方坯连铸数学模型的工程实用化

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.04.003 北京钢铁学院学报 第9卷第4期 Journal of Beijing University Vol,9 No.4 1987年10月 of Iron and steel Technology 0ct.1987 方坯连铸数学模型的工程实用化 李士琦 马廷温黎学玛 (电冶金教研室) 要 通过对方坯连铸过程的分析，建立了二维非稳态凝固传热数学模型。根据铸还 长度约为断面尺度10倍的特点，选用线上积分法求解，致使模拟计算可用一般的 IBM一PC/XT型微机在合理的时间内完成，从而在方坯连铸数模的工程实用化方而 取得了满意的进步，可望成为科研。设计和生产现杨的有力工具。 义中还列举了一些模拟计算结果。 关键词：方坯连铸，数学模型，线上积分法 On Application of A Mathematical Model of Square Billet Continuous Casting to Engineering Li Shigi Ma Tingwen Li Xuema Abstract A mathematical model of two-dimensional unsteady solidification heat transfer has been'developed to simulate the square billiet continuo- us casting.Due to the ratio of length to cross section of the billets is about 102,an integral on line is used to complate the simulation with a common computer IBM-PC).As a result,application of this model to engineering has been made satisfactory. Key words square billet continuous casting,math.model,integral on line 1986一07一26收稿 16

北 京 ‘ 钢 铁 学 院 学 报 第 。 卷第 期 年 月 二 一 ，，，，二二二，，份一 甲二二二二，，，二二丫尸，，二 尸一一 二一 ， 一一 二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 犷 方坯连铸数学模型的工程实用化 李士琦 马廷 温 黎学玛 电冶金教研室 摘 要 门 通过对方坯连铸 过程的分析 ， 建立了二维非稳态凝 固传热数学模型 根据铸坯 长度约为断面尺度 ，倍 的特点 ， 选用线上积分法求解 ， 致使模拟计算可用一 般的 一 型微机在合理的时间内完成 ， 从而在方坯连铸数模的工程实用化方面 取得了满意的进步 ， 可望成为科研 设计和生产现场的有力工具 。 文中还列举了一 些模拟计算结果 。 关链词 方坯连你 数学模型 ， 线上积分法 一 ” 功 ‘ 一 · 。 ， 一 ， ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．04．003

1数学模型的建立 连铸数学模型的实质在于综合初始条件和各种边界条件求解凝固传热微分方程，以 期定量地描述各物理量、工艺参数对冶金指标的影响。 1.1坐标系 如图1所示，取结晶器弯月面几何中心 点为坐标系0xyz的原点，所论空间为： 0≤￥≤D,0≤y≤D,0≤2≤L 1.2传热基本微分方程 (1)在已经凝固的铸坯中，忽略密度 p,的变化，可建立如下非稳态传导传热偏 图1.坐标系 微分方程： Fig.1 Coordinate p,CCT）=日(kr)+0(T)+日(kC) (1) 0T 0x 02 ①实测z向热流很小，问题简化成二维。 ②拉速u恒定且铸坯各点温度处于准稳态，利用u=dz/dr,可将时间坐标τ转化成空 间坐标2。 ③考虑到冷却过程中相变潜热的释放和比热C的变化，引入H一T曲线，将温度场 转换成热焓场。 ④导热系数取为温度的线性函数： k=a+bT (2) 其中常数a、b由钢种物性所决定。 由此得到传热基本微分方程为： pw时=（日T+g)+b〔（歌）2+(C)门 02 0x2 8y2 (3) 0x 8y (2)未凝固的液芯中，仍采用固体传热的统一形式(1)，各种影响靠引入有效 传热系数来修正： k,tE=nkn:修正系数， (4) p股=k(8+8)+(（8部)+（部)门 82 (5) (3)两相区中的传热，传热系数取为： k'.:=1+n-k (6 2 17

数学模型的建立 连铸数学模型的实质在于综 合初始条件和各种边界条件求解投固传热微分 方程 ， 以 期定量地描述各物理量 、 工 艺参数对 冶金指标的影响 。 。 坐标系 如 图 所示 ， 取结晶器 弯月面几 何 中心 点为坐标 系。 二 的原点 ， 所 论空 间为 ， 《 ， 《 之 传 热甚本徽分方程 在 已经凝固的铸坯 中 ， 忽略密度 的变化 ， 可 建 立如下非稳态传 导 传 热 偏 微分 方程 一右祠一衬仍侧。‘己 图 坐标系 一 口 口 ， 二 口 、 口 ， 口 尸 ， 一一气了 一 ’ 二 一 洲 、 “ 二丁一 ， 个 二一 火 尽 兀二 口 口戈 口 口 口少 典 吞 口之 攀口之 ①实测 向热流很小 ， 问题 简化成二维 。 ②拉速 恒定且铸坯各点温 度处 于准稳态 。 利 用“ 二 ， 可 将时间坐标 转化 成 空 间坐标 。 ③考虑 到冷却过 程 中相变潜热的释放 和比 热 的变化 ， 引 入 一 曲线 ， 将温 度 场 转换成热焙场 。 ④ 导热 系数寿取 为温 度的线 性 函 数 其中常 数 、 由钢种物性所 决 定 。 由此得到 传热基本微分方程 为 吕 · 二 “ ‘ 日 口 忿 器 ， · “ 〔 ‘ 臀 ， ‘ 臀 ， 〕 未凝 固的液芯 中 ， 传 热 系数来修 正 掩 。 ， ， 掩 ” 仍采用 固体传热的统 一形 式 ， 各种影响靠引人有效 修 正 系数 ， ，，卜髻红 ， ， 一 粤笃 一 十 口 一 口么 ， ‘ · 〔 ‘ 器 ， ‘ 晋 ， 〕 两相 区 中的传热 ， 传 热系数取为 ， 。 ， ， 粉

÷pw盟=(8肝+8肝)+16〔(8船)+(8部)门 02 2. (7) 1.3初始条件和边界条件 (1)初始条件 t=0时，2=0，T。=TMM (8) Ho=HMM (9) 其中T。、H。为初始温度，初始热培，TwM、HwM为浇铸温度和该温度下热培。 (2)边界条件I(铸坯中心x=0,y=0) 假定方坯传热是关于0,0y轴对称的，此时铸坯中心处热流和温度梯度均为0： aT 0xx=0=0, 0yy=0=0. (10) (8)边界条件Ⅱ（铸坯表面x=D,y=D) 铸坯表面传热，均按第2类边界条件处理 一k0T/ x=D=g,·-k07 ayy=D=q (11) 沿拉坯方向，在不同的区段上表面热流密度分别有： ①结品器区：a、按结晶器平均热流密度q考虑 一68C=9, 一k8C=g4 ay (12) b、结晶器内分段考虑热流密度qw1 Cancast公司实测热流密度r3)如图2 9、0 所示，可沿整个结晶器的高度分段取不同的 .5 8.2 Casting speed,m/min 平均热流密度qw: 7.4 6.6 9M1=-k0T 6x 5,8 94:=一kT日 (13) 1.0 E 5.0 ya 兰 4.2 0-g 1.2 i=1,2,3……m 3,3 2.5 m:结晶器划分段数。· 0100200300400500600700 ②喷水冷却区取各热流密度q为： Distanve from mouldtop hm.mm 9aI=hB(T-TR), 图2结晶器热流密度 Fig.2 Heat flux density profile in medel j=1,2,3…r（14) :二冷区的划分段数。 综合给热系数h.;可通过冷却水密度W,来估算，h属1与W;的关系式为： hR1=AW (15) 其中常数A、a由实验测定。 18

、户 、刀 勺竹 口一一 ‘ 了 十 一 ， ， “ 一一二户宁一 付 · 仁 〔 气 一下尸飞尸 ， 下二了下一 口之 口 一 寸 十 ， 广 ， 口 丁 一 口 叹 、 艺 、 －口 初始条件和边界条件 初始条件 二 ， 时 ， 二 二 ， 。 二 。 。 二 ， ， 其中 。 、 。 为初始温度 ， 初始热焙 ， 。 。 、 ， 。 为浇 铸温度和该温 度下热 焙 。 边界条件 铸坯 中心， ， 夕 二 。 假定方坯传热是关于。 二， 。 轴对称的 ， 此时铸坯 中心处热流和温度梯度均为 。 卫二 。 二 。 、 目 旦里 一 二 。 扫戈 苏 一 口 少 边界条件 铸坯表面戈 刀 ， 刀 铸坯表面传热 ， 均按第 类边界条件处理 一 荟 二 。 ， 一“器 ， 二 。 二 。 沿拉坯方 向 ， 在不 同的区段 上表面热流密度分 别有 ①结 晶器 区 、 按结 晶器平均热流密度奋 ， 考虑 之三口三妇‘日 一 ， 一 一 ’ 一 华华 瓦 一掩卫二一 二 只 口 一 ， ， ” 口夕 一 ， ” 、 结 晶器 内分段考虑 热流 密度 二 ， 公司实测热流密度〔 〕 如 图 所 示 ， 可沿整个结 晶器的 高度分 段取不 同 的 平 均热流密 度 二 二 甘 二 一 凡 一二一一一 ， 瞥 “ 二 －尺一一，几万一 、 口 “ ， ， ， ” ” ” · … 结晶器划分段 数 。 · ②喷水 冷却 区 取各 热流密度 ，为 ， ， 入 一 一 ， ， ， ， · · 一 ， 二冷区 的划分段数 。 认 叮 阵 ， 左 ‘ 习 入 、 丫 厂气 、 、 州 ， 。 、 卜汀反 ‘ 尹 子 二 一 卜， 全城二气 图 结 晶器热流密度 尽 二 综合给 热系数 ， ，可 通 过冷却水密度牙 来估算 ， 与牙 。的关系式 为 ， 才 “ 其中常数 、 由实验测定

③空冷区仅考虑铸坯对环境的辐射传热，热流密度 g.=e[(Tt373)-(Tt273)门 100 100 (16) 基本微分方程式(3)、(5)、(7)和定解条件(8)、(9)、(10)、 (12)、(13)、(14)、(16)构成了方坯传热数学模型。 2 参 数 在求解温度场T(x,y,2,T)时，涉及到各类输入、输出参数。 2,1输入参数 (1)热物性参数：①固相线温度T,液相线温度TL。②凝固潜热L:,钢的比热 C,钢的热焓H。③钢的热传导系数k。 (2)工艺参数：①钢种的化学成份。②浇铸温度Tw、浇铸速度u。③结晶器热 流密度qM,二冷区冷却水分布。④冷却水温T,环境温度T。⑤二冷区综合传热系 、数hR。 (8)几何参数：①铸坯断面边长2D,结晶器长度hm。②弧型铸机半径。③二冷 区喷水长度，喷嘴型号及布置。④铸机冶金长度。 2,2输出参数 (1)铸坯温度：①铸坯温度场T(x,y,之，t),②铸坯液相线、固相线形状。 (2)凝固坯壳厚度：①结晶器出口时凝固壳厚度òm。②浇铸方向上各断面坯壳 厚度8。 (3)液芯长度Lm。 (4)表面温度：①拉坯方向表面温度Tm。②铸坯断面表面温度T,。③矫直点表 面温度。 (5)温度梯度：①拉坯方向表面温度梯度。②任意断面坯壳内温度梯度。 3 离散化和求解 2维非稳态传热，固、液两相区分别取不同的传热公式，拉坯方向各段取不同的边 界条件，这样的问题无法用解析法求解，故采用数值方法，利用电子计算机求解。 目前普遍采用显式有限差分方法，使用这种方法，首先要将问题按坐标系离散化。 2维非稳态问题离散化时，必须满足稳定、收敛条件 0<e:a2t)<号 pC(△x2·△y2) (17) 时间步长△r的值要受到空间步长△x、△y取值的限制。当拉速为1,1m/min,断面 为180×180mm,冶金长度11m时，随△x、△y取值的改变，△x的取值及节点个数的数值 列于表1。 19

③空 冷 区仅考虑铸 坯对环 境的辐射传热 ， 热流 密度 。 二 。 〔 一 ，‘ 〕 基本微分 方程 式 、 、 和定解条件 、 、 、 、 、 构成 了方坯传热数学模 型 。 参 数 万 在求解温度 场 ， 夕， ， 时 ， 涉 及到各 类输入 、 输出参数 。 输人参数 热物 性参数 ①固相线温度 ， 液相线 温 度 ‘ 。 ②凝 固潜热 ，， 钢的 比热 ， 钢的热焙 。 ③ 钢的热传导系 数 工 艺参数 ①钢种的化学 成份 。 ②浇铸温 度 ， 浇铸速度 。 ③结 晶器热 流密度 ， ， 二冷区冷却水分 布 。 ④冷却水 温 ， ， 环境温 度 。 ⑤二冷区综 合 传 热 系 数 ，。 几 何参 数 ①铸坯断面边长 ， 结 晶器长度 。 ②弧 型铸机半径 。 ③二 冷 区喷水 长度 ， 喷嘴型号及 布置 。 ④铸机冶金 长度 。 输出参数 铸 坯温 度 ①铸坯温度场 ， ， ， 。 ②铸坯液相线 、 固相线形 状 。 凝 固 坯 壳厚度 ①结 晶器 出 口 时凝 固壳厚度占 。 ② 浇铸方 向上各断 面 坯 壳 厚度占 。 液芯 长度 表面 温度 ①拉坯方 向表面 温度 。 ②铸 坯断 面 表面温度 。 ⑧矫直 点 表 面 温度 。 温度 梯度 ①拉坯方向表面 温度梯度 。 ②任意断面坯 壳 内温 度梯度 。 离散化和求解 维非稳态传热 ， 固 、 液 两相区分别取不 同的传热公式 ， 拉坯方向各段取不 同的边 界条件 ， 这样的问题 无 法用解析法求 解 ， 故采用 数值方 法 ， 利用 电子计算机求 解 。 目前普遍采用 显式有限差分 方法 ， 使用 这 种方法 ， 首先要 将问题 按坐标系 离散化 。 维非稳态 问题离散化时 ， 必须满 足 稳 定 、 收敛 条件 益 下 △戈 么 △ 么 △劣 · △ “ ，盏赴 一 － 时 间步 长△下 的值要 受到空 间步长△ 、 △ 取 值的限制 。 当拉速 为 ， 断 面 为 火 ， 冶 金 长度 时 ， 随 △二 、 △ 取值的 改 变 ， △ 的取值及 节点个数的数值 列于表

表1步长与节点 Table 1 Interval and number of dots △X,△y △T △Z N Calculated time cm cm Number of dots 1.5 1.01 1.85 29,088 2.02 1.0 0.5 0.82 125,000 8.68 0.5 0.113 0.21 1890,952 131.32 0.3 0.074 0.135 14,285,135 992.02 0.25 0.051 0.093 29,527,450 2050.52 为了观察坯壳厚度，△x、△y取值应较小。由表1可以看出，此时△τ取值急剧减 小，计算时间大大增加。表1中列出了用IBM一PC等级的微机作计算工具时一次模拟计 算所用时间。可见，当△x、△y取值小于0.5cm时，采用有限差分法求解，实际上是难 以实现的。 为了解决在微机上方坯传热的计算问题，选用SDS一A系统包(4)作为求解的工具， 所用求解方法为线上求解法，对形式如(3)的偏微分方程，线上求解法的求解过程分 为两步： (1)离散化将空间坐标x、y进行离散，在各个离散点上用差商代替微商。最 后将导热偏微分方程化成热培H对空间坐标系的常微分方程的差分方程。 (2)数值积分：对差分形式的常微分方程，用数值积分直接求热培分布。可根据 计算速度和精度要求选用不同的积分方法。 连铸的特点是截面小、铸坯长，纵横向尺度比约为10。因此，计算时希望截面方 向步长小，拉坏方向步长应大1~2个数量级。有限差分法空间步长的取值限制了时 间步长的取值，△τ取得过小，计算量大大增加。采用线上求解法时，时间步长△π或步 长△z(=u·△x)不受空间步长△x、△y的限制。减少了节点，大大节省了计算时 间，正好适合于连铸坏纵横向尺寸比的这一特点。 4典型模拟计算结果 方坯连铸数学模型主要用来做模拟实验，从而定量地评估各参数对连铸过程治金指 标的影响。现将结晶器热流密度及二冷段比水量对各输出量影响的模拟计算结果简述如 下： (1)结晶器平均热流密度对出结晶器时坯壳厚度δ。及出口处表面温度Tm的影响 示图3。 (2)固定二冷各段配水量之比，只讨论总的比水量形R(dm3/kg一钢)的影响。 液芯长度和矫直点表面温度随W.的变化示于图4。拉坯方向表面温度随形.的变 化示于图5。拉坯方向坯完厚度的变化示于图6。横截面上表面温度随W.的变化示于 图7。 20

衰 步 长 与 节 点 △ ， △ △ 一” ‘ 里 一， 卜 。 。 。 ， ， 一 ， ， ， ， 。 。 为 了观察坯壳厚度 ， △ 、 △夕取值应较小 。 由表 可以看 出 ， 此时△ 取值 急 剧 减 小 ，计算时间大大增加 。 表 中列出了用 一 等级 的微机作计算工具时一次 模拟计 算所用 时 间 。 可 见 ， 当△ 、 △ 取 值小 于。 时 ， 采用有限差分 法求解 ， 实际 上是 难 以 实现的 。 为 了解决在微机上方坯传热的计算问题 ， 选 用 一 系统 包〔 〕 作为求解的工 具 ， 所用求解方法为线上求解法 ， 对形 式如 的偏微分方程 ， 线 上求解法的求解过程分 为两步 离散化 将空间坐标 、 进行离散 ， 在各个离散点上用差商代替微 商 。 最 后 将导热偏微分方程化成热焙 对空间坐标系的常微分方程的差分方程 。 数值积分 对差分形 式的常微分 方程 ， 用 数值积分直接求热给分 布 。 可根据 计算速度和精度要 求选用 不同的积分方法 。 连铸的特点是 截面小 、 铸坯长 ， 纵横向尺度比约 为 名。 因此 ， 计算时希望截 面 方 向步 长小 ， 拉坯方向步长应大 个数量级 。 有限 差分 法空 间步长的取值 限 制 了 时 间步长的取值 ， △ 取得过 小 ， 计算量大大增加 。 采用线上求 解法时 ， 时间步长△丫 或 步 长△二 。 · △ 不 受空间步 长△二 、 △ 的限 制 。 减 少 了节点 ， 大 大 节 省 了 计 算 时 间 ， 正好适 合于连铸坯纵 横向尺寸 比的这一特 点 。 刃 典型模拟计算结果 方 坯连 铸 数学模 型主要用 来做模拟实验 ， 从而 定量地评 估各参数对连 铸过程冶金指 标的影响 。 现将结 晶器热流密度及二冷段 比水 量对各输 出量影响的模拟计算结果简述 如 下 结 晶器平均热流 密度对 出结 晶器时坯壳厚度占 及 出 口 处 表面温度’ 二 的 影 响 示 图 。 固定二冷各段配水 量 之 比 ， 只讨论总 的比水 量附 ， ” 一钢 的影响 。 液芯 长度和矫 直 点表 面温 度随不 的变化示 于 图 。 拉坯方 向表 面温 度 随 平 ， 的 变 化示 于 图 。 拉 坯方向坯 壳厚度的 变化示 于图 。 横截面 上表面温度随不 的变化示 于 图

- 1050 1500 1300 1000 1100 950 900 8.50 20 8.00 o 7.50 2 0.60.7、0.8·0.91.01.l 6384 103126 Speeifle water ratto WR,dm37kg Avereging heat flux in mould J/em.s 图3gm对出结品器下口时坯光厚度和表面温度的影响 图！R对液芯长度及娇直点表面温度的影响 Fig.3 Effect of gm on billet thiekness and Fig.4 Effect of wR on liquid pool and surfaco surface remperature at model bottom tempera.ure at unbending poin 1500 Waidm'/kg) 1200 100 1000 700 34567891011 Distance from meniseus 2,m 图5拉还方向表面温度的变化， Fig.5 Surfsco tempersrure profile in cas:ing direotion Wg(dm/kg) y 2知2.25m 1.1 -0.8 1100 y=90 mm 1000 Ifeys 3aI!q 900 wn(din/g) 800 700 0.7 600 2 500 0102030405060708090 0 1 23 45678 X,mm Distance from meniscus Z,m 图6拉坯方向还壳厚度示意图 图7横戴面上表面温度分布. Flg.6 Thickneas of billet casiing direetion Fig.7 Surface temperaiure distribution in croas seccion 21

喇州咧哟 ‘尸一‘侣民 碑日芍盆名芍‘日芝写甘 味 ‘ 闷节留三︸曰工。改吕‘ 卿口︸﹄卜 ， 卜 。 。‘ ‘ 己儡脚的盆已‘今 ‘ 目‘，，卜二 ‘二‘ 名，已曰‘健 日刀目归。‘一上卜艺‘ ‘ 叮哈 咖 ‘ 口 一 羔 。 。 匆 沁 ， 南 呱 ，沁 图 叮 对出结晶器下口 时坯壳厚度和表面温度的影响 吸 五 ， 犷 一 一 图 落 ， 对液芯长度及矫直点表面温度的形响 咬 一 一 ，。 口 、 。 七。 奋 主 二， 侧 己召‘侧。已艺勺。卜三巴。‘盆 图 。 。 ‘ 爪 一 拉坯方 向表面温度的变化 丈 犷 成 ， 娜 吸枷场》 一 卜‘ ，‘ 注 一 一 一 一 。 助 自 日‘ 一 。 一 山 一 尹 卢尹 八‘ ， 门‘ 侧祠‘。‘ ， 召口‘ 乞艺卜﹃昌‘幼的材场乏峪 ， ， ， 图 拉还方向坯壳厚度示意图 犷 ‘ 日， 【 全 晚 图 横截面上表面温度分布 。 ‘ 定 一 。 。 一

由典型的模拟结果可看出，连铸凝固传热的数学模型可用来：①提供设计连铸参数的 初步意见，或对设计方案进行评估。②指导生产中操作制度的制定；帮助生产工艺达最 优化；提供分析生产事故和质量事故的依据，指导工艺试验方案的制定。③提供自动控 制模型的基础，保证连铸生产实现自动化。 (8)实验条件 本实验所用计算机为IBM一PC/XT的兼容机。铸坯断面尺寸 为180×180mm,结晶器长700mm,治金长度11m。每一次计算约需410h。 5结 论 (1)连铸方坯凝固传热是一个较为复杂的问题。本工作使得求解可在IBM一级的 微机上实现。这样的计算工具为一般的设计单位和现场所允许。 (2)在微机上求解（做一次模拟计算），约占4~10h,这样的数学模型可望成 为工程实用中的有力工具。 (3)本模型考虑了11个输出量，30个输入量。模拟计算表明，较好地反映了各因 素对冶金指标的影响。 参考文献 1 Lait,J.E.et al:Iron Steelmaking,2 (1974),90 2 Brimacombe,J.K.et al:JISI,211(1973),24 〔8)Concast小方坯连铸资料之一。 〔4〕胡上序、马正午等：多功能系统仿真程序包SDS一A,北京钢铁学院自动化 系，1985年 22

由典型的模拟结果 可看 出 ， 连 铸凝固传热的数学模型可用来 ①提供设 计连铸参数的 初步意见 ， 或对设计方案进 行评估 。 ②指导生 产中操作制度的制定 帮助生 产工艺达最 优化， 提供分析生 产事故 和质量事故 的依据， 指导工 艺试验方案的制定 。 ③提供 自动控 制模型 的墓础 ， 保证连 铸生 产实现 自动 化 。 实验条件 本实验所 用 计算机为 一 的兼容机 。 铸 坯断 面尺寸 为 ， 结 晶器 长 ， 冶 金长度 。 每一次计算约 需 。 结 论 连 铸方坯凝固传热是 一个较为复杂 的问题 。 本工 作使得求解可在 一级 的 微机上实现 。 这样的 计算工 具为一 般的设计单位和现场所允许 。 在微机上求解 做一次模 拟计算 ， 约 占 ， 这 样的数学模型可 望 成 为工程实用 中的有力工具 。 本模型考虑 了 个输 出量 ， 个输入量 。 模 拟计算表明 ， 较 好地反映 了各 因 素对冶金指标的 影响 。 参 考 文 献 〔 〕 ， 阴 夕， ， 〔 〕 ， ， ， 〔 〕 小方坯连铸资料之 一 。 〔 〕 胡上序 、 马正午等 多功能系统 仿真程序包 一 ， 北京钢铁学 院 自动 化 系 ， 年