新疆大学：《计量地理学》课程教学资源（讲稿）补充：地理系统要素关系的主成分分析

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地理系统要素关系的主成分分析 +主成分分析的概述 +主成分分析的基本原理 +矩阵的特征值与特征向量 +主成分分析的解法 +主成分分析应用实例上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析地理系统要素关系的主成分分析主成分分析的概述主成分分析的基本原理矩阵的特征值与特征向量主成分分析的解法主成分分析应用实例

§1主成分分析的概述一、问题的引出 +二、思考 +三、概述上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §1 主成分分析的概述一、问题的引出二、思考三、概述

§2主成分分析的基本原理 +一、主成分分析的意义 ●概念口~是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计方法。是一种数学的排序方法。 ·目的口将原来的一组变量（指标）变换成另外一组分量的变量口把具有许多变量的高维空间通过数学方法变换成较低维的空间。上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理一、主成分分析的意义 ⚫概念 ~是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计方法。是一种数学的排序方法。 ⚫目的 将原来的一组变量（指标）变换成另外一组分量的变量； 把具有许多变量的高维空间通过数学方法变换成较低维的空间

§2主成分分析的基本原理 +一、主成分分析的意义 ●假设口n个地理区域，p个指标，则有np个观测数据。 ●用较少的综合指标代表原来较多的指标口能尽量多的反映原有信息；口彼此之间独立。口选取原则：原指标的线性组合。上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理一、主成分分析的意义 ⚫假设 n个地理区域，p个指标，则有np个观测数据。 ⚫用较少的综合指标代表原来较多的指标 能尽量多的反映原有信息； 彼此之间独立。 选取原则：原指标的线性组合

§2主成分分析的基本原理 +二、主成分分析的数学模型 ●原始数据矩阵 1 2 m 指标 1 X11 X12 Y= 地2 X21 X22 X2P n Xn2 上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理二、主成分分析的数学模型 ⚫原始数据矩阵               = n n n p p p x x x x x x x x x X        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 . n 地区 1 2 . m 指标

§2主成分分析的基本原理 +二、主成分分析的数学模型变换后坐标的性质： ·n个点的坐标z1、z2的相关几乎为0； ●二维平面上n个点的波动大部分可归结为2，轴上的波动，而z2轴上的波动较小。上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析变换后坐标的性质： ⚫ n个点的坐标z1、z2的相关几乎为0； ⚫ 二维平面上n个点的波动大部分可归结为z1轴上的波动，而z2轴上的波动较小。 §2 主成分分析的基本原理二、主成分分析的数学模型 x1 z2 x2 z1

§2主成分分析的基本原理 +二、主成分分析的数学模型 ●则称21、22是原指标x1、2的主成分。 ●若长轴方向反映整个信息的75%，则z1就是X和x2的综合指标。 21=1x1+12x2 式中：111、12为X和x2对z这个综合指标的权值或变量x和x2的回归系数。上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理二、主成分分析的数学模型 ⚫则称z1、z2是原指标x1、x2的主成分。 ⚫若长轴方向反映整个信息的75%，则z1就是x1和x2的综合指标。 1 11 1 12 2 z = l x +l x 式中：l11、l12为x1和x2对z1这个综合指标的权值，或变量x1和x2的回归系数

§2主成分分析的基本原理 +二、主成分分析的数学模型 ·长轴为第一主成分z1,短轴为第二主成分22 ·数据点对于原指标和对主成分的值分别为： a b (a2}Ea b a2 则有： -广+2c-无尸=2+2(n-月 75% 25% 上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理二、主成分分析的数学模型 ⚫ 长轴为第一主成分z1 ，短轴为第二主成分z2 ⚫ 数据点对于原指标和对主成分的值分别为： xa1 ,xa2  za1 ,za2  则有：     = = = = − + − = − + − n a a n a a n a a n a a x x x x z z z z 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 75% 25%

§2主成分分析的基本原理 +二、主成分分析的数学模型 ●若有p个指标X1,X2,Xp,综合成m个指标 Z1,Z2,zm(m≤p),可表示为： 31=1x+12x2+.+1x。 2=12+122x2+.+l2px。 2m =Im+lm2X2++lmpxp 上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理二、主成分分析的数学模型 ⚫ 若有p个指标x1，x2，.，xp，综合成m个指标 z1，z2，.，zm(m≤p)，可表示为：        = + + + = + + + = + + + m m m mp p p p p p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x         1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1

§2主成分分析的基本原理 +二、主成分分析的数学模型 ●系数的决定原列：口z与乙(i,=1,2,m)互相无关；口Z1是x1X2,X的一切线性组合中方差最大的； Z2是与21不相关的X1,X2,X,的所有线性组合中方差最大的；；Zm是与21，Z2,Zm-都不相关的X1,X2,X,的所有线性组合中方差最大的。 ●Z1, Z2, ,Zm分别称为原指标的第一，第二，第m主成分。上一页下一页返回目录退出

上一页下一页返回目录退出第八章地理系统要素关系的主成分分析 §2 主成分分析的基本原理二、主成分分析的数学模型 ⚫系数l ij的决定原则： zi与zj（i≠j，i,j=1,2,.,m）互相无关； z1是x1 ,x2 ,.,xp的一切线性组合中方差最大的； z2是与z1不相关的 x1 ,x2 ,.,xp的所有线性组合中方差最大的；.；zm是与z1 ,z2 ,.,zm-1都不相关的 x1 ,x2 ,.,xp的所有线性组合中方差最大的。 ⚫ z1，z2，.，zm分别称为原指标的第一，第二，.，第m主成分

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