拐点计数法及其在材料科学中的应用

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.03.021 射14卷第3陶 北京科技大学学报 vo1.14No.3 1992年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 1992 拐点计数法及其在材料科学中的应用 刘国权”李安贵… 摘要：采用集合论的形式对一种体视学新方法，即拐点计数法及相应的体视学基本关系 式进行了描述和推导，使之更加系统、准确和明除。并进而讨论了它们在材料科学中的各种 可能应用及有关问题。 关键词：材料科学，体视学，集合论，定量金相，拐点计数 The Inflection Point Count and Its Application in Materials Science Liu Guoquan·Li Angui·· ABSTRACT:One of the recent stereological techniques,i.e.,the inflection point count method and corresponding fundamental stereological relationship have been described and derived by means of the set theory,with their various pote ntial applications in materials science also being discussed, KEY WORDS:materials science,stereology,set theory,quantitative microscopy, inflection point count 除包含有化学、物理等类信息外，材料的显微组织中还包含有丰富的几何信息，欲建立 材料组织与性能间的定量关系，或定量地了解显微组织的几何特性及其在各种物理冶金过程 中的演变，几乎无例外地须进行显微组织信息的采集和分析，即进行将体视学应用于有关具 体领域的研究工作。拐点计数法‘1即进行这类信息采集和分析的新方法之一。 1991-11-06收腐 ·材料科学与工程系(Department of Materials Science and Engineering) ··数力系(Department of Mathematics and Mechanics) 312

纷 卷舅 期 一 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 专 蓬 月 ” 夕 。 ，， 拐点计数法及其在材料科学中的应用 刘 国权 ’ 李安贵 ’ 摘 要 采 用集合论 的形 式对一种 体视学 新方法 ， 即 拐点 计数祛及相应的 体视学基本关系 式进行 了描述和推 导 ， 使之更加系统 、 准确和 明僚 。 并 进而讨论 了它们 在材料科学 中的各种 可能应 用及有关问题 。 关键词 材料科学 ， 体视学 ， 集 合论 ， 定量金相 ， 拐 点计数 艺“ “ 拄 ” “ ‘ ， 。 。 ， 住 丁 ， ， ， ， ， 除 包含有化学 、 物理 等类信息 外 ， 材料的显 微组织 中还 包含有丰富的 几何信息 。 欲建立 材料组织 与性能 间的 定量 关 系 ， 或定量 地 了解显微组织的 几何特 性及其在各种物理冶 金过 程 中的 演变 ， 几乎 无例 外地须进行显微组织信息的采集和分 析 ， 即 进行将体视 学应 用于 有关具 体领域 的研究工 作 。 拐点 计数法 〔 ‘ 〕 即进行 这类信息 采 集和分 析的新 方法之一 。 一 一 收 稿 材料科学 与 工 程系 、 数力 系 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1992．03．021

【方法 记三维组织总体（例如金属材料或生物器官中的显微组织）为集合X,其中包含曲面集 合Y2,若X为随机截面集合T,所截，可得Y2在 截面上的迹线集合Y,=T2nY2。 设X为由a和B组成的两相组织，且Y2为 a/B相界面，图1示意性地给出了X的截面图象 (XnTz)中的一个视场。由图知，Y,在该视场 中包含有拐点(Inflection point,简记为I) 共15个。将此个数除以视场面积则得拐点面密 度，记作IA,其量纲为cm2。推广之，有 E)=EI(Y0T))/EA(XOT2)) =E{T(Y:)}/E{A(XnT2)} (1) 图1拐点计数法求取I4示意图 Fig.1 Schematic demonstration of how 式中符号E表示参数对所有可能空间取向的数 to find the value of /4 from 2-D 学期望值。 images 2相应的体视学基本关系式 2.1求取E{A(X∩T2)} 若T2为三维组织总体X的IUR截面（即取向各向等同的均匀的随机截面）【23)，则 T,截过X所得截面面积的数学期望值应是X的体积Ψ(X)除以X的平均切直径H(X): EA(XOT)=V(X)/H(X) (2) 共中万(X)=22∫∫后H(x1o,)simbig妇0 H(X10,中)=X在(0，中)取向的切直径。 2.2求取E{I(Y20T2)} 若仅考虑主曲率不为零的情况，则一般地，空间曲面集合Y2系由凸型、凹型和鞍型3 个曲面子集组成的并集。依次将3个子集记作Y2(+),Y2(一)，和Y2(±)，则 Y2=Y2(+)UY2(-)UY2(±) 由下文可知，Yz的截面迹线集Y,中出现的拐点完全来自Y2中鞍型曲面子集的贡献。故 求取E{I(Y,∩T:)}时可仅考虑鞍型曲面子集Y2(±)。记该子集总面积为S=S(Y,(±)， 面积元为dS,则有； 313

方 法 记三 维组织 总体 例如金 属材料或生 物 器官 中的 显微组织 为 集合 ， 其 中包含 曲面 集 合 ， 若 为随机截面 集合 所截 ， 可 得 在 截面上 的迹 线 集合 。 设 为由“ 和声组成的两 相组织 ， 且 为 声相 界面 ， 图 示意性地 给出 了 的 截面图 象 自 中的一个视场 。 由图 知 ， ， 在 该视场 中包含有拐点 ， 简记为 共 个 。 将此个数除以视场面积则得拐 点面密 度 ， 记作 ， ， 其量纲为 一 。 推广之 ， 有 ， 自 自 自 式 中符号 表示参 数对 所有可能 空 间取向的数 学期望值 。 日 弓 图 拐点计数法求取 示 意图 。 ， 五 月 一 相应的体视学基本关系式 。 求取 自 若 为三维组织总体 的 截面 即取向各向 等同的 均 匀 的 随 机 截 面 〔 ” ’ ， 则 截过 所 得截面面积的 数学期 望值应 是 的体积 除 以 的 平均切直径 自 犷 其 中万 一 命 ’ 丁京 ， ， ，， ，· “ “ “ 】 ， 向 二 在 ， 们 取向的 切直径 。 。 求取 自 若 仅考虑主 曲率不为 零的情况 ， 则一般地 ， 空 间 曲面集合 系 由凸型 、 凹 型和 鞍 型 个 曲面子集 组成的 并集 。 依次将 个子 集记作 十 ， 一 ， 和 士 ， 则 一 士 由下文可知 ， 的截面迹线集 中出现 的 拐点 完全来 自 中鞍型 曲面子集的 贡献 。 故 求取 时可仅考虑 鞍型 曲面子集 士 。 记该子集总面积为 二 士 ， 丙积元为 ， 则有

E{I(Y2nT2)}=」∫.E{I(dsnT:)} (3) 其中E{I(dSnT2)}=∫E{I(dsnT:IT:↑dS|0,p∈dp。)}P:(Tz↑dS)P.(e,φ∈d中) +∫E{I(dSnT2|T2↑dS16,p走dφ)}P.(T2↑dS)P.(0,ptdφ。)(4) 式中E{I(dsnT:IT2↑dSl8,中∈dp。)}和E{I(dsnT:IT2↑dSl0,中在dp。)}分别表示 T2与dS相截且位于任一(0，中∈d中。)位向和任一(0，中度dp。)位向时截面迹线上拐点个数的 数学期望值；d中，表示dS上一条渐近线的切线扫过的角度。只有当T2与渐近线相切时截面迹 线上才出现拐点，且只有当Tz处于(8，中∈d中。)类型的位向时才会与衔近线相切，故必有： E{I(dsnT,|T2↑dSl9,φ∈dφ，)}=1 (5) E{I(dSnT21T2↑dSl8,pdp。)}=0 (6) 从而公式(4)中右端第二项的值恒为零，在进一步的分析中不必考虑。 记k,为鞍面面元dS的渐近线上给定点处的曲率，则由曲率的定义可知d中。可表示为dS 上渐近线长度与该曲率的乘积，注意到S上其切平面平行的渐近线的长度数学期望值可表示 为面积dS与其上垂直于该线的切直径h(dS)的比值，故有如下关系式： dφ。=k.dS/h(dS) (7) 鞍型曲面上任一点处必有两条渐近线，从而对于任一值，当中角在0-→2π变化过程中测 试面T2有4次机会落入(8，中∈d中。)类型的位向范围内，由此可推知，当8和中的取值范围为 0≤0≤，0≤<2x时，T:处于任一(0，中∈d中，)位向的概率为： P,0,cdp,）=4sin0dp,dg/2m=流8ssin90 (8) 另一方面，取向为(8，中)的测试面T2与面元dS相截的概率等于dS在(8，中)方向的切直径与 三维组织总体X的切直径之比，即： P,(T2↑dS)=H(dSl9,φ)/H(X) (9) 将式(5)、(6)、(8)和(9)代入式(4)，并注意到3)： H(ds)/h(ds)= 4 整理后得： E(I(dsnT,》=,dS/i(X) (10) 进而将式(10)代入式(3)，可得： EI(Y,nT,)}=_1 2豆(x)J月 d= (11) 2日(X) 式中k表示以鞍型曲面子集Y2(±士)总面积为域积分所得的积分渐近线曲率。 314

门 二 。 门 其 中 自 了 门 个 ， 协〔 功 。 个 ， 劝〔 今 。 了 自 个 ，劝诺 价 。 ， 个 口，价诺 价 。 式 中 丈 门 个 冲 任 功 。 和 理 门 个 冲 告 毋 。 分 别 表 示 与 相截且位于 任一 ， 价任 功 。 位向和 任一 ， 价健 价 。 位向时截面迹线上 拐点个数的 数学期望值， 价 。 表示 上一条渐近线 的切线扫过的 角度 。 只有当 与渐近线相切时截面迹 线上才 出现拐点 ， 且只有 当 处于 ， 价任 价 。 类型的位向时才会与渐近线相切 ， 故必有 毛 自 个 ， 价任 价 。 自 全 ，价诺 乒 。 从而公式 中右端第二项的值恒为零 ， 在进一步的分析 中不 必考虑 。 记 ，为鞍面面元 的 渐近线上 给定点处的 曲率 ， 则 由曲率的定义可知 劝 。 可 表 示 为 上渐近线 长度与该 曲率的乘积 ， 注意到 上其切平面平行的渐近线的 长度数学期望值可表示 为面积 与其上垂直于该线 的切直径 的 比值 ， 故 有如下关 系式 价 。 鞍型 曲面上 任一点处必有两 条渐近线 ， 从而对于 任一 值 ， 当功角在。 二变化过程 中侧 试面 有 次机会落入 ， 功任 价 。 类型的位向范围 内 ， 由此可推知 ， 当 和价的取值范围为 ‘ “ ‘ 令 ， 。 ， ‘ 时 ， ， 处于 任一 ‘” ，，任 蜘，位向的概率丸 ， 功任 毋 。 乒 。 ， “ 。 万 。 口 另一方面 ， 取 向为 ， 峥 的 侧试面 与面元 相截的概率等于 在 口 ， 价 方向的 切直 径 与 三维组织总体 的 切 直径之 比 ， 即 ， 个 ， 毋 万 将式 、 、 和 代入式 ， 并注意到 〔 “ ’ 万“ ， 瓜 ， 令 ， 整理后得 ‘ ‘ 自 ，， 专 · 万 ， 进而将式 代人式 ， 可 得 。 ， ， ， ， ， 、 、 ’ 盯 二 。 乙 戈 吸 全二 一二二，一一一 介 一二二一一一 诀 ， 万 式 中 表示 以鞍型 曲面子集 士 总面积 为域积分所得的积分渐 近线 曲率

2.3体视学基本关系式 将E{I(Y2∩T2)》和E{A(X∩Tz)}表达式(2)和(11)代人公式(1)，得 E{IA}=k/2V(X)门=(1/2)k, (12) 该式亦可改写为： ky=2EAY (13) 其中k,表示三维组织总体X中鞍型曲面积分渐近线曲率体密度。 以上最后一式系经典体视学中最新的基本关系式之一。应用该式和拐点计数法可估测三 维组织总体的又一几何信息，即积分渐近线曲率体密度。该信息独立于体积、表面积或积分 平均曲率。另外，空间曲面是否封闭不影响该式的有效性。 由如上推导过程可知，类似于其它经典体视学中基本关系式，(13)式要求测试器T:须 是IUR截面。 3应用及存在问题 用拐点计数法求得I值并不十分困难，尽管其求取过程尚未在计算机辅助的自动图象分 析仪上满意地实现。实际应用中存在问题最大的仍是人们对参量k,的物理意义以及三维组织 总体的物理行为和功能与，有何相关关系不熟悉或不了解。对于后者，只能依赖于各学科领 域的科技工作者在应用拐点计数法时不断探索和积累；对于前者，则可参考如下分析。 考虑鞍型曲面上某点p处法线的截面交割形成的一系列截面迹线。由于鞍型曲面上任一点 处的两个主曲率异号〔1-8)，故当截面以p点处鞍型曲面法线为轴转动时，截面迹线的局部曲率 将由鞍型曲面的正号主曲率向负号主曲率或反向连续变化，从而总会在某特定方向上截面迹 线P点处的曲率恰好为零，呈现为拐点。该特定方向称作鞍型曲面的渐近方向，渐近线则定 义为其上任一点处的切矢量均取渐近方向的曲线。一般地，鞍型曲面上任一点处均有一对共 轭渐近方向，从而一个具有有限面积的鞍型曲面总是被共轭渐近线的“网”复盖着。参量k,即 以单位体积内所包含的鞍型曲面为域，对其上的渐近线上各点处的曲率加以积分，测得的积 分渐近线密度。 由上可知，只有当随机截面(Tz)恰与曲面(Y2)某点处的渐近线相切时，截面迹线(Y,) 上才会出现拐点。由于凹型和凸型曲面均不存在主曲率异号的问题1-3)，故它们的截面迹 线上不会出现拐点。从而，拐点计数法不能提供关于凹型和凸型曲面的任何信息。然而，只 要 I(Y:)=I(Y2∩T2)≠0 (14) 则必有 Y2≠φ，Y2(±)≠φ (15) 换言之，Y:上出现拐点是曲面Y2巾包含有鞍型曲面部分的可靠指示。 显然，拐点计数法的以上特点可望用于监测显微组织演变过程中鞍型曲面的出现和消 315

。 体视 学蓦 本关 系式 将 门 和 自 。 表 达式 和 代 人公 式 ， 得 、 〔 厂 〕 该 式亦可 改 写为 秃 ， 其 中 表示三 维组织 总体 中鞍 型 曲面积分 渐近线 曲率体密 度 。 以上最后一式系经典体视学 中最新的 基本关 系式之 一 。 应 用该式和拐点计数法可 估测三 维组织 总体的 又一几 何信息 ， 即积分 渐 近线 曲率体密度 。 该信息独立于体积 、 表 面积或积分 平均 曲率 。 另 外 ， 空 间曲面是 否封闭 不影 响该 式的 有效性 。 由如上 推导过 程 可知 ， 类似于 其它 经 典体视 学 中基本关 系式 ， 式要 求侧试器 须 是 截 面 。 应 用及存在 问题 用 拐点计数 法求 得几值 并不十分 困难 ， 尽管其求取过程尚未在 计算机辅助 的 自动图 象分 析仪上满意 地 实现 。 实际应 用 中存在 问题 最大的 仍是 人们对参 量 ， 的 物理意义以 及 三维组织 总体的 物理行为 和 功能 与 ， 有何相关 关 系不熟悉或 不 了解 。 对于 后者 ， 只能依 赖于各学科领 域的科技 工 作者 在应 用 拐 点计数法时 不断探索和积累 对于前 者 ， 则可参考如下 分析 。 考虑 鞍型 曲面上某点 处法线 的 截面交割形成的 一 系列截面迹线 。 由于鞍型 曲面上 任一点 处的两 个主 曲率异号 〔 ‘ 一 “ 〕 ， 故 当截面以 点 处鞍型 曲面法线 为轴转动时 ， 截 面迹 线 的局部 曲率 将 由鞍型 曲面的 正号 主 曲率向 负号 主 曲率或 反 向连续变化 ， 从而 总会在 某特定 方向上截 面迹 线 点处的 曲率恰好为 零 ， 呈现 为拐点 。 该特 定 方向称 作鞍型 曲面的渐近 方向 ， 渐近 线 则 定 义为其上 任一点处的 切矢 量均取渐近方向的 曲线 。 一般 地 ， 鞍型 曲面上 任一点处 均 有一对 共 扼渐近 方向 ， 从而一个具 有有限面 积的鞍 型 曲面总是 被共辘渐近线 的 “ 网 ” 复盖着 。 参量 ， 即 以单 位体 积 内所 包含的 鞍 型 曲面为域 ， 对 其上的 渐 近线上 各点处 的 曲率加 以积分 ， 测得的 积 分渐近 线密 度 。 由上可 知 ， 只 有 当随机 截面 恰 与 曲面 某点处 的渐近线 相切时 ， 截 面迹线 上才会出现 拐点 。 由于 凹型和 凸型 曲面 均不 存在 主 曲率异号的问题 〔 ’ 一 ” ’ ， 故它 们的 截 面 迹 线上不 会 出现 拐点 。 从而 ， 拐 点计数法 不能提供关干 凹 型和 凸型曲面的 任何信息 。 然而 ， 只 要 自 笋 则必有 笋价 ， 士 并叻 换 言之 ， ，上 出现 拐点是 曲面犷 中包含有鞍型 曲面部分 的可靠指示 。 显然 ， 拐点讣数法的 以上 特点可 望用于 监 测显微组织 演变过 程 中鞍 型 曲面的 出 现 和 消

失，例如粉末烧结过程中固一孔界面类型的演变情况。 应用该法另一应注意的问题是拐点的判断和计数对图象的分辨幸敏感。 4拐点计数法的其它可能应用 拐点数法的其它可能应用包括对二维平面上特征物（如铸铁金相磨面上的石是，粉末 烧结体金相磨面上的孔洞等)形状的定量描述。以下为数例。 (1)求取特征物边界周线含有的拐点个数均值采用特征物计数法和拐点计数分别求得 特征物个数面密度Na(若采用Quantimet系列图像分析仪时应注意拓扑计数法和全特征物计 数法的区别3？，其它图像仪亦有类似问题)和I后，即可计算特征物边界周线含有的拐点个 数均值： T=INA (16) (2)求取特征物边界周线拐点间曲线长度均值采用线截点计数法2.3)可测知特征物 边界周线的长度面密度工A,则由下式可进而计算出周线上拐点之间的平均曲线长度(1)： L=LA/IA (17) 该参量相当于周线的某种“波长”，可用作特征物形状复杂程度的一种定量描述。为增 大可比性，可设法将其归一化。 若分别测得周线上凸段与凹段的线长面密度LA+和LA-,则参照上式可知，比值(LA+/ LA-)即拐点间凸线段平均长度与拐点间凹线平均长度之比值，从而可作为周线凸出或凹入 趋势的量度。 (3)求取拐点间周线的角度净变化均值综合运用正负切点计数法2,8和拐点计数 法，可以计算出拐点间周线的角度净变化均值〔1： 百=r(TA++TA-)/IA (18) 且比值(TA+/TA-)即拐点间凸段与凹段二者角度净变化均值之比，亦可作为周线凸出或凹 入趋势的另一种量度。其中TA+和T-分别为正负切点个数的面密度。 5总 结 (1)采用集合论理论描述了拐点计数法基木操作、并推导了相应的体视学基本关系式。 (2)分析讨论表明，拐点计数法既可用于二维平面上特征物形状的定量描述，又可用于 判断三维组织总体中是否存在鞍型曲面及估测其积分渐近线曲率密度，在材料科学及其它有 关领域中有着潜在的应用。 参考文献 1 DeHoff R T,J,Micros.,1981,121:13 2 Weibel E R.Stereological Methods,Theoretical Foundations,London: Academic Press,1980,(2) 3余永宁，刘国权、体视学，北京：冶金工业出版社，1989 316

失 ， 例 如粉末烧结过程 中固一孔 界面类型的演变情况 。 应 用该法 另一应 注意的问题是拐点的 判断和 计数对图 象的分辨率敏感 。 拐点计数法的 其它可能应 用 拐点计数法 的其它可能应用 包括对二维平面上特征物 如铸铁金相 磨面上 的石墨 ， 粉 末 烧结体金相磨面上的 孔洞 等 形状的定量描述 。 以下为数例 。 求取特征物边 界周线含有的拐点个数均值 采用 特征物计数法和拐点计数分别求 得 特 征物个数面密度 武若采用 此 系列图像分析仪时应 注意拓扑 计数法和全特征物计 数法的 区 别 ‘ ’ ， 其它 图像仪亦有类似 问题 和 后 ， 即可计算特征物边界周线含有的 拐点个 数均值 求取特征物边 界周线拐点 间曲线 长度均值 采用线截点 计数法 ‘ · ’ 可测知特 征 物 边 界周线 的长度面密度 ， 则 由下 式可进而计算出周线上拐点之 间的平 均 曲线长度 “ ’ 二 该参量相 当于周线的某种 “ 波长 ” ， 可用 作特征物形状复杂程度的 一种定量描述 。 为增 大可 比性 ， 可 设法将其归一化 。 若分别 测得周线上 凸段 与凹段 的 线长面密度 十 和 一 ， 则参照上式 可 知 ， 比 值 十 一 即拐点 间凸线段平均长度 与拐点 间凹线平均长度之 比值 ， 从而可作为周线凸 出 或 凹 人 趋势的量度 。 求取拐点 间周线 的 角度净变化均值 综合运用 正负切 点 计数 法 ‘ ， ， “ ’ 和 拐 点 计 数 法 ，可 以计算出拐点 间周线的 角度净变化均值 ‘ ” 二 二 十 一 且 比值 一 即拐点间 凸段 与凹段 二者角度净变化均值之 比 ， 亦可 作为周线 凸 出 或 凹 入趋 势 的 另一种量度 。 其中 十 和 一 分 别为正负切点个数的 面密度 。 总 结 采用 集合论理论描述 了拐点 计数法基本操 作 、 并推导 了相应 的体视学基本关 系式 。 〔 分析讨论表明 ， 拐点计数祛既可 用于二 维平面上特征物形 状的 定量描述 ， 又可用于 判断三 维组织 总体 中是否存在鞍型 曲面及估测 其积分渐近线 曲率密度 ， 在材料科学 及其它 有 关 领域 中有着潜在的应 用 。 参 考 文 献 ， 。 ， ， 。 ， ， ， ， 余 永宁 ， 刘 国权 ， 体视学 ， 北京 冶 金工业 出版社 ， 公 多