触表面的粗糙而引起热流线变形造成的 . 热流流经两个相互接触的表面时 , 实际接触的表面的热阻远小于被流体填充的孔隙的热阻 , 热流线发生变形和扭曲 . 其程度取决于实际接触面积与单元体表观面积的比值 ( : ’ = s 均 , 且变形和扭曲的程度越大收缩热阻的值也就越大 . 收缩热阻是接触单元的几何参数和材料导热系数的函数 . 本文建议用函数 A 来描述收缩热阻 . 根据定义 , 单位表观面积上的收缩热阻可表

. 3 8 6 . 示为 : 北京科技大学学报 1 9 9 6年 N o . 4 尺 c , 一 x / s 一 ( l / 、 , + l / 又2 ) , 行下店 ’ 石 ( 17 ) 对比式 l( 1) , A 可以表示为 (l 8) 式 . 函数 A 为量纲为一的函数 , 代表了热流线变形对接触热阻的影响 , 因此对收缩热阻的研究转化为对函数 A 研究 . f l a 矛 s i n , (哪 ` ) H l* 从 * 、 l 召石导 s i n Z (玩a ) , H ; , . 凡 , 、 . A = 亏止嘴一涪一 ) — (二竺 + 二竺、 + 二二匕二七二 ) 一一一一二; 一 (二二 + 二二 ) + 〔 “ 沙石户 l 尸、又, ’ 又2 ” 尸护自尸、 “ , ’ 几2 ” , 、几吕异 s i n , (玩召、 s i n , (玩 a ) 万 , , 。拭 , ` 〕又 ,又 , 上犷二份》 > -一一一一 - 二下下二- 而一 ( = 二二 + = 二二飞卜止 ` 一〔18 ) 丫叩仁 1昌犷扩、人 1 凡: ` J 凡 1 十丸 4 结论建立了同心圆柱套筒表面间相互接触时粗糙单元体的三维稳态导热数学模型 , 并在交界面处接触面以及非接触面上的热量传递是径向一维的条件下 , 导出了接触热阻的解析表达式 . 结果表明 , 单元体的稳态热传导可表达为一个由接触缝隙间流体的热阻、粗糙热阻和收缩热阻构成的模拟电网络 . 文中给出了能表征收缩热阻特性的函数 A 的定义式 . 参考文献 M a dh u s u d a n a C V , F l e t e h e r L 5 . C o n at e t H e a t T r a n s fe r 一 T h e l a s t d e e a d e . A IA A J o l l r l l a l , 1 9 8 5 2 4 ( 3 ) : 2 F l e t C h e f 5 1 0 一 5 2 3 L 5 . R e c e n t D e v e l o P m e n t s i n C o n at e t C o n d u e at n e e H e a t T anr s fe r . J H e a t T r a n s fe r , 1 9 8 8 . 1 10 : 10 5 9 ~ 10 7 0 3 W a n g W iht J C Y , N o w ak E 5 . S o l u t i o n o f T h e rm a l C o n s itr e ti o n R e s i s at n e e a n I s o th e rm a l C o n d i t i o n a t ht e C o n at e t L a n d . A S M E P a P e r , 8 IWA 月汪T , 一n C y l in 面 e a l S u ir 臼c e s 1 9 8 1 . 5 S ut d y o f C o n t a c t T h e mr a l R e s i s t a n e e B e wt e e n T w o C o a x i a l C y li n d r i e a l L a y e r s ( I ) : M a th e m a t i e a l M o d e l 刀胃 Xi a oj i n g ’ ) A . D 塔i o v a n 。 i ’ ) l ) D e P ’aIt m e n t o f E n e r g y E n g i n e e r i n g , U S T B , B e ij i n g 10 0 0 8 3 , p R C Z ) L A M T A 一 NI p L 一 F r an e e A B S T R A C T A m a t h e m a t i e a l m o d e l o f th r e e 一 d im e n s i o n a l s t e a d y 一 s t a t e h e a t e o n d u e t i o n in ht e e o n ta e t s u rfa e e b e tw e e n tw o e o a x i a l e y li n d r i c a l l a y e r s 1 5 d e v e l o P e d an d a n an a ly s e d s o l u t i o n o f ht e r l n a l r e s i s t a n e e o f e o n 协e t 1 5 o b ta i n e d . It 1 5 s h o w n t h a t th e h e a t c o n d u e t i o n i n ht e ru g o s ity u n it e e ll m a y b e r e d u e e d t o a n ar an g e m e n t o f th e fl u id ht e rm a l r e s i s ta n e e , th e ur g o s iyt ht e mr a l r e s i s t a n e e a n d t h e e o n s tr i e t i o n ht e mr a l r e s i s t a n e e . K E Y W O R D S ht e mr a l e o n at e t r e s i s t a n e e , h e a t tr a n s fe r , m a th e m a t i e a l m o d e l