高等数学基础第二章典型例题解析 一、填空题 lim 1极限 N+0 sinx 1 x2 sin x=lim (x sin 解： +0 sinx ￥→0 1x)-mxm1人=0x1=0 x sin x ￥→0 lm.xsn二=0 注意： +0 (无穷小量乘以有界变量等于无穷小量) 1 1 limn -lim ==1 →0s1nX x0Sin sin 1 sinx lm lim x→0X ,其中一0x=1是第一个重要极限。 1 f(x)= Xsin- x<0 2.函数 x+1x20 的间断点是X= 解：由f()是分段函数，x=0是了(x)的分段点，考虑函数在x=0处的连续性。 im.xsin0m1f(0)=1 因为 0 x→01 所以函数()在x=0处是间断的， 又了)在（-0,0)和(0，+6∞)都是连续的，故函数寸()的间断点是x=0。 3.设 f(=x2-3x+2,则f[f"(]= 解：了“()=2x-3,故 J儿/'(x]=(2x-3)2-3(2x-3)+2=4x2-18x+20 二、单项选择题 f(x)=xsin 1.函数 x在点x=0处() A有定义且有极限： B.无定义但有极限： C.有定义但无极限： D.无定义且无极限 解：了()在点x=0处没有定义，但
高等数学基础第二章典型例题解析 一、填空题 ⒈极限 。 解： 注意： （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） ，其中 =1是第一个重要极限。 ⒉函数 的间断点是 。 解：由 是分段函数， 是 的分段点，考虑函数在 处的连续性。 因为 所以函数 在 处是间断的， 又 在 和 都是连续的，故函数 的间断点是 。 ⒊设 ，则 。 解： ，故 二、单项选择题 ⒈函数 在点 处（ ）． A.有定义且有极限； B.无定义但有极限； C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解： 在点 处没有定义，但
m1-0 (无穷小量×有界变量=无穷小量) 故选项B正确。 2.下列函数在指定的变化过程中，()是无穷小量。 1 sin Ae,(x→o): ,(x→0) B.x x+1-1 c.ln(1+x,(x→1). (x→0) 01 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 mn'-0 而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。 三、计算应用题 1.计算下列极限： x2-3x+2 0g产+4x-12 x+3 lim (2)0x-1 (3)lim (x-1)0(2x+3) 1-x-1 12(x-2)▣ (4) sin 3x x2-3x+2=(x-10x-2-x-1 解：(1) x2+4x-12(x-2)(x+6)x+6 x2-3x+2 x-11 m lim- 2x2+4x-12=2x+68 a-3 m[1-* 4 a+3 3 m[(1+2)3] (2) H-子0 (③)题目所给极限式分子的最高次项为 x10.(2x)5=32x5 分母的最高次项为12x5,由此得 (x-100(2x+3)5328 12(x-2)15123
（无穷小量 有界变量=无穷小量） 故选项B正确。 ⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. ； B. ； C. ； D. 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。 三、计算应用题 ⒈计算下列极限： ⑴ ⑵ （4） 解：⑴ = ⑵ ⑶ 题目所给极限式分子的最高次项为 分母的最高次项为 ，由此得
(4)当x→0时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有 理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。 /1-x-1 (1-x-10(1-x+1) 1-x-1 irn -=l1m lim- 0sin 3x 0 31n3x(√1-x-1) x-0sn3x(/1-x+1) -X 1 3x 1 111 s1n3x(1-x+1) x吗1-x+1交6 2.设函数 1 xsn二+bx0 小 问(1)a,b为何值时，()在x=0处有极限存在？ (2)a,为何值时，f(x)在x=0处连续？ 解：(1)要)在x=0处有极限存在，即要册()=邮冈 成立。 lim f(x)=lim_(x sin+)=b 因为→0 x→0 0f）=m sin x =1 0+ 所以，当6=1时，有即)=期 成立，即五=1时，函数在x=0处有极限 存在，又因为函数在 某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时《可以取任意值。 (2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 limf(x)lim,f (x)=f(xo) X-Xg 于是有b=1=(0)=a,即a=b=1时函数在x=0处连续
（4）当 时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有 理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。 = 2.设函数 问（1） 为何值时， 在 处有极限存在？ （2） 为何值时， 在 处连续？ 解：（1）要 在 处有极限存在，即要 成立。 因为 所以，当 时，有 成立，即 时，函数在 处有极限 存在，又因为函数在 某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时 可以取任意值。 （2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有 ，即 时函数在 处连续