赤平投影网的解析原理

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1979.02.001 北京钢铁学院学报 1979年第2期 赤平投影网的解析原理 北京钢铁学院采矿教研室 廖国华 摘 要 在岩体力学研究中，为对地质弱面进行统计加工和对岩体结构进行儿 何分析，常常需要用到赤平投影方法。本文从解析球面圆的'赤平投影入 手，系统地计论了赤平极射投影和Lamberta投影的关系，给出了臭尔夫网 和施密特网的解新表达式；对这两种通用的投影网在等角性和等面性方面 的特征进行了分析。在此基础上给出了一个简化的算式，以确定吴尔夫网 中等价圆的半径，如果以吴氏网为基础以电算机制作等密曲线，这一算式 将有实用价值。 天然岩体一个突出的特征：是其中大量存在着类型不同、尺寸各异的各种地质软弱结构而 如节理、断层、层而等等。结构面组合切割岩休、改变了岩体的特征，降低了君体的强度。 因此，进行岩体工程的力学研究时需要从地质条件的研究开始、进行结构面的现场调查和实 测以及统计加工、找出对工程有不利影响的结构面组合、进而在力学分析中考虑它们的作 川，以使问题得到符合实际的解决。 对结构面组合产状进行分析、统计、解释是这一工作中重要的环节。进行这一工作所采用 的通用方法是赤平投影网法。以产状为标志、还可输入表征结构面其它特征的数据供作力学 分析：之用。地质研究和力学分析正通过类似这样的途径彼此结合起来。 有两种赤平投影网是目前通用的，一种是吴尔夫(Wu1f)网，亦称赤平极射投影网或 等角赤平投影网；·另-一种是施密特(Schmidt)网、亦称等面赤平投影网。在作结构面组合 定向图解分析时，两种网的用法没有原则的不同，然而两种网在基本件质方而还是存在重大 差别的。 这两种投影方法都是古老的方法，近年来它们都在岩休力学工程中得到了广泛的应用。 作为一种图解方法在近几年的文献中随处可见，文献〔1)对其几何原理有详尽的说明，然而， 介绍其解析原理的材料比较少见。本文从任意球面圆的赤平投影解析几何分析出发，对赤平 投影的解析原理进行了系统的明，给出了有关的计算公式，分析了它]的基本特征。这种 系统的论讨和分析，对深入理解和运用这一方法也许是有益的。 一、吳尔夫投影网的解析 1.基本方程 在右旋直角坐标系中，以原点为中心，R为半径作球（见图1)，球面方程为： H

北 京 钢 铁 学 院 学 报 19 7 9年 第 2 期 赤 平 投 一 影 网 的 解 析 原 理 北京钢铁 学院采 矿教研 室 廖 国 一 华 摘 要 { 中娜等价 圆的协半径 , 如 果 以劳吴 氏 网为基砒译以 电算机淄制作等密藻曲线聋, 这一 算 式 将有 买 用 价 值 。 天然岩体一 个突出的特 征是 其中大 量存在 着类 型不同 、 尺寸 各异的各种地质 软弱结构 而 、 断尽 层而等氛 结构面粤合切割 岩体 、 改变 了 岩体的特征 , 降 低 了岩体的强度 。 进行岩体工程 的力学研 究时 需要 从地 质条件的研究开始 、 进行 结构面 的现场 调 查和实 及 统计加工 、 找 出对工程 有不 利 影响的结构 面组合 、 · 进而在力学 分析中 考虑它们的作 用 , 以使 问题得到符合实 际的解 决 。 - 碗忠罗粼忿绍怂黔皇就 一 黯默瑞稼念翠 吟森默髻篡粼豁豁弃塌罗等黯溉~ 、 射、 影、 或 黑思丫槛默默就摺认黯{慕)黯{豁需馨票黑 差别 的 。 . 这 两种投影方 法都 是古老 的方法 , 、 近年来 它们都在 岩休力学工 程 中得 到了厂 一 泛 的应 用 。 作为 一种图解方法在近 几年 的文献中随处可见 , 文献〔1〕对其几何原理 有详 尽 的说明 , 然而 , 介绍其解析原理 的材料比较少见 。 本文 从任意球面圆的赤 平投 影解析几何分析出发 , 对赤 平 投影的解析原理进 行 了系统的 阐 明 , 给出 了有关的 计算公式 , 分析 了它们 的基 木特征 。 这 种 系统 的论讨 和分析 , 对深入理解和运用这一 方法也 许是有益的 。 吴 尔夫 投影网的解析 址、 蒸套套资 标系 } 、 、 原点、 。, 咨 。 , … ; 为半径 一作球一见图巧 、 球 几 而 一 方 程为 : DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1979. 02. 001

x2+y2+z2=R2 (1) 过原点作任意直线1与球面交于N点，记！ 与坐标轴x,y,2之间的夹角为u、B、Y,相应的 余弦为a、B。、Y。在ON上取点T,记OT之 长为1。，过T作平面Q与垂直，则Q而方程 为： aox +Boy +Yoz=10 (2) 功于I。≤R,Q与球面相交、交线V必然 是一球而园，联立(1)(2)式求解、得交线V的 解析表达式： 1X2+Y2+Z2=R2 (3.1) aoX+B。Y+YoZ=1o (3.2) 这理、为避免混淆，记ⅴ的坐标为X、Y,Z。取点 图1 F为熊点、F点的坐标为(O、一R,O),将交线V上的点与F联接，联线上流点(x、y、z)与v及 F点坐标的关系式为： y+R x=X(7+R） (4.1) 2=z聚) (4.2) 将上式中的X、Z代入(3-2)和(3-1)联立求解得到： (x2+y2+z2+2yR+R2)〔l(y+R)-(a。x+B。z)R)2+2R(x2+y2)× ×〔1(y+R)-(aox+Yaz)R)〔B。(y+R)+(aoX+Yz)+ +R2(x2+z2-y8-2yR-R2)(B。(y+R)+(aox+Y2)=0 (5) 这就是流点的坐标方程式，也就是以ⅴ为底、F和ⅴ上之点的联线为母线所形成的空间锥面 的表达武，也就是ⅴ线向F点投影所形成的投影锥面的表达式。 ,在方程(5)中、令y=0,得到此投影锥与xz坐标面的交线W的解析式： （-fR+-f8=,R R (6) 式(6)表明、交线W的轨迹为园，园心的坐标xw、zw及园半径rw分别为： R2a。 xw=1。+BR R2Yo 10+BoR (7) R F1+BRVR2=1。 在赤平投影方法中，称(1)球面为参考球，y三0的水平平面为赤道平面，在球中，这个 赤道平面由水平大园H代表。因此我们称W为球面线v的赤平极射投影，而ⅴ是为Q确定的、 故也可称W为空间平面Q的赤平极射投影。 2

x 立 十 y 忆 + 2 2 = R Z ( ] ) 过原 点作任 意 直 线 l与 球面 交 于 N 点 、 记了 与坐 标轴 x 、 y 、 z之 间 的夹 角为 。 、 p 、 丫 , 相 应 的 余 弦 为 。 。 、 日 。 、 丫 。 。 在O N 上取 点T , 记O T 之 一 民为 l 。 , 过 ’ r 作平 俪 Q 与了垂 直 , 则9 而 方程 为 : a 。 x 十 日 。 y 十 丫 。 z 二 l 。 ( 2) 由于 l 。 三 R , Q 一 与球 面相 交 、 交 线 V 必 然 是 一 球而 园 , 联立 ( 1 ) ( 2) 式求解 、 得交 线 VJ 均 解 析 表达式 : { X , 十 Y “ + 2 2 二 R Z (3 . )] { a 。 X 十 日 。 一 Y + 丫 。 Z 一 几 (3 , 2 ) 这理 、 为 避 免混淆 , 记 v 的 坐标 为X 、 Y 一 、 Z 。 取点 F 为焦 点 、 1 了点 的 坐标 为 ( O 、 一 R 、 O ) , 将交 线 V 上的点 与 F 联接 , F 点坐标 的 关 系式为 : - - 图 1 联 线 上流 点 x( 、 光 : ) 与 v 及 二厂 y + R X = 例 、 叹 一 污于一 一石 1 十 氏 ( 4 . 1 ) 二 丁 十 R Z = 乙 吸 哥了 一二州 石 I 十 找 ( 4 ` 2 ) 将 上 式 中的 X · z 代入 ( 3一 2) 和 `3 一 1) 联立求解得 到 , - ( X Z 十 y Z 十 护 十 yZ R 十 R Z )(l 0 ( +y )R 一 a( 。 x 十 禹 z 平〕 “ 十 21 (对 十 对) “ 丫(l0 (y + 卿 一 a( 。 粉 丫o)z R 议 队 恤 十 R 卜 a( 。 X + 丫 。 砂〕 十 , 十 R Z 〔 X ’ +Z 2 一 尸 一 yZ R 一 R Z 〕〔日0(y 戎卜 钾 。 x 钟 。 叫 一 仁 (5) 一 这就 是 流点的坐 标方 程 式 , 一 也就 是 以 v 为底 、 L F 和 v 上之 点 的 联线 为母线所 形 成的 空间锥 而 的 表达式 , 也 就 是 v 线向 F, 点投影 所形成 的 投影 锥 面的表达 式 。 · 在方 程 〔 5) 中 、 令 y 二仇 、 得 到此投影锥 与二 z坐标面 的 交线 W的解析 式 : - R “ a 。 气 X 一 几不日 _ 。 R ) 一 十 叹 Z 一矛 R “ 丫 。 、 , , R / 。 犷一 , 。 不禹豆’ 一 贬了 一 矛干日 。豆v `叮 一 ` 。 ( 6 ) 式 ( 6) 表 明 、 交线 W 的轨 迹 为园 , 园心的 坐标 x w 、 z w 及 园半径与 分别为 : R Z a 。 一R 一卜 一八p R Z 丫。 再启毛R ` - R 。 子日祖了 R Z 一 z 。 · X W 一 厂厂ùt ! … ( 7 ) r W 一 l 一J I ℃ L 、 在赤 平投 影方 法 中 , 称 ( l) 球 面 为参考 球 , y 二 o 的水平平 面 为赤道平 面 , 在 球 中 , 这个 赤道 平面 由水 平大园 H 代表 。 因此我们 称 W 为球 面线 v 的赤 平 极射投 影 , 而匆是为Q确定 的 、 故 也可 称 w 为空间平面 Q的 一 赤平极射 投影 。 ’

公式(6)是通贯本文的基本公式，它说明了赤平极射投影的基本原理：平面和球面相交 构成…个园，球面上一个园，它的赤平极射投影也是一个园，不论大园小园都是如此〔1)。 (6)式说明，空间平面的极射投影园由三个独立的参数确定、其中α，B。、Y是由Q面的 方向决定的参数，由于a。2+B。2+Y。2=1,所以它们中只有两个是独立的。1，是由Q面到 原点的距离决定的，是一个定位参数。但是，目前用赤平投影方法分析结构面还只是研究它 们的定向组合关系，因此，要统一规定1值，以消去1。的影响。 空间平面的大园投影和极点投影 统一1。有两种选择办法，一种是大园法，一种是极点法。两种选择就得到表示一个空间 平面的二种不同类型的赤平投影（见图2）。二法各有优点，用途不尽相同，它们不仅并存， 且常对应着同时使用、互相补充，搞清了原理就没有混淆的弊病。 (1)大园投影 一种统一1。的方法是使之为零，这时空间平面通过球心，与球面交成大园，这个大园由 空间平面的方向参数唯一确定，因此，大园的赤平极射投影也就唯一地代表了这个空间平面。 令(G)式中的1。=0，得到Q面的大园赤平极射投影方程：· R (x-R骨)+2-R首)2=(B。) (8) 在地质学中，结构面的空间方向可用倾向方位角及倾角中给定（见图2）。与此适应，我 们令坐标系统的x轴水平并指向北，y轴直立指向上，z轴水平指向东，这时，我们有： a。=cosa=sin中cos0 B。=cosB=c0s中 (9) Ye=cosY=sin中sin0 将(9)式代入(8)，即得到以中、0给定的地质结构面的大园赤平投影： (x-Rtg中cos0)2+(z-Rtg中sin0)2=(eos)2 .(10) 由(10)可见，大园投影园的半径为R/Cos,除倾角中=0以外，投影园总是要比赤平园 半径大。B=中=0时得到赤平园方程x2+z2=R2。将此方程与(10)式联立，可求到大园投 影园与赤平园的一对交点为x=±Rsin0及z=千Rcos0。过此两点的直线x+ztg0=0,就 是大园与赤平园的交线，亦即空间平面的走向线，此线通过园心，将大园投影园分为二段，优 弧在赤平园外，劣弧在赤平园内。 (2)极点投影 第二种选择方法是使！。=R,空间平面与球平面相切，线与球面的交点N即为切点，点 N被称为极点。以I。=R代入(7)式，可知r=0,投影园退化为点，此点亦即为极点投影， 它也完全代表了空间平面Q,其坐标x,zn由公式(7)得为： xn=Rj+Bo 0 (11) +风+ 对于倾向方位角为0，倾角为中的结构面： 3

廷熟拼以扮拼i 空间平面 的大 园投 影和 极点投影 …月件 ( x 一 R 瓮 ) “ 欲 Z井一 R 省 q 一 ) 泛 朴 …… 一 ( 8 ) 在 地质学 中 , 结 构面 的空间方 向 可用 倾向方 位 角。及倾角小给 定 ( 见 图即 。 与此 适应 , 我 们令坐 标系统 的 x 轴水平 并 指 向北 , y 轴直立 指向上 , z 轴水 平指 向东 , 这时 , 我们 有 : a 。 二 c o s a = , i n 币 e o 。 。 c o ” 日 = c 0 3 小 co s 丫 = 吕i n 小吕i n Q ùnn u 一 口尸Y 、 I t 、 将 (9 )少号代入 (韵 , 即得到 以小 、 0给定的地 质结构面的大园赤 平投鼓 ( X 一 R 七g 小oe s 的 “ + (z 一 双馆小幼九的“ ( 9 ) ( 10 ) 耘粼罕 。 滤黔嚣黔架丫黑共群念 ) 缨 息翼黔霆 影园与赤平 园 的一对 交 点 为 x 一 * R is n 。及 z 一 、 R 。 , 。 。 . 过 此两 点 的直 线 x 十 2 t g 。 = 0, 就 是大园与赤平 园的交线 , 亦 即空间平面的走 向线 , 此线通 过 园心 , 将大园投影 园分为二 段 , 优 卜 弧在赤平 园 外 , 劣弧 在赤平 园内 。 - · ~ . 「 (2 ) 极点 投影 一 第二 种选 择方法 是 使 l 。 二 R , 空 间平 面 与球 平面相 切 , l 线 与球面 的交点 N 即为切 点 , 点 N被称 为 极 点 。 以 10 一 R代 入 (7 ) 式 , 可知 r w 一 0, 投影园退 化为点 , 此点亦 即为极点 投影 , 它 也完全 代表 了空间 平面 Q , 其坐标 x n 、 z 。 由 公式 ( ” 得 为 : _ 一 _ - 一 . 卜 n 一 “ 1子首 一 。 卜 n 十 尺、粼 、 ( 1 1 ) 对 于倾向方位 角为 0 , 倾 角为 币的结构面 :

xn=Rtg-2 cos0 (12) 名，=Rg -sin0 此外，极点的坐标，还常用以x为极轴，倾向方位角0为极角的极坐标（δ、0。）表示，这时， 此结构面的坐标表达式为： 图2 8n=Vxn2+2.2 =1+B。V1-B。2=Rtg$ R 2 (13) 0m=0 联结极点投影点与赤平园心的直线方程容易写出为x-zcg0=0,此线通过园心与走向 线垂直，它就是结构面的倾向线方程。 此外，结构面的法线1穿过球面时，与球面在两点处相交。除上述极点N是一个交点 外，尚有N点的对瞧点N'为第二交点，位置在下半球，其赤平极射投影点'在赤平园范围之 外。其极坐标表达式为： 8'=Rtg(90°-· 2 (14) 0m=0+180° 附带指出，比较(11)与(7)式，可见极点投影(xn、zn)并不等于以N为极点的任意球面园 V的赤平投影园W的园心坐标(xw、zw)。但是 Zn Zw 二者同处于赤平园上同一条射径之上，其极距分别为： 8=RYao+yo 1+B。 B-RVaity.s (15) （R+R)

C叩 O S i n o ( 1 2 ) 小一 2 gg李 . 十L , tt 二 RR 厂 Xz nn 一一 声.r、凡 此外 , 极点 的 坐标 , 还 常用 以 X 为 极 轴 , 倾 向方 位角。为 极 角的极 坐 标 ( 乙户 叽) 表示 , 这时 , 此 结 构面 的坐 标表 达 式 为 : 己 : 1 = 侧 x n “ + z n 一 1 十 日 图 2 一 ; 护 , 一 : 一 、 、 一 二、 小 一 斌 1 一 日 。 2 二 R gt 一 。 ’ ` 卜 U 几 一 。 2 ( 1 3 ) 、 I l j ` J 矛`子. Q 。 二 e 联结 极点 投影点 与赤平 园心的直线方 程容易 写出为 x 一 Z c 比 。 一 。 线 垂 直 , 它就 是结 构面 的倾 向线 方 程 。 此 线通过 园心与 走 向 此外 , 结 构面 的 法线 l 穿 过 球面 时 , 与球面 在两 点处相交 。 除 上述极点 N 是 一 个交 点 外 , 尚有 峭 的对 蹂点’N 为 第二交点 , 位 置在下半球 , 其赤 平极 射 投影点 ” ’ 在 赤平园 范围之 外 。 其极 坐标 表达 式为 : 各 n ’ 一 R ` g (。。一 岁 一 ) o n , 二 。 + 1 8 0 。 ( 14 ) 附带 指 出 , 比 较 l( l) 与 ( 7 ) 式 , 可 见极 点投 影 ( x 。 、 z 。 ) 并不等 于 以 N为极 J假的任意 球 面 园 v 的赤 平 投影 园 W的 园心坐 标 ( x w 、 Z w ) 。 但是 如纵 一 一场纵 ù一 一自0Y 二者 同 处于 赤平 园上 同一条射 径之上 , 其极距分 别为 : 二 R匕蜘 _ “ 1 十 + Y 。 日 。 、 了 a 。 。 W “ 竹 一瓦 一 2 十 Y O + 日 。 ) 厂 { 少 ( 1 5 )

由于1≤R,因此w8≥8n。 3吳尔夫投影网 绘制结构面的赤平极射投影迹线无需直接使用解析几何，吴尔夫制作的一种投影网就是 专供绘制结构面的投影用的。 一套吴氏网由两张网图组成，一为经纬线网，一为子午线网，两张网图取相同半径的赤 平园表出，互相配合使用。 (1)经纬线网 经纬线网由经、纬两族曲线构成，经线由走向相同，倾角不同的大园赤平投影迹线构 成（见图3），经线族方程为： R x2+(z±Rtg)2=(cosb) (16) 纬线是一系列与经线大园的走向垂直的直立乎面与球面交成的直立小园的赤乎投影迹 线，制图时取这些直立平面的参数为1。=RCos入，Y。=1,:(见图3)，由方程(6)得纬线族 方程为： R (x- cos元)2+z2=(Rtg入)2 (17) (2)子午线一纬度圈网 子午线一纬度圈网由另外两组平面的赤平极射投影构成。一组平面直立，通过参考园 心，但其走向方位角不同，这一组乎面的赤乎投影线称为子午线族。将方程(8)展开，令 B。=0即得子午线族方程： x.-ztg(0-90°)=0 (18) 其中(0-90°)为平面的走向方位角。 手年 维查 0 0 AF的 人=90 N 图3 5

由于 ` 夕 , 因此矽到俩 - 3 吴尔失投 影网 绘制 结构面的赤平极射投影迹线 无需直 接使用解析几何 , 吴尔夫制 作的 一种投影网 就是 专供 绘制结 构面 的投 影用 的 。 - 一套吴 氏网由两 张网图组成 , 一 为经纬线 网 , “ 为 子午线网 , 两 张 网图 取相同半径的赤 平 园表 出 , 互相 配合使 用 。 ’ (l ) 经纬线网 经 纬线 网 由经 、 纬两 族曲 线构 成 , 经线 由走 向相同 , 倾角不 同的大园赤 平投 影迹线 构 成 (见 图 3) , 经线族方程为 : _ 一 ( · 土 R t 、 州 二 (孟 ) 2 ( 1 6 ) 纬线是一 系列 与 经线大园的走向垂直的 直立平面与球面 交成的直立小园的 赤平投影迹 线 , 制图 时取这些直立 平面的参数为:10 R,c o吟 方程为 : _ 石 二 1 , ( 见 图3) , 由方程 ( 6) 得纬 一 线族 x( 一 篇 、 ) · + · 卜 俪 g 入介 ( 1 7 ) (2 ) 子午线一 纬度 圈网 ` 少耳犷黔 一组 平面直立 , 通 过参考 园 “ 线族 。 将 方 程 (8 ) 展开 , 令 ( 1 8 ) 合手 邵 垮 条维 度圈 愈戈. 闪 含 孚尤釜勿拍 罄 图 一 3 毋

纬度圈则为一系列水平小园的赤平极射投影迹线，在方程(6)中，令1，.三R心os,B。1, 即得纬度圈投影方程 时黄： x2+22=(Rtg2) (19) 经线、纬线、子午线和纬度圈之间的几何关系，详见图3 二、施密特投影网的解析 1.基本方程 兰勒特(Lam bert)提出的一种投影方法被称为等面积赤乎投影，它也是-一种赤平投 影，下面将看到这种投影与极射投影不同，但又有一定的联系。· 在参考球面上任取一点p,过P点作直立大园S如图4。按极射投影原则，P点的赤乎投 影为PW,但兰氏投影法要求以Ps点作为p点的赤平投影，规定ps点至原点的距离OP。等于 O'p,点O'的坐标为(O、R,O) 图4 令Ops=A,Opm=8,由图4可见，△与8之间存在着一定的联系。设∠OOP=,则 ∠0FP=,于是， 2Rsin-2=A 消去》得到 6

纬度圈则为一 系列水平小 园的赤乎极射投影迹线 , 在方 程 ( 6) 中 , 一 令 气 于 R co 昌朴 邓 。一巧 即得 纬度 圈投 影方 程 介 男 砖 介 七祥井 x “ + z “ 二 ( R t g 二一 ) 汉 ;19 ) 经 线 、 纬线 、 子 午线 和 纬度圈之 间的几 何关系 , 详见 图 3 二 、 施密特投影 网 的解 析 1 . 基 本 方程 草喜纂誓蒜让缘篡蕊{黔摺嘿塑……蓬氛黯{ 平 投熟 它也是 共种赤平 投 在 参考球 面 上任 取一 点 p , 过 p 点作 直立大园 S 如图 4 。 按极射投影 原 则 , p 点 的赤平 投 影为 p , , 但兰 氏 投影法要求以 p : 点作 为 p 点 的赤 平投影 _ : 规定 p 。 点至 原点 的 距 离0 P s 等 于 O , p , 点 O ` 的坐 标为 ( O 、 R 、 O ) 洲 / / 半/ 、 夕 _ 厂 。 竺 然 \ 汉狄、 冬书 爹 图 4 令 O p : = △ , O p w ~ 6 , 由图 4 可见 , △与 己之 间存在着一 定 的联 系公设乙 O ` O P :八卜 , 则 二。 , F P = 、 李 , 、 忘 ` 6 一 R = △ 业2 一 一? 2 ZR S i n 劝 , 目 二 。 子目 云 , 一 万 一 j 司 二 工lJ `

2R8 △=7R+28 (20) R△g.- 8=V 4R3△2 兰氏投影不要求对极角作任何改变，因此，在极坐标系统中，兰氏投影可以看作是对等角投影 所作的一种极距变换。这一变换由(20)式规定，是一种非线性变换。 由此可见，任意空间平面Q或Q面与参考球面的交线ⅴ的兰氏投影迹线（△、©）可以通过 ⅴ的赤平极射投影迹线W(δ、o)经变换(20)的作用而得到。这里，△，8表极距，①表示极角。 考虑到x=8coso,z=8sino,则由方程(6)得Q面或v线的赤平极射投影方程的极坐标 形式为： 2R2 -7BR(aco+Ysin)8+ B) =0 (l。+B,R)2 将8=√R△24R2-△2代入上式，得到： (Yin))++4R+(B-B.)-(a 10 +Yosin)2]△2+4R(R-B。)2=0 (21) 这就是Q面或ⅴ线兰氏赤平投影迹线的极坐标方程。通过 X8+Z2=△2 X =C080 √/X2+Z2 (22) 2 -sin /X2+Z2 坐标变换，就得到Q面或ⅴ线兰氏赤平投影迹线的直角坐标表达式： B。(X2+Z2)2+(aX+Yz)2(X2+z2-4R2)+ +4RB,(R-B(X+Z)+4R(食-B)2=0 (23) 为着区别，我们已将兰氏投影的直角坐标写为X、Z。由(21)及(23)式可见，任意空间平面Q 与参考球交线园ⅴ的兰氏赤平投影与其赤平极射投影不同，它不是一个园，而是一个表达式 比较复杂的四次曲线。下面将要看到，这是一个封闭的四次曲线。 2.大园投影和极点投影 (1)大园投影 在方程(23)中令1。=0，得到大园兰氏投影方程： B。2(X2+Z2)2+(u0X+YoZ)2(X2+Z2-4R2) -4R2B。2(X2+Z2)+4R4B。2=0 (24) 共以结构面产状印、0表示的形态为： 7

( 2 0 ) 万拼汗言… 等角投影 一 可以通过 示极 角 。 的极 坐标 R ` ( 己 “ 一 2 R 2 l 。 十 日 。 R ( a 。 oc 3 。 + 丫 。 s i n 。 )乞+ 一 子 一 日产’ (l 。 十 日 。 R ) “ 将 、 乙二 训 尺 2△ 2 4/ R Z 一 △ “ 代入 上式 , 得到 : 〔。 。 件 。 con 而 、 价icon ) · 〕△` 石叭。 。 ( 金 一 。 。 ) 一 ( “ 。 co 知 十 丫 。 、 而 ) 勺八 · + 4R 4 ( 一 令 一 。 。 ) 2 一 。 ( 2 1 ) 这就 是Q面或 v 线 兰 氏赤平投 影迹 线的极坐标方程 。 通 过 分+z 住 ~ 杏 2 - X 了贾可不2 舀 . C O S O ( 2 2 ) | | 火! 寸l , 仁e . Z 了 X “ + Z “ 吕I n 0 嘛变吟衅弋宾索愧萦绘睽絮黔碧茱象 一… 协一 队 2 ( 岁 +Z牛’ ) 2 干 a( 冰 + lort z) 气脚升叮 忍 一 4 R · ) 一 4 R 2 日 。 ’ ( X Z 十 2 2 ) + 4 R ` 氏 么 一 O 其 以 结构面 产状 垠 、 o 表示 的形 态为 : 」 - ( 2 3 ) 任意 空间平面 Q 而是 一 个表达 式 (2 4 )

(X2+Z2)2+(tgopcos0X+tgisin0Z)2(X2+Z2-4R2) -4R2(X2+Z2)+4R4=0 (25) 参数B。=1,a。=Y。=0代表赤道平面，以之代入(24)式，得到赤平园投影方程： X3+Z2=2R2=R2g (26) 式中已令√2R=R,、其中R。为兰氏赤平园的半径。由此可见，采用兰氏投影法则时，赤平 园将超出参考球水平大园的范围，其半径R,为参考球水平大园半径R的√2倍。 在兰氏赤平园中来看兰氏大园投影方程(24)，其表达式为： B。2(X2+Z2)2+(aoX+YZ)2(X2+Z2-2R。2) -2Rs2B。2(X2+Z2)+R。4B。2=0 (27) 仍然是四次曲线。 (2)极点投影 对(13)式作(20)式的变换，得兰氏极点投影的极坐标表达式 △。=2Rsin 2 (28) 0n=0 放在兰氏赤平园中观查，则极点投影的极坐标为： A,=V2k,sin号 (29) 0n=0 直角坐标表达式为： X,=V2R,sin号cos0 (30) Z,=V2R,sin号sin0 以上三公式中，都用空间平面的倾向方位角日及倾角甲作为参数。 3.施密特投影网 施密特根据兰氏投影法则，制作了相应的经纬线网和子午线一纬度圈网，从而使具有等 面性这一特征，但形态比较复杂的兰氏投影法在岩体力学中得到了广泛的应用。 (1)经纬线网 =0代入(24式，并注意到此时-1。°=1gB=tg,得到经线方 f。° 〔X2+Z2-2R)2+Z2X2+Z:-4R)tgY=0 或 (X2+Z-R。2)2+Z2(X2+Z2-2R。)tgP=0 (27) 在(27)中令Z=0,得到经线族的X轴截距为 X=±Rs 经线方程的Z轴战距，出现在X=0线上，由(27)式知此截距为： 么=±Rs√1±sinp (28) 经线方程组的极坐标表达式为： (△2-R,2)2+△2（△2-2R,2)sin2otg2p=0 (29) 8

( X “ + Z “ ) “ + ( t g 甲c o 吕OX + t g 伞3 i n 0Z ) “ ( X “ + Z 么 一 4 R “ ) 一 4 R “ ( X “ + Z “ ) + 4 R ` = 0 (2 5) 参数日 。 一 1 , “ 。 一 Y 。 二 o 代表 赤道平面 , 以 之代入 (2 4) 式 , 得 到赤平 园投影方 程 : X Z + 2 2 = Z R “ 二 R “ : (2 6) 式 中 已令训丁 R “ R : 、 其 中R : 为兰 氏赤平 园 的半径 。 J 由此 可 见 , 采用兰 氏投影法 则时 , 赤平 园将超 出参 考球水 平大 园的范 围 , 其半 径 R : 为参 考 球水平大 园半径 R的侧厄 一 倍 · J 在 兰氏赤平 园 中来看 兰氏大 园投影方程招 4) , 其 表达式 为 : 禹 2 X( 么 + Z ’ ) , +( a0 X + 0Y 动 2 X( 2 + 军 一 琢 · 么 沂 一 2R , 2 队 2 X( ’ + Z ’ +) sn, ` 禹 卜 o 、 「 招劝 仍然是 四次 曲线 。 . (2 ) 极点投影 对 ( 1 3) 式 作 ( 2 0) 式 的 变换 , 得兰 氏极点 投影的 极坐 标表达 式 、 l e j L 、 了l Jlse △ 。 = ZR 8 i n 。 。 = 0 ( 2 8 ) 贾 劝 . ù2 放在 兰 氏赤平 园中观查 , 则 极点 投影的极 坐标 为 : △ !飞 = 训 艺R : 。 。 = 0 _ : _ _ 印 扮卫 1 1— `二 一 乙 、 } 、 } / ( 2 9 ) 直 角 坐标表 达 式为 : X 。 = 了 厄 一 R : _ : _ 甲 _ _ * 八 b 二 i 且一石 - 七甘吕 甘 乙 ( 3 0 ) = 了 厄 一 R : 。 i n牛 一 s i n 。 二 以 上三公 式 中 , 都 用 空 间平 面 的倾 向方位 角 O及倾角甲 作 为参数 。 3 . 施 密 特投 影 网 施密特 根据 兰 氏投影 法 则 , 制作 了 相应 的经纬 线网 和子 午线一纬度圈网 , 从 而使 具有等 面 性这 一特征 , 但 形 态比 较复 杂的 兰氏 投影法 在岩 「 体 力学中得到 了广泛的应用 。 ( 1) 经 纬 线 网 山 。 2 一八p 土j ù 以 。 。 一 。代入 ( 2 4 ) 、 : , 并注意到 此 时 拭 = 尸 O t g “ 日 = 馆 “ 甲 , 得 到经线 方程 组 : t 〔X Z + z ’ 一 21t 2 〕卜 护 〔X Z 一 咚 2 一 4 R 2 〕t g 么 雄一 o 或 〔X Z + 2 2 一 R S Z 〕 「 2 十 Z 林X Z + Z 卜 2R 扩汁卿 一 o 在 ( 2 7) 中令 Z = o , 得 到经 线族 的X 轴截距为 X 二 士 R 、 经 线方 程 的 Z 轴截 距 , 出现在 X 二 。线 上 , 由 (2 7 ) 式 知此 截 距为 : Z = 以 。 们 一 玮i响 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 经 线方 程组 的极坐 标 表达 式为 : ( △ 2 一 R : “ ) “ + △ 2 ( △ “ 一 Z R : “ ) s i n “ 。 t g “ 甲 = 0 ( 2 9 )

或写为 △=±R:y1±Y1-1 sinotg" (30) 用(30)式，即可作出施氏经线网。 纬线网可在(23)式中令a。=1,B。=Y。=0及l。=Rc0s入而得到： X2(X2+Z2-2R2g)+R。4Cos入=0 (31) 其X触截距为： X=±RsV1士in入 (32) 纬线族的极坐标方程为： △4c0s2o-2R2,△2c0s2四+R,4c082入=0 (33) 或写为： A=±R,V1±V 1-(-C091)2 (34) C080 据(34)式，即可作出施氏纬线网。 2.子午线纬度圈网 在方程(25)中令甲=90°，得子午线族方程 X-Ztg(0-90°)=0 (35) 其中(0-90)表直立大园的走向方位角。 在方程(24)中，令1。=RCos,B。=1,a。=Y。=0得到纬度圈方程： X2+Z2=2R,sin2 2 (36) 可见纬度圈网的迹线为园。这是施氏网中迹线不是四次山线的唯一特殊情况。 三、两种赤平投影网的基本特征 吴尔尖网和施密特网之间有互相联系的一面，这种联系由坐标变换(20)来体现，通过 (20)式两种投影图形可以互相转化。但是，这种变换是一种非线性变换，因此，两种投影网 又各具有不同的特征。最基本的差别在于吴尔夫网是一种等角不等面的投影网，而施密特网 则是一种等面不等角的投影网，关于“等角”和“等面”，其含义将在下面定义。下面除 讨论两种投影网的异同外，还将谈到密度统计和等值线作图问题，结合吴氏网提出一个简单 的计算式以确定记数园的半径，从而改善利用吴氏网进行结构面统计计算的精度。 1.两种投影网的相互转化 构成吴氏网的各种大、小园的赤平投影迹线方程都是园弧，因此吴氏网容易制作。制作 施密特网可以根据上一节所给的公式，也可以以吴氏网为基础，按公式(20)，变化极距，用 图解的方法得到。 将吴氏网转换为施密特网，有两点几何关系需加注意。第一，当吴氏网的半径取为R时， 相应施密特网的赤平园半径需取为R,且.R。=√2R。第二，从吴氏网过渡到施密特网， 在赤平园之内，迹线的极距尽管都是放大，但就整个赤平来讲，从吴氏投影园过渡到施密特 四次曲线，极距是有放有缩，研究变换 8

或写为 “ 二 土 R S 丫 丫 l + 毓几 Z O t g “ 甲 ( 3 0 ) :拼 粉一 R一恻 / x = 士 R : 训1 士 is n 万 纬 线族 的极坐 标方程为 : _ A 气05 Z Q 一 ZR 气△、 昭 2 。 十 R , 4 co 扩 入 = o 或写 为 : ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 醉 士 * : 犷左 一 奋「两二彝瓦飞 C O吕 O〕 ( 3 4 ) 据 ( 3 4 ) 式 , 即可 作出施 氏纬 线 网 。 .2 子 午线纬 度圈网 ` 在 方程 (2 5) 中令 甲 = 90 “ , 得 子午线族方 程 X 一 tZ g ( 0 一 90 。 卜 o 其 中(。 一 90 。 ) 表直 立大 园的 走向方位 角 。 在方程 ( 24 ) 中 , 令 l 。 = R c os ’l1 目 。 一 1 , a 。 一 丫 。 = 衅手到 纬度圈方程 : ( 3 5 ) 、 二 。 . 。 , _ 。 。 . 2 月 厂 十 厂 一 拭 一 声ln 丫百下二 ( 3 6 ) 可见纬度圈 网的迹线 为园 。 这是施 氏网 中迹 线不是 四次曲线的 唯一 特殊 情况 。 三 、 两 种赤平 投影网的基本特征 … 施 密 苏两弃种 投 影网 的相耳 转化探协抓洲 翼篙寻耀疑整套从驾卿七黯报凳默鸯跺翼公鬓霆黑咒滥益尸街 图解的 方法得甄 将吴氏网 转换为 施密 特 网 , 有两 点几何关系 需加注意 。 第 一 , 当吴 氏 网的半径取为 R 时 , 相 应 施 密特 网 的 赤平园半径需 取为 R : , 且 凡 = 了了 R 。 第二 , 从吴氏网 过 渡 到施密特 网 , 念魏犷侃选馨黑犷麒重黔严 就整个料 来 讲 …从昊氏 “ 园过“ 缈 密特

2R8 △=√R2+ò2 可知，如果8=√3R,由上式有△=8；但若88；而在8>V√3R时， 如果8→0，则△→2R,这说明在赤道平面上存在一个半径R。=√3R的“中性圈”，在此圈 上，两种投影永远相等；中性圈内，8被放大了；中性圈外，ò被缩小，但△不会象8那样趋 向于无穷大，△的最大值等于2R(见图5)。 清条5含 209 5 40 05 图5 图6以统一的坐标绘出了两种投影网45°经线和45°纬线。上述变换关系和几何关系即一 目了然。 图6(1) 2。投影的等角性问题 设有任意二空间平面，其法线夹角为中。，置于参考球中后，其大园在G点相交，交角为 10

△二 Z R 各 训 R “ + 6 “ 可知 , 如果 乙= 训 了 R , 由上 式有△ = 各; 但若 乙 乙 ; 而 在 乞> 训了 R 时 , 如果 乙、 伪 , 则 △ , Z R 。 这 说 明在赤道平面 上存在 一个半径 R 。 二 侧 一 了 R的 “ 中性圈 ” , 在此圈 上 , 两种 投 影永远相 等 ; 中性圈 内 , 乙被放大了, 中性圈外 , 各被缩小 , 但八不会象 乙那样趋 向 于无 穷大 , △的最大值等于2 (R 见 图 5) 。 一 诊 ù 一 。、 主扮 ” _ 一一% 一丫 一 ù ~ 口 ” . 决 ` O 。 . “ ’ ` 丁下一 , 一一工一一气 图 5 图 6 以 统 一的 坐标 绘出 了 两 种 投影 网 4 5 ’ 经线和药 。 纬 线 。 上述变换 关系和几 何关系即 一 目 了然 。 图 6 ( 1) 2 . 投 影 的等角性 问题 设 有任意 二 空间平 面 , 其 法线夹 角为小 n , 置于参考球 中后 , 其 大园在G点相交 , 交角为