01:I0.3374/.1ssm1001-053x.1956.01.012 彈性基礎上短樑彎曲問題的小参數解法 潘立宙 (力學教研組) 一引言 以小參敷展開的攝動法常常用來解决非線性：間题，例如在彈性间薄板大挽度不衡册 盟方面，餞偉最〔1〕，胡海昌〔2〕，莱開源〔8】等臂做過不少工作。本交通溢· 倒蔺單間题即彈性基礎上短梁鳄曲問题的討論來說明這桶方法用以解决稼性：間题，也是 很好的：某些線性：問题若探用通常解法，逛第既不方更，解答形式往：很繁複，探用 攝動法的優點在於迎第手箱前使，得到的解答合乎貸用要求，木交還指出在一定條件下 用攝動法求得的解答就是精確解答的無限項級欺表邀式。 關於彈性基礎上梁的学曲間題的計算，蘇聯翠者布很多款，别途耶夫落其〔4〕 及費洛廊柯一鮑濯第契著書〔5〕中都有介紹，織木辛哥著背〔6〕件將彈性礎上梁 分篇三類： 1.短梁l5 的1是梁的跨度，而B=y,共中：是水链保数，公是梁的枵氏绳 係数，【是梁横被面的慣性矩：，本交介紹的摄動法状按以上的分法只適川於梁反部 分中接梁(l<1)的情形。 二、基本方程的解法 彈性礎上梁越曲問题的基本方程有 2+8=局 其中：y是梁的撓度 ?是梁承担的战荷 我侧劣虑下列的戀换： =无w=名， I=9ti ant 训=形784=…(2) 將方程（1)博透爲； diw E1十490=了… (3)
弹 性 基 破 上 · 短 棵 肾 曲 同 题 的 小 参 数 解 法 、夕 ‘ 宙组 形 立教 祭 油潘 一 引 言 以小 叁数展 朋 的摄勤 法 常常 用来 解 决非腺性 阴题 ， 例 如在 弥性 回 薄板 大挟度 平衡 圈 题方面 ， 傻漳畏 〔 〕 ， 胡 海 昌 〔 〕 ， 集 阴 源 〔 〕 等 曾做 趋不 少 工作 。 本 文通 翅 一 佃 筒 翠 周题只 弹性某磁 上短 梁讨 曲 尚题的尉湍来靛 明 范 稠 方法 用以 解 决腺性 周题 ， 也 是 很好 的 某 些腺性 圈题若探 用通 常解法 ， 汪 算 既 不 方 更 ， 解 答形式往礼很繁视 ， 而探 用 摄勤法 的俊黔在 朴沐 算手 植 筒便 ， 得到 的解 答合乎 贫用要 求 。 本 文越指 出在 一 定修件下 用摄勤法 求 得的解 答就 是精硫解 答的熟限项极数表 建式 。 朋 朴 筛性某磅上 梁 的付 曲 周题 的补算 ， 蒸唠举者有很 多立献 ， 别 近耶 夫著害 〔 〕 及 费 洛率 何一 灿 雁第契著害 〔 〕 中都有介 招 ， 饿木辛 哥著舍 〔 〕 竹 将 弥性某磅土梁 分焉三铂 短梁 口 中畏 梁 〔歹 畏 梁 刃 退视 的 是梁 的跨度 ， 而 月一 通 一 牙 刀 ， 共 中 矛 是从磷 深数 ， 刀是梁 的格 氏 郧性 保数 ， 是梁横截面 的惯性矩 ， 木 文介貂 的摄勤 法 若按以 上 的 分顿 法 只 遍用 价短 梁 及 部 分 中妥 梁 以 劝 的情形 。 二 、 基本方程的解法 弹性从磅上梁讨 曲 周题的 墓本 方程有 汉咬少 ， 、 二 一 丽了 十 任尸 一 少 一 兀 其 中 夕 是梁 的揍度 是梁承担的哉荷 我侧考 鼓 一 卜列 的场换 广 ， 二二 — 二 犷了 一 万 刀 刃 一 万不 汀 ， ， 一 ‘ · · · 乙 … … 、 了 一一 一 劣 一 俘方程 棘趣蔫 口咬 叨 汉 登吐 日 二 一厂 夕 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1956．01．012
第二期 --125- 在梁及部分长梁的情形，方程(）的是-·侧小量，求解导，我們先将地 度圾成它的升器叙數如下： 0=。（)+1(）s十c()g+'t（)s“十…(4) 其中0（专），1()，：（)…是將定所敷。 將(4)式代人方程(8旅此陵喇透同次質的条数，我們得到一系列方程！下： dw d l10, det -=-4'u l'g=一4 t。4”44… da (5) …44… digen 4ie.-1 d 在滞足相當的邊界條件下自方程（5)逐一解，1，，…並代入极数 (4)我們就求得了本方程(3)的解答。 三例题 例·、骰行··梁在彈性共礎上，雨端前支，跨度窝1，承担均佈藏荷夏，求共撓度。 (阁1) 本例的邊界條件篇： y(w)=02y(）=0 d2 y()=0() .=0 利用换代(2)及級败(4)，上速邊界條件轉戀傷下列形式： m()1（1）=) (=0…123 …(6) d2e（e)=aw12=0 d专2 d
第 二 期 在短 梁及 部分 呀 ，长 梁 的悄 形 ， 方 程 污 的 是 一 佃小 缺 ， 求解 畴 ， 我 们先 竹挑 度展 成 它 的升旅艇数 如 民 。 一 ·。 多 、 一 。 了 户 ， 户夕 “ 业 斗 一 几， 誉夕 “ 一卜 · · · · · · · · · · · … … 少 共 中 亿。 睿 ， 二 ‘ ， 二 。 夕 是要溶定函数 。 将 式 代人 方程 啼众儿 幢 雨篷 司次项 的 添数 ， 我们 得到一系列 方程 如 厂 留 。 汀 泞 护 」 。 ， 睿 ‘ 臼 ， ‘ 睿 ‘， 一 一 “ 与 一 侧 ， ’ ‘ ’ “ ’ ‘ ’ ‘ ” “ ” ’ ‘ ’ ‘ ” ‘ ” ’ ‘ ” ” ’ “ ‘ ” 汉礴 口， 刀弃厂一 一 一 仪， ，一 在 涌足相 常 的逞界倏件下 自方程 逐 一解 出 线 ， 二 ， 二 ， … 韭 代 入 机 数 我们就 求得 了从本 方程 的解答 。 三 例 题 例一 、 投有一 梁在 弥性共磁上 ， 两端筋支 ， 跨度 德 ， 承担均怖我荷 口 ， 求其挑度 。 圆 本例 的篷界修 件熔 一 水蕊〔 “ 工一 。 少 少工 业 二 门 利 用 拼换式 及 机数 ， 下“，。 一 ，，， 上述遥界僚 件棘砂媳下列形式 一 少 “ 一 口 。 … … … … 少 汉 二。 的 一一砍万‘ 一 一 ， 一 叽一一 一 一 二 二 ， 己 睿
126 钢陀學報 今要求方程（百）11足边界候件(6），即须求解下列新方程： dise'n = d (v)=。(1）=) d2a(o） =w。（1)=0 d d” di=-4R0o dE 1(o）=e1（1)=0 01（0）=20,(1) de2 d 0。。。044g 粉作邂算，我們求得： m=女(3-1)(g--) 0,=-10080(5-1)(台“-355-3+118+11-175-17) …44…………+444…小小小**小…中 代入极数(4)，我們得到本例梁轴撓变曲線的表遂式篇， 0=4(e-1)(-有-)-05(5-1)(3--+1ue +115”-17-17)g十…(7） 梁軸在中點c的撓度鴛 (1)=5(1-e+…）…(8) 2,=0 384 6720 今取级数(8)篇首的雨項並將镂换式(2)代入，於是我們有 ✉“名 …(9) 其中 96(1-14) a=5341 6720 y:的精蹤解*鴛 必=d是 8l l 其中 c'=1- 2cush g-cos- 2 (10) coshsl+cos3l *见签考女献〔6)P.24
翎 院 李毅 今需 要 求 解方程和毛 乳 场 右 ‘ 、币足 泌 界停 件 ， 」 一 甲须 求 解 列 豁 方程 一 声 、 ‘ ，。 口 ￡，。 了 些望竺匕 三兰 一 竺垫乞互鱼之一 。， 汉 誉 宁 ﹄ 、 铡 誉吐 一 一 “ ，。 二 竺亿以 洲 。 誉 誉 稍 书翅 算 ， 我侧 求得 厂 忆〔 ‘， — 尝 气勺 一 勺 一 一 户 了 宁 宁一 普 “ 一 睿几 一 宁峨 誉“ 十 宁 一 誉一 代 入 极数 ， 我们得到 本例 梁帕挑度 曲祝 的表 述式焉 ， 一翁 “ ‘ 一 ‘ ‘ 一 ‘ 一 ‘ 了 誉 誉一 暮‘ 一 睿 一 睿‘ 睿“ 十 睿 一 睿一 “ 十 · ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 一 梁本由在 中默 ‘ 的揍度得 一 一 广一入一 一泛一口吧 一 了上 几 、 口 一 今 取极毅 得首的雨 项业 将砂换式 代入 ， 朴 是我 侧有 一 卫 其 中 其 中 。 一 五星些竺 一 尽 ” 嘴 二 ， … … ， 二 ， … … 。 。 ‘ 的精破 解 得 尹 二 “ 一 一了 一 左 ， 尽 尽 、 ‘ 一一几丁一 ‘ 口 一下 ， ， 艺 口 那 艺 艺 〔 不 一 工 一 一 — 了二子 一 不 一 一 ‘ 口朋脚 叮产 水 少己参考 文献 〔 〕 尸
第二期 -127- 今將（9)式(10)雨式的數字蒂果比較如下： 表1 日l a' 誤 米(%) 0.6 0.00671 0.00671 0 0.6 0.0333 0.02 0.3 例二、骰行-一梁在性基礎上，-一端夹什，一端自山，跨度窩1，承受等楼戴荷如 阙2所示，求其撓度 2 本例的截荷强度篇 (11) 邊界條件篇 y()=(0, dev (l) =() da? ,++。04年 (12) y()=0, diy (1) -=) C优 dx3 儿= ET (13) 並利用變换式(2)反殷数(4)，則(11)式與邊界條件(12)分别博镂念 =w5… (14) 以皮 d0m(1）-=0 a(o)=0,7￥ (=0.123…)}…(15) 0）=,la）=0 E 今需要求解方程翘(5)且滿足(14)式及燙界條件(15)，即求解¨下列諮力 程：
第 二 期 今将 式 雨式 的数字 精果 此较 如 一 卜 一 表 尽 一 招 …一不蔽王一 丽…一 “ 一 淡 冷 差 吕 例 一 二 、 投有 一梁在 邺性某碰 ， 一端爽住 ， 一端 自山 ， 跨度 拐 ， 承 受等砂栽 荷 如 圆 所 示 ， 求其换度 同 声 口一 本例 的我荷 强度焉 全 扔 一 迹界修 件焉 ‘，了 夕 “ 一 ， 卫里 左卫 二 ， 里了‘ 少刀 八 一一 业利 用趟换式 反 极数 ， 只 式 典遗界修 件 分别 棘诞 几 尹 。 暮 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ， · · · · · · · · · … … ‘ · · · · · · · · · · · … … 以 及 。 ， 口 一 少 ， 汉 二 。 汉 睿 ， 一 。 · · … … 瓜 。 ， 时 。 普 二二 兰业 工泣 一 。 睿 今需要 求解 方程翘 且满足 式 反 逾 界株 件 ， 只 须求解 一 「列 甜 方
-128- 鋼院學報 dino=Po d o(0）=0, do（1)=w tlξ2 心2=0，d01)=0 dξ de 骨= 01(0)=) d1(1)=0 d” dw,(o）=,wGI）=0 d tlsn ,+…*+… 稍事運算，我們求得 =0(8-10+20） …(16) 01=一 52(7-3650+1681-2184:+4752）6+ 90720 將(16)代入般數(4)，我們得到本例染轴挠度線的安递式篇： 0=,,（"-10+20)-。052(G7-365+1684-2184+4752）e+… 120 90720 ………(17） 四、解答的收歙性 我們很容易看出用上逃攝動法求得的解答在短梁或部分長梁的情形就是精雅解 的無蹦級数達式，我們知道方程(3)的解答是衢立變墩：的函数，我們暂且假 定它具傰能成成题效：的交克梦林設敛的悠件即 0(e)=1()+01'()e+03【()e2+0a'()e+…+m'()gz+ ……………(18） 其中()=w(5,0) w1‘()=1 a(专，) 1! aE w‘()=1 a2w(台，) 2! 2e2 …(19） tt0+0…小4 ()=1a%u(,o) ! aen
一 一 钠 院 李粗 … 、 产 一 ‘ 即 。 母叱 一 扎 睿 二 。 一 ， 二 。 汉 睿 二土竺二立上之 一 以亿臼‘， 。 夕， 。了 睿 汉 」印 ‘，二 。 睿 二 一 一 留 。 一尸 印 叻 一 测 汉 一 流吻汉 口 一 ， 浮伙 一 臼 稍事莲 算 ， 我们求得 、 口 上 了、 、、 、 生 艺 睿“ 睿“ 一 宁 丛一普 睿 一 睿 睿」一 誉 将 代入极数 ， 我们得到本例 梁翰挨度 腺的表 述式 焉 。 一 外 一 引 一 睿十 一 艺 尸 睿 睿 一 睿污 十 睿‘ 一 宁 “ … · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … ，’ · · · · · · · · · · · · ， · · … … 四 、 解答 的 收徽性 我们 很 容 易着 出用 上述摄勤法 求得 的解答在短 梁 或部分 中提 梁 的情形 中就 是精破解 的姆 宾极数 友连 式 ， 我们知道 方程 的解答 二 趁 镯立砂数 扣 的函数 ， 我们暂且假 定 它具 偏能展 成逆数 的姿克势林极数 的修 件即 、 扛 一 二 。 ‘ 约 二 ， ‘ 封 。 十 二 ‘ 睿 。 十 二 ‘ 宁 “ 十 … … 十 二 ， ‘ 暮 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … ，’ · · · · · · · · · · · · · · · · · … … 、 其 中 毗 、了 ‘ 睿 二 二 宁 ， 份 一 又勺 — “ 亿‘， 暮 ， 口 刁 已 “ 叨 宁 ， 刃 一 一石 二 。 ， 乙 下 ‘ 。 一 誉 淞 。 睿 ， ‘口， 又 一 —邓 ，奋 … …
第二期 -129- 既然(18)是方程(3)的解，那末將殺數代入方程(3)並此較等式雨邊8同次 項的係數得到方程組如下： dizv1 =I d:4 dze1 d a4 =-40,l dwel=一401 中。■■。卡g。。”8”g第年g”年85年年年无。里4”卡8。。卡。 (20) dt drml =-40'n-1 du: 0。+4.04+。04。。 在通常的邊界候件下當<1時程（3)只有唯一的-一個解，则方程組(20)在 同樣情况下也只有唯一紐解。方程粗（5)和方程粗(20)具有同樣的形式且具備同樣 的邊界條件，於是我們有： o（E)=2o'（) 0l(传)=1【() g40**年4+tg 0m(专)=wa'()0 40040…4.0+44.0044年 即用攝動法求得的解答(4)也就是精雅解(18) 在論證的朋始，我們假定了w(:,)具偷能展成變敷：的麥克勞林級數的絛件。镫 個條件在賀際問題中是否具備須仔細研究，但是在彈性基礎上短梁或部分中長梁？<1 的灣曲問题中逼個絛件是具備的。事寶上，我們可以從逛用通常解法所得到的方程(3) 的解答知道，這额醉答大都是由三角函數與雙曲線函敷構成的代敷式子，在、1的時 候，运些式子都能按孌敷展成麥克勞林級敷。亦就是說，用上速躡動法解决彈性基 礎上短梁與部分中長梁(<一1)的灣曲問題是合適的。 因此，我們可以肯定第三節例-一中的(8)式利用镂换式(2)後就是(10)式的 以變敷展删的娈克勞林級數。 五、討論與建議 1,上述攝動法解彈性基礎上短梁與部分中長梁時，其攝動第-一步的物现流義是忽 略彈性基礎的彪響，因此對於如果取去彈性共礎後染就不能本衡的哪類變曲問题，不能 探用這種攝動法，例如下列問避： 阁3，t
革 二 期 一 既 然 是方程 的解 ， 那末将极数 代入 方程 益此较等式 雨逼 已 同次 项的保数得到 方程粗如 下 一… 厂·… 刁 心 仍 咬 悦臼 咬 咬留 劣 一厂 一 一 叩 ， 健 二 一 留 ‘ 、 农夕二 〔 沉 ， 一 一 ￡ ，， 在通 常的遏界修件下 常 ‘ 峙方程 只 有唯一 的一佃解 ， 方程粗 在 同檬情况下 也只 有 唯一粗解 。 方程粗 和 方程粗 具有同檬 的形式 且具 愉同椽 的雄界修件 ， 龄 是我们有 叽 誉 一 二 。 ’ 誉 、 ， 普 ， ‘ 睿 宜二… 即用摄勤法 求得 的解答 也 就 是精碾 解 在流蹬的 朋始 ， 我们假 定 了二 誉 ， 。 具愉能 展 成趣数 的夔克劳林极数 的倏 件 。 道 佃倏件在育除 阁题 中是否具愉须仔釉研究 ， 但是在弹性某磅上短 梁 或部分 中妄 梁 盯 的臀 曲周题 中是 佃倏 件 是具愉 的 。 事 宵上 ， 我们可 以促迈 用通 常解法所得到 的方程 的解答知道 ， 是 额 解答大都是 由 三 色画数典塑曲腺函数裤成 的 代数式子 ， 在 尽 工 的降 候 ， 通 些 式 子都能按 燮数 ‘ 展 成咨克努林极敷 。 亦就 是税 ， 探用上述摄勤法解 决 潭性墓 礴上短 梁 典部分 中畏 梁 那 工 的姆 曲尚题 是合逾 的 。 因此 ， 我们可 以 肯定 第三 邹例 一 中的 式利 用 逆换 式 徒就 是 时 式 的 以趁数 刃展 阳 的咨克努林蔽数 。 五 、 尉骗舆建滋 上述摄勤法解 弥性墓磅 上短 梁舆 部分 中畏 梁峙 ， 其摄勤 第一步 的物理 意羲 是忽 略弹性基磁的影馨 ， 因此封 如果取 去 弹性某磁 援 梁就不能 平衡的那顿材 曲 尚越 ， 不 能 探 用遣 核摄勤 法 ， 例如 下列 周题 日刀 司 ‘
—130- 鋼院學報 周35 2,封於>1的中是梁或長梁在彈性：来礎上的孝豳間題岩用上逃攝動法將得到 發散級敷的解答，因此，也不用探用木文介貂的蟠動法 8·從第四饰的分析，我們可以知道，用本文介貂的攝動法，得到的解答，其收缴 性的好接，取决定於精確解按楼敷展的麥克芳林级數的收歙性。第三節例一的數 字結果指出這種級敷的收斂性-一般是不蛱的，收敲数的思首雨項就已留个乎一般工程 要求的精碓度；敷宁結采亦指出：愈大，取起首雨项近似值的祺差亦愈大，因此當大 時，攝動的步联應增加。 4,這種用小參數的器級數展開的躡動法也適用於解决線性問題。當探用通常的解 法得到的結果很繁複時，探用上述攝動法往往可以得到合乎質用要求的結果。當然，剁 衡一個含有若干小参數的問題的解答能否以某一小参敷的器极數展開，或者，断以那 一倔小参數的很級數展開能得到較好的結果應該是避用攝動法的先决問題，亦是一個值 得進一步研究的敷學問題。 作者在完成本文後，看到葉開源同志〔7】用小多數攝動法研究糙厚度彈性圓薄板 問題的文章。葉刷源同志的結果與里飘的結果完全得合，道不是偶然的，正如本文第 四節指出进種攝動法得到的解答就是精確的解答，我們從果棋视的解答〔8】不難看出 渲個問題的解答可以按葉開源所探用的那個小参數來展開。比較藥開源的解法典結果和 银榴额的解法與黏果，顯然，用小参數法在手箱上要方便得多，得到的結果亦合乎實用的 要求，這又表明了講動法的優點。 参芳文献 〔1〕ChienΨca-Zg(餞偉最），I.arge deflection o.fa Circular clamped plate unler untform pressure,Chninse Journal of I'hyscis 7 (1947)102-113 〔2]胡海昌，在均你女中心集中被荷作用下板的大挽度問題，物理學報 10(1954)383一394 〔3〕藥鬧源，邊綠截荷下環形薄板大挑度問题，物理學報，9（1958)110一129 (4)H.M.BEJIEB:COnPOTHBNEHHE MATEPHAJIOB (1953)473-482 [5)M,M.HJIOHEHKO-BOPOAN4:KyPC COnPOTHBJIEHH MATEPHAJI- OB TOMI(1949)125-151 [6)S.Timoshenko:Strength of Materials Parst (1941)20 〔7〕葉開源，辚厚度彈性圓撓板問題，物理學報，11(1955）207一208 [8 S.Timoshenko:T'heory of plutes and shells (1940)285-286
钢 院 祭粗 刀 圈 乡 封 岭 时少 的 中妥 梁 或畏 梁 在筛性从建 的妙 曲 阴趋若 用 二 上述摄勃 法 将得到 癸散般饭 的 解答 ， 因 此 ， 一 也不 用探 用 本 文介招 的摄勤法 徙 第四 如的 分析 ， 我们可以知道 ， 用本 文介貂 的摄勤法 ， 得到 的解 答 ， 其收放 性 的好坡 ， 收 决 定 岭精 破解按 述敷展 朋 的冬 克势林极数 的收放性 。 第三 饰 例 一 的 数 字 拮架 指 出道 横极教 的收徽性一般是 不坟的 ， 取舰数 的起 首雨项就 已 辉 介乎 一般工程 中 要求 的精破度 数字 桔果 亦指 出 刃 愈 大 ， 收起 首雨项近 似植的淡差 亦愈 大 ， 因此常刃大 峙 ， 摄勤 的步敬瞧增 加 。 道 踵用小 参数 的梁极数展 阴 的摄勤法也迪 用朴 解 决摄性 题 。 常探 用通常 的解 法 得到 的桔果很繁梭畴 ， 探 用上述摄勤法往往可以得到 合乎 蜜用耍 求的拮果 。 赏然 ， 钊 断 一 佃含有若干小 参数 的 周题 的解 答能否 以某一 小 参数 的 票极数 展 阴 ， 或者 ， 钊断以那 一 锢小 参数的果粗数展 阴能得到较好 的 拮果 瞧孩 是莲 用摄勤法 的先决 周题 ， 亦 是一调值 得雀一步研究 的数举 咫题 。 作者在完成本 文援 ， 看到梁 阴 源 同 志 〔 〕 用小 参数摄勤法研宪诞 厚度弥性 圆 薄板 固题 的 文章 。 集 阴 源 同 志 的 桔果舆 翠枢权 的精果 完蚕符合 ， 道 不 是偶然 的 ， 正 如本 文第 一 二 曰 ， 不。 、 ， 。 乙 ， ，了， 。 ， 。 、 ，， ， ， 加 ， 赫 、 卜 ， ， ， 。 二 二 体 ， ， 。 。 ‘ 〔 一 二， 一 ， ， 四 箭指 出疽 稀摄勤 法 得 到 的解 答就 是精础 的解 答 ， 我们 捉 垠枢权的 解答 不靴看 出 运 佃 题的 解答可 以按梁 阴源所探 用的那 佃小 参数来展 附 。 此校桑 阴 源 的解 法典 拮果 和 攀枢靴的解法 典拮巢 ， 颖然 ， 用小 参数法 在手植上要方便得 多 ， 得到 的精果 亦 合乎 宣用 的 要求 ， 运又表 明 了摄勤 法 的便默 。 参 考 文 献 〔 〕 己 “ 邵“ 一 接像畏 ， 去“ ‘ 了加 、 价、 “ 即 二拌汉 川以‘ 洲淞 尹 。 ‘ 口 。 ‘ 拌哪娜 ‘ ， 己加动、 口，碱 口 尹左 。 一 〔 〕 胡 海 昌 ， 在 均 饰 反 中心集 中栽 荷 作 用 下 圆 板 的 大 换 度 阴 题 ， 物 理 鬃 报 一 〔 〕 架 阳 源 ， 逾椽载荷 瑕形 薄板 大挟度 周题 ， 物理 鬃 辍 ， 一 犯 〔 〕 月 只 尸 几 已科认’ 潞 一 〔 中 月 一 八 尸 日尸 “ 只 一 一 〔 〕 ， 那， 无‘ 二龙。 。 。 了才再 二 “ ， ” 才 万 〔 〕 案 阳 源 ， 趣 厚度 弹性 圆挠板 咫题 ， 物理鬃 辍 ， 幼 一 〔 〕 ，么 浮 日。 户。 竺 ，冷君。 。 夕 夕 ‘ 二 劝， 一
