D0I:10.13374/j.is8n1001053x.1986.01.037 北京钢铁学院学报 1988年12月 Journal of Beijing University No.4 第4期 of Iron and Steel Technology Dec.1986 一类非线性自治大系统的全局稳定性 廖福成 (数学第一教研) 摘 要 本文研究非戈州日治大系统 (i=1,…,r) 这里,x:ERni,f:jEC(RnJ,Rni),f:1(o)=0,得到保证其零解为全同一致渐近稳定 的充分条件(见定理1), 关键词:非线性系统,自治系统,大系统,全局稳定牲 On Uniformly Asymptotic Stability in the Large to the Non-Linear Autonomous Large-Scale Systems Liao Fucheng Abstract Let f,i (i,j=1,2....,r)are continuous,the autonomous nom-linear arge-scale system with equatiom d-=三f1(x1)(i=1,2”r) dt j:1 are considered,where xi is n;vectors and,assume it has a null solution. Some rather well conditions,under which the null solution of above system is uniformly asymptotically stable in the large,is obtained. Key words:non-linear system,autonomous system,large-scale system,sta- bility in the large 1986-01-10收到 120
, 年 月 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 一类非线性 自治大系统的全局稳定性 廖 福 成 数学第一教研 哼为 摘 要 木文 研究非乡钟 日 洽大 系统 , 、 , 气 一 二二二 尹 圣 气 气 — , ’ , 盆 少 二 这里 , , ” 的充分条件 见定理 , , 得到保证其 零解为全局 一致渐 近稳定 关键词 非线性 系统 , 自治 系统 , 大系统 , 全局稳定性 一 一 , , … … , , 以 , 以 一 一 飞 一 , ‘ 一 里 , “ , “ , ’ ‘ 二 ‘ , “ ’ · · , , 一 , , 。 一 了 , 、 , 一 , 一 一 良到 DOI :10.13374/j .issn1001—053x.1986.04.037
关于非线性自治系统,文〔1〕已有比较详细的研究。本文利用加权和的Liapunov函 数法,研究一类类似于“分离变量”型的非线性自治大系统,得到判定其零解全局一致渐近 稳定的条件, 本文考虑系统 dfn(x) dt j=1 (i=1,2,,r) (1) 其中,x:∈Ri,fii∈C(Ri,Ri),f;i(o)=0,x=(x,,x)T∈R"。 定理1·设系统(1)满足条件: ①对每个i(i=1,,r),f.i:R"→Rn是梯度映射r2,且满足:f:(x1)xi <0(x+0),投m-1f:(x)重=+, ② 1f(x)≤b:1(i+j,x,≠0), Ifji(xi) 其中b:为常数, ③矩阵 ,-1b12…b1r b21-1…b2: B= b,1b,2…-1 稳定(即其所有特征值都有负实部), 则系统(1)的零解是全局一致渐近稳定的。 证明f::(x:)为梯度映射,它的位势可取为2) ∫:(tx)xd, 其中fH:表示f:(tx:)的转置,令 u,(x)=-∫:(tx)x:d, 由假设条件①易知v,在R1中正定,注意到 kw=(8驶)-=-(x)(x) dvi j=1 ≤-1f:(x,)1+8,Ifi(x;)11f1;(x1)1 年1 j≠i =1f:(x,)I〔-8:(x:)司+三,Tf,:(x,)了f(x)I门 目fi(x:)具〔-用f,:(x,)1+Sb:if,i(x;)I) j1 isi 121
关于非线性 自治系统 , 文 〔 〕 已有比 较详细 的研究 。 本文利用 加权 和的 函 数法 , 研究 一 类类似于 “ 分 离变量 ” 型的非线性 自治大 系统 , 得到判 定 其零解全局 一致 渐近 稳定 的条件 , 本文考虑 系统 、 互 一一 二 ,一 二 云 气 一 , … , 其中 定理 , 〔 ” 〔 , ” , , 二 , … , 丁 〔 ” 。 。 设 系统 ①对 每个 , 满足 条川 尺 ” ‘ ” ‘ 是 梯度映 射 〔 〕 , 满足 丁 , , 祷 入 一一, 簇 二 铸 , 子 料 一奋且几口 ② 其 中 ,为常 数 ③ 矩 阵 厂 一 … , 二 ” 一 ‘ … 丫 , 一 稳定 即其所 有 特征值都 有负实部 , 则系统 的零解是 全局 一致渐近 稳定的 。 证 明 , 为 梯度映 射 , 它 的位 势可取 为〔 “ 〕 丁 ‘丁 ‘ 一 ’ ‘ , 其 中 丁 , 表示 的转 置 , 令 · 卜 丁 ‘ ‘ , ‘ , 由假设 条件① 易知。 、 在 ” ‘ 中正定 , 注 意到 二 一 丁 、 , 艺 十 艺 儿‘ 不 一 、尸 一 一神 子 , 一 干 艺 、 一 笋 土立止兰上车 、 , 〕 司丫一
令i从1取到n,我们就得到了 1f1(x)1 0 If::(x:){ ;B (2) dt v,(1) 0 1f:,(x,)I f,,(x,)1 由于B稳定,B又是Metzler矩阵3),所以可以找到正定对角矩阵D=diag(d,, d,)使得 BTD+DB 负定,取 留 V:(x1) 学 v(x)=Sd;v,(x:)=(d,,d,), V,(x,) 由条件①,不难知道V(x)是R中的正定函数,而且它是无限大的,又有无限小上界。由 (2)有 If:r(x)‖ 0 If1 1(x1)I 0la0,为一常数), i✉l 所以(①又是负定的,由文献〔4)知系统(1)的零解是全局一致渐近稳定的, 证毕。 击:知果把条件@中的4-:《x)1=+“(=1,r)去璃,则仍能保 证全局稳定性但不能保证全局一致渐近稳定 定理2,把定理1中的①改为 ①′f;(x:)X1>0(x:≠0,i=1,…,r), 条件②和3不变,则系统(1)的零解是不稳定的 证明,这时取 v (x)=f:f(tx)xd 122
令主从 取到 , 我们 就得到了 一 , 、 、 , , 。 一 、 — 竺 屯尧 勺 一 , 一 一 寸 , 钊勺钉咯山 呼 ︸ 由于 稳 定 , 又 是 矩 阵 〕 , 所 以 可 以找 到正 定 对 角矩 阵 二 ,, 使得 负 定 , 取 , 艺 ‘ 二 , … , 了 一 土 由条件① , 不难 知 道 是 ” 中的正定 函 数 , 而且它 是 无限大 的 , 又有 无限 小上 界 。 由 有 工 , , , 斋 、 , 一 · , , 三 , 二 】 , , … , , 二 , 一 , , 〔 忍 〕 , , 《 一 久 艺 , “ 其 中六 , 为 一常 数 ,, 、 、 、 , 、 , ,、 , , , 、 , ‘ 、 ‘ 、 肌 以 习 「 关 龙 贝 退 旧 , 田 又 献 七 知 杀 玩 戈 的 零解 是 全局 一致渐江 记足 日 证 毕 。 注 女口果 把 条件① 中的 ‘ 飞 、 一 卜 二 二 艾 一 , 去 掉 , 则仍 能保 证 全局 稳定性 但 不能保 证 全局 一致渐 近 稳 定 定理 把定理 中的① 改为 ① 产 丁 , ‘ 二一 特 , , … , 条件② 和③ 不变 , 则 系统 的 零解 是 不稳 定 的 证 明 , 这 时 取 · 王 卜 丁 ‘ ‘ , ‘
则 k)=f:(x,)三f:(x) ≥1f:(x:)12-S1f:(x;)11fi(x1)1 j≠i ≥1fi(x,)I〔If:(x)I]-三bi1fi(x)1J(i=l,…,r) 1=1 j卡i ifi :x 1) 0 1f(x1)11 即 d dt (-B)日 0 日f:,(x,)‖: f,,(x,)1 山于B稳定,所以可取到正定对角矩阵D=diag(d,,d,)使得 -BTD+DB 2 正定,于是作正定V函数 v(x)=d,v,(x:), 同样推得 1f11(x:)1 0)2(1ix1,,1.(x1Dc-BD*DB) 1f.,(x,)目 ≥8ΣIf:(x:)I, 1】 这里8为一正数,所以'《)也正定,因此系统(1)的容解不稳定,证毕 考虑分离变量的非线性大系统 dx1=Sf,(x),(i=1,r) (3) dt j=1 其中f∈C(R,R),f,(0)=0,i,j=1,r、从定理1马上推得 推论1,设系统(3)满足 ①f:(x:)x:<0(x:≠0) 1im|f:;(x:)|=+∞(i=1,…r)s x;|*+% IEx1)|<b,(i中,x*0), 1f;i(x;) ③同定理1的③, 123
则 一铸兰 “ , 。 全 七 ‘ 〔 ‘ 〕 〕 , … , 工 , , , 全 。 一 。 山 于 稳定 , 所 以 可取 到正定对 角矩 阵 ,, … , 一 卜 正定 , 于 是作 正定 函数 艺 同样 推得 , , , , , 、 , 二 , , 、 二 一不一 一 ‘ ‘ , ‘ , , “ ’ , 戈 “ 旦二 士丝 〕 七占艺 , , 一 、 、 ‘ 。 、 , 一 , 、 , , 、 , ,二 , 、 , , 、 一 一 这里占为一正 数 , 所 以 一 艺今一 , 、 也正定 , 因此 系统 的 零解 不稳定 , 一 ‘ 砂 证 毕 一 , ‘ ’ , 曰一‘ , 目 护“ 小 “ 上 曰 竿 一 ” 吻 ’ 一 考虑分 离 变量 的非线性大 系统 艺 , … , , “ · 、 从定理 马上推 得 一 一 , 一 其 中 〔 , 推 论 , 设 系统 满足 ① 子 。 , 。 一 二 , … 卜 十 , 二 一 , 、通夕 一 了 下 一 一弓一 一 一 了 受砍 玉 节 , 宁 少 少 ③ 同定理 的③
则系统(8)之零解是全村一致渐近稳定的 推论1与文献〔1〕给出了不同的判别条件 从定理1,还可推得: 推论2,对于系统 k=f(x), (4) 其中x∈R,f∈C(R",R"),如果f是梯度映射,L满足fr(x)x<0(当x≠0),则 系统(4)之零解是全局稳定的 参考文献 〔1〕廖晓昕:中国科学,数学专辑(I),1979,124. 〔2〕陈文原:非线性泛函分析,甘肃人民出版社,1982. L3 Viljak,D.D.:large-Scale Dynamic Systems,Amsterdam,The Ne- therlands:Elsevier,1978. (4 Yoshizawa:Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions,New York,Heidelberg,Berlin,1975,84 124
则系统 之 零解是 全局 一致渐 近 稳定 的 推论 与文 献 〔 〕 给 出 了不 同的判 别 条件 从定理 推论 , 一 其 中 任尺 ” , 系 统 , 还 可 推 得 对 于 系统 又 二 〔 ” , “ , , 如 果 是 梯度 映 射 , 且满 足 当 铸 。 , 则 之 零解 是 全局 稳 定 的 参 考 文 献 〔 〕 廖 晓 沂 ‘ ,国 科学 , 数学 专辫 , , 〔 〕 陈文 由原 非 线性 泛 函分 析 , 甘 肃人 民 出版 社 , 忆 〕 , 一 , , 、 , 。 〔 , 〕 一 , , , ,