经济数学 浙江商業職業核新业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 第5章定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.4广义积分 5.5 定积分的应用 基本要龙 第5章 定积分及其应用
经济数学 第5章 定积分及其应用 第5章 定积分及其应用 5.2 微积分基本公式 5.4 广义积分 5.5 定积分的应用 5.1 定积分的概念与性质 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 浙江商業碱掌核将，业院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege of commerco 5,3定积分的换元积分法与分部积分法 +5.3.1 定积分的换元积分法 +5.3.2 定积分的分部积分法 主要内容
经济数学 主要内容 5.3.1 定积分的换元积分法 5.3.2 定积分的分部积分法
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 定理54 设函数f(x)在[a,b]上连续，令x=po(x)，且满足 (1)p()=a,p(B)=b; (2)当t从a变化到B时，o(t)单调地从a变化到b; 3)p'(t)在[a,B]上连续. 自 则 ∫fcx)d=∫2f[oehu0)d 上式称为定积分的换元公式. 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 定理5·4 5.3.1 定积分的换元积分法 设函数 在 上连续，令 ，且满足 (1) (2) 当 从 变化到 时， 单调地从 变化到 ； (3) 在 上连续． 则 上式称为定积分的换元公式． ( )t [ , ] t ( )t a b ( ) , ( ) ; = = a b f x( ) [ , ] a b x x = ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt =
经济数学 浙江商常狱葉核粥凿院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 例10 解：令√F=t,则x=t2,dk=2dt,且当x=1时，t=1, 当x=9时，t=3·所以 所-i2=2a =2u-1+h=2-+ln+ =4+2ln2 5.3定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 解： 5.3.1 定积分的换元积分法 令 ,则 , ,且当 时， ， 当 时， ．所以 = +4 2ln 2 3 2 3 1 1 1 1 2 ( 1 ) 2[ ln(1 )] 1 2 t dt t t t t = − + = − + + + 2 9 3 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 x t t dx tdt dt x t t − + = = + + + x = 9 t = 3 dx tdt = 2 x =1 t =1 2 x t = x t = 例10 计算 9 1 . 1 x dx + x
经济数学 浙江商常狱葉核粥凿院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 *例11 计算∫V4-xd 解：令x=2sint,则k=2 costdt,且当x=0时，t=0 当x=2时，1=花。所以 ∫4-dk=∫4-4sin21-2cos1di=4cos2d =20+cos21)at=(21+sn2n)月=元 5.3定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 解： 5.3.1 定积分的换元积分法 。所以 令 ,则 , 且当 时， 当 时， 2 2 0 0 2 (1 cos 2 ) (2 sin 2 ) t dt t t = + = + = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin 2cos 4 cos x dx t tdt tdt − = − = 2 t x = 2 = x t = 2sin dx tdt = 2cos x = 0 t = 0 *例11 计算 2 2 0 4 . − x dx
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vocatlonal Cotlege of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 例12 设f(x)在[-a,a]上连续，试证明： (1)若f(x)在[-a,a]上为偶函数，则 ,fxr=2。fx (2)若f(x)在[-a,a上为奇函数，则 合 ∫°faxk=0 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 例12 设 f x( ) 在 [ , ] −a a 上连续，试证明： (2)若 在 上为奇函数，则 ( ) 0 a a f x dx − = f x( ) [ , ] −a a (1)若 在 上为偶函数，则 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx − = f x( ) [ , ] −a a
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 证明： 因为∫fxk=∫，fxk+∫0fxh 在∫f(xk中令x=-t,则=- 当x=-a时，t=a;当x=0时，t=0。于是 ∫nfck=-∫f-0d=j6f-0dh=j6f-x)d 5.3定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 证明: 5.3.1 定积分的换元积分法 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f t dt f t dt f x dx − = − − = − = − 当 x a = − 时， t a = ；当 x = 0 时， t = 0 。于是 在 中令 x t = − ,则 dx dt = − , 0 ( ) a f x dx − 因为 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx − − = +
经济数学 浙江商業碱業核将，业院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 证明： (1)若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)。于是 ∫”，f(xk=∫。f-x)dk=∫fx)d 所以∫，fx)=2∫。f(x)dk (2)若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)。于是 ∫，fx=∫f-x)d=-「。fx)d 所以∫f(x)=0 5.3定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 证明: 5.3.1 定积分的换元积分法 (1)若 为偶函数，则 。于是 所以 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx − = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a f x dx f x dx f x dx − = − = f x( ) f x f x ( ) ( ) − = (2)若 为奇函数，则 。于是 所以 f x( ) f x f x ( ) ( ) − = − ( ) 0 a a f x dx − = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a f x dx f x dx f x dx − = − = −
经济数学 浙江商業碱業核粥，凿院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 例12的几何解释： (1)偶函数的图像关于轴对称 y=f(x) ∫faxk=∫，f+∫。fx A =A+A=2A=2∫。f(x)d -a a X (2)奇函数的图像关于原点对称 yy=f(x) ∫fx=∫，fxk+∫2f(x -a =-A+A=0 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 例12的几何解释： (2)奇函数的图像关于原点对称 (1)偶函数的图像关于y轴对称 y f x = ( ) 0 y −a a x A A y f x = ( ) 0 y x −a A a A 5.3.1 定积分的换元积分法 = − + = A A 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx − − = + 0 2 2 ( ) a = + = = A A A f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx − − = +
经济数学 浙江商業械業核将凿院 ZheJlang Vecatlonal Cotlege Of commerco 5.3.1定积分的换元积分法 利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到 简化，甚至不经计算即可得到结果 例13 计算定积分1+c0 d 解： (1)因为被积函数f(x)= x2 sinx 是奇函数， 1+cosx 且积分区间-1，]关于原点对称.所以 Jw=0 5.3定积分的换元积分法与分部积分法
经济数学 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 解: 利用这个结果，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到 简化，甚至不经计算即可得到结果. 5.3.1 定积分的换元积分法 (1) 因为被积函数 是奇函数, 且积分区间 关于原点对称．所以 2 1 1 sin 0 1 cos x x dx x − = + [ 1,1] − 2 sin ( ) 1 cos x x f x x = + 例13 计算定积分 ． 2 1 1 sin 1 cos x x dx x − +