经济数学 浙江商常狱葉核粥凿院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege of Commorco 3.1微分中值定理 3.1.1罗尔定理 (1)几何意义 一条闭区间[a,b]上的连续曲线，在相应的开区间 (a,b)内光滑，并且区间端点的函数值相等，那么，区 间内是否存在这样点呢，使得过这点的切线水平？ 3.1微分中值定理
经济数学 (1) 几何意义 3.1.1 罗尔定理 3.1 微分中值定理 ? 一条闭区间[a,b]上的连续曲线，在相应的开区间 （a,b）内光滑，并且区间端点的函数值相等，那么，区 间内是否存在这样点呢，使得过这点的切线水平？
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege 0f commerco 3.1.1罗尔定理 (1)几何意义 结论：一条闭区间上的连续曲线y=f(x),如果连续曲线除端 点外处处都具有不垂直于x轴的切线，且两端点处的纵坐标相等， 那么其上至少有一条平行于Ox轴的切线（如图所示）. 21 22 3.1微分中值定理
经济数学 (1) 几何意义 3.1.1 罗尔定理 3.1 微分中值定理 结论：一条闭区间上的连续曲线y=f(x),如果连续曲线除端 点外处处都具有不垂直于x 轴的切线， 那么其上至少有一条平行于Ox 轴的切线(如图所示). 且两端点处的纵坐标相等， x y o a Q1 b A B C1 C2 Q2
经济数学 浙江商業碱掌核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 3.1.1罗尔定理 (2)罗尔定理 定理3.1 如果函数f(x)满足下列条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)f(a)=f(b); 则在区间(a,b)内至少存在一点5，使得f'(5)=0 3.1微分中值定理
经济数学 (2) 罗尔定理 3.1.1 罗尔定理 3.1 微分中值定理 定理3.1 如果函数 f (x) 满足下列条件： ⑵ 在开区间 (a, b) 内可导； ⑴ 在闭区间 [a, b] 上连续； ⑶ f (a) = f (b) ； 则在区间 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 f () = 0
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 3.1.1罗尔定理 (3)举例 例1 验证罗尔中值定理对函数f(x)=x3+3x2,在区间[-3,0] 上的正确性。并求出罗尔定理结论中的ξ 。 解：因为(x)=x3+3x是初等函数，所以(x)在[-3,0]上连续； 又因为f'(x)=3x2+6x,所以f(x)在(-3,0)内可导；而f(-3)=f(0) 所以满足定理的条件。且 f'(x)=3x2+6x, 所以有以下等式： f'(ξ)=32+65=0. 解得=0，三=-2.因为5=0不在开区间(-3,0)内.故舍去. 所以，取飞=-2，使得'（飞）=0 3.1微分中值定理
经济数学 (3) 举例 3.1.1 罗尔定理 3.1 微分中值定理 例１ 验证罗尔中值定理对函数 ，在区间 3 2 f (x) = x +3x [−3, 0] 上的正确性。并求出罗尔定理结论中的 。 解：因为 f (x) = x 3 +3x 2 是初等函数，所以 f (x) 在 [−3, 0] 上连续； f (x) 3x 6x 2 又因为 = + ，所以 f (x) 在 (−3, 0) 内可导；而 f (−3) = f (0) 所以满足定理的条件。且 f (x) = 3x 2 +6x， 所以有以下等式： f ( ) 3 6 0. 2 = + = 解得 = 0， = −2 . 因为 =0不在开区间 (-3, 0)内.故舍去. 所以，取 = −2 ，使得 f() = 0
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 3.1.2拉格朗日中值定理 (1)引子 思考： 当罗尔定理的条件(1)、(2)成立，而条件(3)不成立 时，即闭区间[a,b]上连续，相应的开区间(a,b)光滑，其图 形会有什么现象？是否还会存在某点，使得其切线与端点的 连线平行呢？ 3.1微分中值定理
经济数学 (1) 引子 3.1.2 拉格朗日中值定理 3.1 微分中值定理 当罗尔定理的条件(1)、(2)成立，而条件(3)不成立 时，即闭区间[a,b]上连续，相应的开区间(a,b)光滑，其图 形会有什么现象？是否还会存在某点，使得其切线与端点的 连线平行呢？ ? 思考：
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege of commerco 3.1.2拉格朗日中值定理 (2)几何意义 结论：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x轴的切线， 那么该曲线上至少有这样一点 存在，在该点处曲线的切线平y 行于联结两端点的直线（如图 所示). 21 22b 3.1微分中值定理
经济数学 (2) 几何意义 3.1.2 拉格朗日中值定理 3.1 微分中值定理 结论：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 x 轴的切线， 那么该曲线上至少有这样一点 存在，在该点处曲线的切线平 行于联结两端点的直线(如图 所示). x y o a b B A Q1 Q2 C1 C2
经济数学 浙江商業碱掌核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 3.1.2拉格朗日中值定理 (3)拉格朗日中值定理 定理3.2 如果函数∫(x)满足下列条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； 则在区间(a,b)内至少存在一点5，使得 fb)-f(a@=f'(5) b-a 3.1微分中值定理
经济数学 (3) 拉格朗日中值定理 3.1.2 拉格朗日中值定理 3.1 微分中值定理 定理3.2 如果函数 f (x) 满足下列条件： （2）在开区间 (a, b) 内可导； （1）在闭区间 [a, b] 上连续； ( ) ( ) ( ) f b a f b f a = − − 则在区间 (a, b) 内至少存在一点 , 使得
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 3.1.2拉格朗日中值定理 (4)举例 例2 问函数fx)=x3-3x在[0,2]满足拉格朗日定理的条件吗？ 如果满足请写出其结论， 解：显然fx)在[0,2]上连续；在(0,2)内可导；定理条件满足。且 f'x)=3x2-3, 所以有以下等式： f2)-f0=f(5) 2-0 由于f(2)=2,f0)=0,f'(⑤=352-3，将这些值代入，可解 得ξ=士 是在开区间(0,2)内的，为所求结论. 3.1微分中值定理
经济数学 (4) 举例 3.1.2 拉格朗日中值定理 3.1 微分中值定理 问函数 f (x) = x 3 – 3x 在 [0, 2] 满足拉格朗日定理的条件吗？ 如果满足请写出其结论. 例２ 解：显然f(x)在[0,2]上连续；在(0,2)内可导；定理条件满足。且 f (x) = 3x 2 – 3， 所以有以下等式： ( ). 2 0 (2) (0) = − − f f f 由于 f (2) = 2，f (0) = 0， f () = 3 2 – 3，将这些值代入，可解 得 ， 3 2 = 是在开区间 (0, 2)内的，为所求结论. 3 2 显然 =
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege of commerco 课堂练习 1.函数y=x2-在区间[0,1]上满足罗尔定理， 则罗尔定理结 论中的 2.函数f(x)=sinx在区间一π，π上满足罗尔定理，则罗尔定理结 论中的= 3.函数f(x)=x3在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理， 则拉格朗 日中值定理结论中的= 4.函数f(x)=nx在区间[1，e]上满足拉格朗日中值定理，则拉格 朗日中值定理结论中的能= 答案：1.22.± √3 3. 3 4.e-1 3.1微分中值定理
经济数学 3.1 微分中值定理 1. 函数 在区间 [0,1] 上满足罗尔定理，则罗尔定理结 论中的 _________。 2. 函数 在区间 上满足罗尔定理，则罗尔定理结 论中的 _________。 3. 函数 在区间 [0,1] 上满足拉格朗日中值定理，则拉格朗 日中值定理结论中的 ______。 4. 函数 在区间 [1,e] 上满足拉格朗日中值定理，则拉格 朗日中值定理结论中的 ______。 y = x − x 2 ＝ f (x) = sin x －, 3 f(x) = x f (x) = ln x 课堂练习 ＝ ＝ ＝ 答案：1. 2. 3. 4. e-1 2 3 3 2 1
经济数学 浙江商業碱業核粥凿院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege 0f commerco 3.1.3拉格朗日中值定理推论 (1)推论1 思考：常数函数的导数为零，在某个开区间内导数恒为零的 函数一定是常数函数吗？ 推论3.1 如果函数f(x)在(a,b)上导数恒为零，则f(x)在区间(a,b)止是 一个常数，即 f(x)=C 3.1微分中值定理
经济数学 (1) 推论1 3.1.3 拉格朗日中值定理推论 3.1 微分中值定理 思考：常数函数的导数为零，在某个开区间内导数恒为零的 函数一定是常数函数吗？ ? 推论3.1 如果函数 在 上导数恒为零，则 在区间 上是 一个常数，即 f (x) (a, b) f (x) (a, b) f (x) = C