D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.02.031 北京钢铁学院学报 1982年第2期 采用复合码与和码辨识 ammerstein模型以及前馈非线性系统 电工教研室钟延铜李白男 摘 要 本文提出了一个利用复合码与和码来辨识H模型和前馈非线性系统的方法，而这些伪随 机码是由相位相差士半周期的逆重复序列所组成。采用此方法进行辨识时，即使非线性元 件的奇次系数全为零，仍然能够辨识出线性系统的脉冲响应和非线性元件的偶次系数。文中 附有辨识H模型的数字仿真结果，验证了所提方法的正确性。 引 言 采用两个相位相差±半周期的逆重复m序列之和组成所谓和码，而上述二序列之积（即 模2加)组成所谓复合码。利用和码作非线性系统H模型的输入，相应的系统输出与复合码 求互相关函数，改变和码的幅度，得到不同的相关函数，构成线性方程组，由此可解得偶次 非线性系数和线性脉冲响应函数。奇次非线性系数可以用通常的逆重复m序列求得〔3)， 〔4)。对所谓非线性前馈系统〔1】（见图2)，采用上述方法不但可以估算出非线性元件的系 数，而且能分别求出两个通道上的线性动态部分之脉冲响应函数。 本方法可以消除恒定直流分量对辨识结果的影响。特别是，当非线元件的奇次系数全为 零时（偶对称特性），仍可估算出线性动态部分的脉冲响应。而以前的各种基于用伪随机信 号作输入的相关方法都不能做到这一点〔1)，〔2)，〔3)。 一、复合码与和码 设x:(t)为m序，钟周期为△t,序列长度为N,周期为T,幅度为1。m(t)为正负交 替的方波，幅度为1，周期为2△t。逆重复m序列L:(t)由x,(t)与m,(t)模2加（记作 ©)得到〔5)，即 1:(t)=x:(t)©m:(t) (1) 又设， 舞此文1981年6月收到 90
北 京 栩 铁 举 院 学 报 年第 期 采用复合码与和码辨识 模型 以及前馈非线性系统 电工 教研 室 钟延炯 李 白男 摘 要 本文提出了一个利用复合码 与和码来 辨识 模型 和前馈非线性系统的方法 ， 而这些伪随 机码是 由相位相差 女半周 期的逆重 复 序 列所组成 。 采 用此方法进行辨 识时 ， 即使非 线性元 件 的奇次系数全为零 ， 仍然 能够辨识 出线性系统 的脉冲响应和非线性元 件的偶次系数 。 文 中 附有辨识 模型 的数字仿真结果 ， 验证 了所提方法的正确性 。 引 告口 采 用 两个相 位相差 女半周 期的逆重复 序列 之 和组成所谓 和码 ， 而上述二序列 之积 即 模 加 组成所谓 复合码 。 利用和码 作非线性系统 模型 的输入 ， 相应 的系统 输出与复合码 求 互 相关函数 ， 改变和码 的幅度 ， 得到不 同的相关 函数 ， 构成线 性方程组 ， 由此可解得偶次 非线性系数和 线性 脉冲响应 函数 。 奇次非线性 系数可 以 用 通 常的 逆重复 序列 求得 〕 ， 〔 〕 。 对所谓非 线性前馈系统 、 见 图 ， 采 用 上述方法不但可 以 估算出非线性元 件的 系 数 ， 而且能分别求出两个通道 上的线性动态 部分之脉冲 响应 函数 。 本方法可 以 消除恒定直 流分量对辨 识结果 的影响 。 特 别是 ， 当非线元 件的奇次 系数全为 零 时 偶对称特性 ， 仍可估算出线性动态 部分 的脉 冲响应 。 而 以 前的 各种 基于 用伪 随机信 号作输入 的相关方法都不能做到这一点 〔 〕 ， 〔 〕 ， 〔 〕 。 一 、 复合码 与和码 设 为 序 ， 钟周 期为△ ， 序 列长度为 ， 周 期为 ， 幅度为 。 为正 负交 替 的方波 ， 幅度为 一， 周期为 △ 。 逆重 复 序列 由 ， 与 模 记 作 ④ 得到 〔 〕 ， 即 ， ④ 又设 ， 此文 年 月 收到 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．02．031
x0=x+) (2) mz(t)=m1(t+△t/2) (3) I2(t)=xz(t)①m2(t) (4) 显然，11(t)与1(t)相位相差立T。由L1(t)与1z(t)相加得到和码，记作(1：(t)+I:(t)。将 1:(t)与1：(t)相乘得一新序列，.称之为复合码，记作〔1，(t2:1t),它可以用t:(t)与 I2(t)模2加得到，即 〔1，(t)12(t)=1:(t)①(L2(t) (5) 复合码〔L:(t)·L2(t)有如下性质： 1.〔L,(t)·L2(t))是一逆重复m序列，其钟周期为△t/2,序列长度为2N。 证： x1t)x:t)=x)©x1t+) =x(t) (6) x(t)仍为m序列，又 m,(t)·mz(t)=m(t) m(t)为周期△t的方波，所以 (l:(t)l,(t)=x,(t)m,(t)x2(t)m2(t) =x(t)·m(t) (7) 显然，x(t)·m(t)为一新的逆重复m序列，其钟周期为△t/2,序列长度为2N。 2.复合码〔1，(t)1:(t)的自相关函数为 (I K=0 -1 K=N Rl1121t111(K△t/2)= g(-1K=12,…N-1,N+,…2N (8) (8)式是性质1直接决定的。 3.复合码与和码相互独立，即 9 (1,(t)+12(t)〔11(t-r)1:(t-)=0: (9) 证： 1.(t)1,(t-)12(t-r) t((t-dt +1,t+T1,t+T-,t+T-0dt=0 (10) 同理有： l2(t)11(t-t)12(t-r)=0 (11) 91
’ 气 ， ’ ‘ 不厂 △ ④ 显然 ， 与 相位相差 告 。 由 与 相加得到和码 ， 记 作 〔 〕 。 将 与 相乘得二新序列 ， 称之为复合码 ， 记作 一 〔 ，了 丈 〕 ， 它可 以 用 与 模 加得到 ， 即 〕 · 〕 〔 〕 复合码 〔 · 〕有如下性质 〔 〕是一逆重 复 序列 ， 其 钟周 期为△ ， 序列长度为 。 证 ， 、 ， 、 ’ ‘ ， ‘ 也 “ 一百一 仍为 序列 ， 又 ， 为周 期△ 的方 波 ， 所以 〔 一 〕 卜 为一新 的逆重复 序列 ， 其 钟周期为△ ， 序 列长度为 。 复合码 〔 〕的 自相关 函数为 显然 ， 二目口 · 】 一 】 〔 一命 ‘ 一 ‘ ，“ “ 一 ‘ ， ， ， … 一 ‘ ， “ ‘ ， … 卜 式是性质 直接决定的 。 复 合码 与和码 相互独立 ， 即 〔 〕 〔 一 丫 一 丫 〕 一 一 下 一 丫 讯“ · ， ， 、 ， ， ， 、 ， ， 、 、 」 二 厄了 。 “ 、 ’ ‘ ， 、 一 ，‘ ， 、 ‘ 一 ‘ ， “ 广 。 ’ 一 ， 一 ， 一 ’ ’ ” 同理有 一 一
二、Hammerstein模型辨识 a(t) ) 式t) 图1 Ham merstein模型 图I所示为Ham merstein模型(H模型)。图中NL为非线性元件，特性为 2n u=>a,V:i=l,…n (12) -1 V(t)是非线性元体的输入，“(t)是相应的输出，但u(t)不可量测。图中L为线性动态系 统，其脉冲响应为g(t)。n(t)是白噪声干扰。 以幅度为A的和码A〔1，(t)+12(t))作输入，相应的系统输出可写成： z(t)=y(t)+n(t) (13) 式中 y(t)=fg(s)u(t-s)ds (14) u)=∑a,{A,()+lt)} (15) 以复合码A(1,(t)·1:(t)与z(t)求互相关函数，有 z(t)A〔1，(t-r)1,(t-r) y(t)A(/(t-T)12(t-T))+n(t)A(l(t-)12(t-)) (16) 式中 n(t)11(t-t)12(t-x)=0 (17) 将(14)，(15)，(17)代入(16)，并注意到(10)，(11)式，我们有 z(t)·Al:(t-t)2(t-t) =A·y(t)1:(t-T)12(t-t) =〔2a2A3+8a4A5+32a。A7+…) f8(s)7,(t-(t-ds +J。g(s)1,(t-5)l,(t-s)l,(t-)2t-)ds](18) 把(7)，(11)代入(18)式求得 92
二 、 模型辨识 图 图 所示为 模型 模型 模 型 。 图 中 为非线性元 件 ， 特性为 乏 ‘ ‘ ，， 是非线性元 体的输入 ， 是相应 的输出 统 ， 其脉冲响应为 。 是 白噪声干扰 。 但 不可 量 测 。 图 中 为线性动态 系 以幅度为 的和码 〔 〕作输入 ， 相应 的系统输出可 写成 式 中 “ ， “ ‘，一 ， ‘” “ 艺 “ 〔‘ ‘，， ‘ ‘” 〕 ‘ 以 复合码 〔 一 〕与 求互相关函数 ， 有 〔 一 一 一 丫 〕 盈 一 丫 一 〕 〔 一 一 下 〕 式 中 一 丫 一 二 将 ， ， 代入 一 ， 并注 意到 一 一 一 一 式 ， 我 们有 · 一 一 丫 “ 。 … … 〕 〔歹 ‘ ，万瓦 币 不万习‘ ’ 不石万雨，只不万万了不 万币万万 小 把 ， 代 入 式求得
Az(t)I(t-T)1,(1-t) 2A(R()ds 1 记 Az(t)11(t-)12(t-)=R1() 前式可改写成 n R()=Sg()2A (19) -1 式中，S为〔1，(t)12(t)的自相关函数面积， S*=N+1△t N2 (20) 对(19)式两边积分，设 g(s)ds=1 (21) 并且令T/2>T,(系统调整时间)，则有 R,,1()dT=S*∑2-A4, (22) 取A=A,对应有Rl:121:(t),i=1,2,…n,得到如下矩阵方程 R:12121()d 2A8A…22n-An+1 R(()d=2A3 8A-A a4 Rt:l2l2n(t)dt 2A:8Ai…22n-1An+1 或写成 (23) 3 g Rt2()dt=A a 移项后得到 4 Ri1:()dt (24) 由上式可得全部偶次非线性系数。 在(19》式中，令A=A。,得出R1i12z(r),并把由(24)求得的a2:代入(19) 式，可得脉冲响应函数 ()=R()/S2-A (25) i-1 93
钾 城 一 一 丫 一 丫 一 十 一 ‘ 一 丫 一 记 灭双币 一 一 “ 前式可 改 写成 【 〕 ‘ ’ ‘ 丫 乏 ’ ‘ 一 ‘ ‘ ’ ‘ 一 ‘ ‘ 一 式 中 ， 为 〔 〕的 自相关函数面积 八 对 式 两边积 分 ， 设 歹 ‘ ， 二 ’ 并月 令 系统 凋整 时间 ， 则有 〕 · ‘ “ ’ 艺 ‘ 一 ‘ ‘ ， 二 二 少且 取 ‘ ， 对应 有 ‘ ， ， 一 得 到 如下矩阵方程 犷 ’ “ 【 ’ 岁 ‘ “ “ 【 遥 丫 尝… … “ 一 ‘ 全 “ ’ 要… … “ 一 “ 几 ，‘ 自弓 … 一 丫 互， 。 “ “ 一 丫 言 二… … “ ” 一 ‘ ” ‘ 矫写成 卫 ‘ 忍 骨 三 ‘ ’ 幼 丫 二 移项后得到 一 责 一 一 丫 了 由上式可得 全 部偶 次非 线性 系数 。 在 式 中 ， 令 。 ， 得 出 ‘ 。 ， 并把 由 求得 的 ‘ 代入 式 ， 可得 脉 冲响应 函数 ， ，一 。 乏 ’ ‘ 一 ， ’ “ ’ ‘ 万一 落 郎 通尸
奇次系数可由一般方法(4)求得，即输入逆重复m序列A·I(t),求输出z(t)与A·I(t) 的互相关函数，有 R1,()=S*g(r)∑a4-iA2 (26) 利用上式可求出奇次非线性系数a2-,i=l,2,",n。 三、非线性前馈系统的辨识 Y(1) Ji(t) (t) gi(t) t NL 图2非线性前债系统 具有H模型结构的非线性前馈系统如图2所示。 1.求非线性偶次系数与g:(τ) 输入和码A〔1：(t)+1:(t),这时 (t)=(s)A(l(t-s)+1:(t-5))ds (27) yi(t)=B:(s)(aA'(l(t-5)+1:(t-s))ds (28) y(t)=y,(t)+y:(t) (29) z(t)=y(t)+n(t) (30) 求z(t)与复合码A〔1，(t)1,(t))的互相关函数，有： z(t)Al(t-T)12(t-7) =y1(t)AI1(t-x)1z(t-T)+y2(t)A71(t-t)12(t-t) +n(t)A11(t-t)l2(t-t) (31) 式中 n(t)11(t-T)I2(t-)=0 (32) 考虑到(17)式有： y,(t)1:(t-T)12(t-T) -Ag()+7(-ds =0 (33) 将(32)，(33)代入(31)式，有 94
奇次系数可 由一般方法 〔 〕求得 ， 即输入逆 重 复 序列 · ， 求输出 与 的互相关 函数 ， 有 ‘ 下 ’ 乏 ‘ 一 ’ · 利用 上式可求出奇次非线性系数 ‘ 一 、 ， ， ， … ， 。 三 、 非线性 前馈 系统 的辨 识 图 非线性前馈 系统 具有 模型 结构的非线性前馈系统如图 所示 。 求非线性偶次系数 与 钓 输入 和码 〔 〕 ， 这时 ‘ 〔‘ 卜 卜 ‘ “ 一 ，，， · 艺 。 ‘ ‘ 〔‘ ，一 ‘ ，一 ， ‘ ， ‘ ‘ ， 么 求 与复合码 〔 〕的互 相关函数 ， 有 一 丫 一 丫 一 丫 一 一 丫 一 一 一 式 中 一 一 下 一 考虑到 式有 ’ 二 ’ 一 一 丽一卜 ‘ ‘，一，，‘ “ 一 ，‘ ‘，一， ， 代入 式 ， 将 有 呼
z(t)A1:(t-t)12(t-T)=y2(t)A1,(t-T)1.(t-t) (34) 由于(28)式所示y2(1)与(13)式所示y(t)相同，(34)式与(18)式相同，因此按照 (19)式至(24)式所示运算，得出仑部偶次系数，以及g2(t)。 2.求奇次非线性系数以及g:(t) 对图2所示系统，输入为逆重复m序列A1(t),求z(t)与A1(t)的互关函数，有 R12(T)=Riy:(T)+Riy2(7)+R:n() (35) 式中 R:n(r)=0 (36) Rii()=Sgi(T) (37) R:(t)=S8:(r)∑a-iA2: (38) 把(36)，(37)，(38)代入(35)有： R1:e)=A2Sg1(e)+Sg:(r)44-1A” (36) i-1 式中 S-NNLAt (39)式两边积分，并把(21)式代入，有： R()d=++ (40) 当A=A,有相应的R:z:(t),i=1,2…n,则(40)式可写成矩阵方程， 5fR(r)dr AA…An 1+a1 ∫Ra(r)dr -A3A…An 85 5SR()dt A:A…An 82n-1 或写成 号R(r)dr=Aa (41) 移项后得到 a-A-s fRicr)d (42) 由(42)式可得到全部奇次系数。 把上一节中求出的g2(π)以及(42)式求出的各奇次系数代入(39)式，可求出 g(t),即 95
， 一 下 一 一 丫 一 由于 式所示 与 式所示 相 同 ， 式与 式 至 式所示 运 算 ， 得 出全 部偶次 系数 ， 以 及 。 求奇 次非 线性系数 以 及 ， 对图 所示 系统 ， 输入为 逆 重 复 序列 ， 求 与 ‘ 丫 丫 式 中 ， 下 、 下 只， 下 式 相 同 ， 因此 按照 的互关函数 ， 有 ， 。 丫 艺 ‘ 一 ’ ， 把 ， ， 代 入 有 ’ 艺 ‘ 一 “ ‘ 式 中 。 ‘ 、 二 一二 ， 凸 刊 式 两边 积 分 ， 并把 式代入 ， 有 ， ‘ · 一 〔“ 一 ， ’ 一 ‘ 一 ’ … “ 么， … ” 乙 ，一 、，且 … 厂 当 ‘ ， 有相应 的 ‘ ， ， 则 式可 写成矩阵方程 蚤歹 ， “ ’ ’ 音 ‘ ” ‘ ’ 孟 通 · ‘ ” “ 一 或写成 工乙 一 － 全… … 盆… … 二… … 移项后得到 ‘ ‘ ， 。 ， 、 」 八 一 代不 仄 盆 、 － － 乙 ， 由 把 上 式 一 可 节 得 中求 到全 出 部 的 奇次 系数 以 。 及 －式求 出 的 各 奇 次系数 代入 式 ， 可求出 ， ， 即 肠
g1(r)=(R1,(r)-Sg:()∑a1-1A2)/SA2 (43) i-l 四、数字仿真 应用上述方法，对H模型进行了辨识数字仿真计算。为简单起见，设(t)=0,非线性 元件特性为： u=aV+a2V:+aV3+av+aV6 线性动态部分为三阶系统。 试验信号参数如下： 序列长度N,63 钟周期△t,0.02秒 信号幅值A,1,2 采样间隔T。:0.005秒 数字仿真计算结果见表1、2。 表1 非线性特性 a1 82 as as as 理论值 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 估算值 0.505 0.396 0.302 0.193 0.101 表2 脉冲响应函数 1 2 4 5 6 8 10 理论值-.0589.8914.0114.3012.32 9.22 5.83 2.6918 -1.76 估算值 .779.9314.1214.4412.45 9.33 5.91 2.74143 -1.7 11 121314 15 16 18 19 20 21 22 -2.93-3.48-3.53-3.22-2.68 -2.04-1.39 -.80 -.32 .05.31 -2.94-3.5-3.55-3.23-2.69 -2.05-1.397 -.30 -.31 .067 .32 23 24 25 20 27 23 29 30 31 .45.50 .49 .43 .34 .25 .16 .03 .016 ,465.52.51.45 .36 .27 .17 ,09 .03 96
‘ 二 〔 一 ， 艺 ‘ 一 ’ ‘ 〕 ’ 一 四 、 数 字仿真 应用上述方 法 ， 对 模型 进行了辨识数字仿真计算 。 为简单起见 ， 设 二 ， 非线性 元件特性为 一 ‘ ‘ 。 ‘ 线性动态部分为三 阶系统 。 试验信号参数如下 序列 长度 钟周 期△ 秒 信号幅值 ， 采 样间隔 。 秒 数字仿真计算结果 见表 、 表 非 线 性 特 性 理 论 值 估 算 值 一 表 脉冲响应 函数 理论值 一 估算值 一 ’ 一 一 一 一 一 一 · 一 一 一 一 一 一 一 一 甘 一月月才 任一月了 八‘一一 ，︸一 自一 八 ‘ 月 匀一归目民一石 一﹄一 任一性月 匕一︸内 乒
五、结 论 1.由两个相位相差士半周期的逆重复m序列相乘构成的新序列一复合码，它是一个 钟周期缩短一倍序列长度不变的逆重复序列，.它与由上述二序列之和构成的和码相互独立。 复合码与和码都可以由硬件或软件方便地产生。 2.利用和码作系统输入，而用复合码与系统输出相关，可以辨识H模型和由H模型构 成的非线性前馈系系。采用这种方法，当非线性奇次系数全部为零时，仍可辨识出线性动态 部分的脉冲响应函数。 参考文献 (1)S.A.Billing and S.Y.Faknovri,Non-Linear System Identific- ation Using the Ham merstein,Int.J.Systen Science,Vol.10, No5,May 1979. (2)L.Tuis,Identification of Nonlinear System by Means of Multilevel Pseud o-Random Signals Applied to a Water-Turbine Unit,4th IFAC Sy mposium on Identificatfon and System Par- aneter Estfmetion,1976. (3)R.krempl,Application of Three-Level-Pseudorandom Signals For parameter Estimation of Nonlinear System,3rd IFAC Sy mp- osiu m On Identification and System Parameter Estimation,1973. (4)B-NLi,Y-J Zhong,Identification of Nonlinear Dynamic System With Slo w Random Drift Using Inverse-Repeat m Sequences With Different Biases,Bilateral Meeting on Control Systems, Shanghai,Aug.1981. 〔5)叶平光，复合码自相关函数及功率谱密度函数的分析，雷达测量技术，1973.No4. 97
五 、 结 论 由两个相位 相 差 士半周 期的逆重复 序列 相 乘构成的新序列 － 复合码 ， 它是一个 钟周 期缩短一倍序列长度不 变的逆重 复序列 ， 复合码 与和码都可 以 由硬件或软件方便地 产生 它与 由上述只序死名和仲酗 和码相 互独立 。 ’ 利 用和码作系统输入 ， 而用 复合码 与系统 输出相关 ， 可以 辨识 模型和 由 模型 构 成的非线性前馈系系 。 采 用这种方法 ， 当非线性奇次 系数全部为零时 ， 仍可辨识出线性动态 娜分的脉冲响应 函数 。 参 考 文 献 〕 ， 一 一 ， ， ， ， 〔 〕 ， 一 一 ， 一 ， 〔 〕 ， 一 ， ， 〔 〕 一 ， 一 ， 一 ， ， ， 〔 〕 叶平光 ， 复合码 自相关函数 及功率谱密度函数的分析 ， 雷达 测 技术