D0I:10.13374/i.issn1001053x.1989.05.025 北京科技大学学报 第11卷第5期 Vol.11 No.5 1989年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1989 受接触载荷作用的 齿面下分叉裂纹扩展分析 曹仁政张运清 (北京科技大学)（武汉钢铁学院） 摘要：利用裂纹面的边界条件速立起奇异积分方程，然后通过对奇异积分方程采 用数值解，计算了受赫芝接触应力作用的齿面下分又裂纹尖端的应力强度因子，最后用裂 纹扩展理论对藏劳裂纹的扩展方向进行了分析。结果认为分叉裂纹将以与斜裂纹段约成60° 角的方向刷齿面扩展。 关键词：分叉裂纹扩展、齿轮点蚀，应力强度因子，奇异积分方程，数位解 Propagation Analysis of Branched Crack in the Gear Surface Loaded by Hertzian Contact Stresses Cao Renzheng Zhang Yunging ABSTRACT:By means of the boundary conditions of the crack,a system of singular integral equations is obtained.Using the numerical method for the solution of the singular integral cquations,the stress intensity factors at the tip of a branched crack in the gear surface loaded by Hertzian contact stresses can be calculated.From the current theories about a crack propagation,the tip of th branched crack spreads to the surface in the direction of about to 60 with the declined crack. KEY WORDS:branched crack propagation,pitting,stress intensity factor, singular integral equation,numerical method 对通常的闭式传动齿轮而言，点蚀破坏是最常见的失效形式，在某种程度上极大地限制 了齿轮传动承载能力的提高。因此，研究点蚀破坏过程，找出行之有效的提高齿轮接触疲劳 1988-11-09收稀 449
第 卷第 期 权 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 、 。 。 一 一 一 一 一 一 一 一 一一 一一 — 一— 一 一 — — 一 — — 一——一 一 一 一 一 一 受接触载荷作用 的 齿面下分叉裂纹扩展分析 ，、 、 曹仁政 北 京科技大 学 张运清 武 汉 钢铁 学 院 摘 要 利 用裂纹 面 的边 界条 件建 立 起奇异 积 分 方程 ， 然后通 过对 奇 异 积 分 方程 采 用 数值 解 ， 计算 了受赫 芝接 触 应 力作 用 的 齿 面 下 分 叉 裂 纹 尖端 的应 力强度 因子 ， 最 后 用裂 纹 扩展 理论 对疲 劳 裂 纹 的扩 展 方向进 行了 分 析 。 结 果 认 为 分又 裂 纹 将 以 与斜裂 纹 段 约 成 “ 角 的方 向 向齿面扩 展 。 关 键词 分 又 裂 纹 扩 展 ， 齿轮 点 蚀 ， 应 力 强度 因 户 ， 奇 异 积分 方程 ， 数 位 解 、 之 九 夕 ， 凡 夕 ， ， 。 皿 ， 妙 今上‘ 、 、 、 。 ， ， ， 己 ， 对通常的 闭式传动齿轮而 言 ， 点蚀破坏是 最常见 的失效形式 ， 在某种程 度上 极大地 限 制 了齿轮传动 承 载能 力的提高 。 因此 ， 研究点蚀破坏过程 ， 找 出行之 有效 的提高 齿轮 接触疲 劳 、 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1989．05．025
强度的措施，对齿轮传动承载能力的提高具有重要意义。 由大量的实验观察研究表明，齿轮点蚀破坏的全过程大休上可以看作是由披劳裂纹的3 个扩展阶段组成的：(1)齿面裂纹的萌生，即产生齿面垂直裂纹的阶段；(2)齿面垂直裂纹 的扩展阶段，当垂直裂纹扩展到一定深度后，它将沿与齿面成约20°角且与齿面摩擦力方向 朴州反的方向扩展[11，(3)由垂直裂纹及其扩展的斜裂纹构成的复合裂纹即分叉裂纹以一定 的角度向齿面的扩展。由上述疲劳裂纹的3个阶段导致齿面上小块金属从齿面脱落而出现齿 面点蚀。因此，分析点蚀的全过程就应分析裂纹扩展的各个阶段，而要更合理、更准确地确 定齿轮的寿命，就应首先搞请楚裂纹扩展的全过程。因而研究分叉裂纹的扩展是一个很迫切 而又十分有意义的工作。 1 分叉裂纹尖端应力强度因子的计算 齿轮在接触载荷的作用下，齿面的接触变形远小于其齿厚，因，可将受钱齿面看作半 无限体受赫芝接触应力的作用，义由于任接触 Nx)-B/a-x: 载荷的作用下，齿面下各点的屈服变形由于受 周围材料的约束而不会太大，即处于屈服状 态。因此，为了讨论方便利用下面有关知识， 将受载体看作我掸性体来分析裂纹的扩~展问 题。 y 如图1所示为含有分叉裂纹的弹性半无限 y 体受赫芝接触应力的作用。下面采用迭加法来 图1儿何尺寸及坐标系 分析裂纹的扩展问题。 Fig.1 Geometry and coordinate system 1.1由垂直段裂纹面的边界条件建立积分方程 利用迭加原理有： t(cT,y)+1(cT,y)+%(c,y)=0; (x=c或x1=cT xy1(cT,y1)+t1y1(cT,y1)+ry(c,y)=0,八0y1≤h ) (1) 式中，o1、t女1y1是与图1左下部相应的应力，σ：、x,y1是与图1左半部相应的应力， 而σ？、xy是与图1右半部相对应的应力，且由〔1门中附录I得： /y=y1 }=C9{} w7-g89: a1=h/cosw L=CT-Bt' 令： NS= x1=×-C+htgw n+(t'-s)2 cT=h.tgw 令：，M=y1+a iH=L2+M2 NTS=t-s n:+(t'-5)2 450
强 度 的措施 ， 对 齿轮传动承 载能 力的提高 具有重 要 意义 。 由大 量的实验观察研究表 明 ， 古轮 点蚀 破坏的 全过 程 大 体上 可以 看 作是 由疲 芳裂纹 的 个扩展阶段 组 成 的 齿面 裂纹 的萌生 ， 即 产生 齿面垂 直 裂纹 的阶段 齿面垂 直裂纹 的扩 展阶段 ， 当垂 直裂纹扩 展到 一定深 度后 ， 它将 沿 与 齿面 成 约 。 角且 与 齿面 摩擦 力方 向 相 反的方 向扩 展 ’ 场 由垂 直 裂纹 及其 扩 展的斜 裂纹 构成 的复合 裂纹 即 分 叉 裂纹 以 一定 的角度 向齿面 的扩 展 。 由上 述疲 劳 裂纹 的 个阶段 导致 齿 面上小 块 金属从 齿面脱 落而 出现 齿 面点蚀 。 因此 ， 分析点蚀 的全 过程 就应 分析 裂纹扩 展 的各个阶段 ， 而 要 更合理 、 更准确地确 定齿轮 的寿命 ， 就应首 先搞 清楚 裂纹扩 展 的全过 程 。 因而 研究 分叉 裂纹 的扩 展是 一个很迫切 而 又十分有意义 的工 作 。 分叉裂纹尖端应 力强度 因子 的 计算 齿轮 在接 触 载荷的 作用 下 ， 古面 的接触 变形远 小 于共 齿厚 ， 因而 ， 可将受 载 齿面 看 作半 无 限 体 受赫 芝接触应 力的 作用 ， 又 由于在 接 触 载荷的 作用 下 ， 齿面下 各点 的屈 服 变形 由于 受 周 围 材料 的 约束 而 不会太 大 ， 即处 于 屈 服 状 态 。 因此 ， 为 一 寸论方 便利 用 下 面有 关知 识 ， 将 受载体 看作线 弹性 体来 分析裂纹 的 扩 展 问 题 。 如 图 所 示 为含有分叉 裂纹 的弹性半 无 限 体受赫芝 接触应 力的作用 。 下面 采用迭加 法来 分析裂纹 的扩 展问题 。 口 图 儿 何尺 寸及座 标系 主 由垂 直 段裂纹面 的 边 界条件 建立 积分方 程 利 用 迭 加原 理 有 ， ， 夕 ， 夕 ， 呈 ， 夕 二 ， ， 夕 ， ， ， ， 少 ， 呈 ， ， 夕 。 或 二 一 万 〔 “ 式 中 ， 委 、 要 ， 是 与图 左 下 部相 应 的应 力 ， 。 ， 、 荟 ， 是 一 与图 左半 部相 应的 应 力 ， 而 吴 、 裸 是 与 图 右半 部相 对 应 的应 力 ， 且 由〔 〕 中附 录 得 。 一 · 臼 、 二 口 ” 卜〔 一 〕 力 “ 一 〔 · 一 一 ‘ 一 么 〕 令 一 刀 ‘ 二 一 ‘ 二 一 卜 令 、 一 “ 一 件 ‘ 一 “ 一 乙 ‘ 一
a(e,)=∫，f){片+20+(3a4+ay)=M H2 +(3a4-y)2+2a24y: 2M-6ML2-2e'y,6M2,L-2L9 H3 H3 +2NTS+2n+(a-B=)'-8门NTd'+1∫9){482-4ag: -)7+(28*-2a9+4a8)沿+3a'+y(a+28-)M: L +y2p-24g+a）-3a4”M+20'y126ML H3 22L28N)()NT d H3 =2f)U(,yd+J,9'),d (1a) e0∫，}-营2o-)+e4 +8y:）2以-2ae"n2M7sL-2a43,6LM222L:+0a-B)aw7 H3 H3 4刀 -208N7s}4'+2∫9){2a8-2a9)答+(ap-月n-a3p)合 +a'-y(a+2g2-28】7M+2ary12M9L+aB H3 -y(aB-月-2aB门M-2a84'y62M2L+2aBNS-2am +(a2-B2)(t'-s)]NT}d' =)u,4,a+,94y,,a (1b) 由文献〔1〕中附录I有： o,=0C,+U,门 (1c) e,=∫ic〔y+r,y门 451
‘ 产、 几 、 」子户 气 ﹄二 、 ， 王 ， ， 少 。 二 ‘ 乙 。 户 二，二 月 · 答 一 ‘ 、 一 十 “ 少 一 二丁二一一一 ‘ 十 。 刀才， 一 月夕 禅望攀 、 。 才 夕 又 一 一 “ 一 〕 刀 产 一 十 二必 。 十 。 艺 一 方 三 ‘ 一 〕 · “ ‘ 产 弃 邑 。 ‘ 广 ， ‘ · ” 一 ‘ 。 “ 一 比 一二二 月 、 户 一 。 方、 。 。 嘿 、 〔 。 刀‘ 、 夕 ， 〔刀 、 刀一 。 刀 〕 三欺卫兰 ‘ ，、 〔 夕 、 仪 全 刀 三 一 仪 刀 之 十 一 叹 。 ‘ 〕 之 刀 广 五 一 护 尸 丝黑于丝 十 刀 · 〔 刀 一 ‘ 一 之 一 ” “ ’ 〕 · ‘ ‘ ， 夕 ‘ 巴 · 、 。 · ， ， ， 卜 专 ， ‘ ， ‘ · 「 ‘ ， 夕 ‘ 一 一汀 一 一 五了 刀 ‘ 一 刀乡 ， ， 仅 “ 一万 一 ‘ 材“ 一 刀 ‘ 五 一 ” 万 一 叹 ， 一 “ 一 刀 “ 一 、 、 ， 。 ， 」 ， 一 艺“ 金 “ —兀 ‘ 五歹 。 。 。 ， 。 。 、 艺 卢 ‘ 一 ‘ ‘ 了了 戈 ‘ 一 。 一 一于万， 又 〔 “ ‘ 一 】 刀 “ 一 刀 “ 〕 之 一 五了 了里 乙 叹 一 “ 〔 刀 一 “ 方一 刀 “ 一 “ 刀 〕 一 尽 ‘ 一 万 · 一 〔 刀 一 ，叭、 、 “ 一 刀 “ ‘ 一 〕 ‘ 二 李夕汇 之 ‘ ‘ 「 夕 少 厂 一 二 产 ‘ 奋‘ · 犷。 ‘ ， 夕 ’ 由文献 〔 〕 中附录 有 几 、 ， ， 二 、 。 气 ‘ ， 一 —汗 之 〔 一 ， 夕 〕 ‘ ‘ 「 “ ‘ 了 ， 夕 ‘ ’ “ 下 〔 一 犷 ‘ ， ， 〕 ‘ 土一 弓
义山弹性力学知！识得： ic,w-0w-7∫.8va-.50c55°u 〔y3+(c-4)门 ic,w-yw-是∫.&va-（ed 〔yL(c-)〕 (1d) 将(1a)(1d)代入式(i）即得奇片积分方程L: ∫0)C-y.+U4,门+∫f")U4,ya +∫9)，=0 (2) ∫c0〔：-+，门+∫fU,t,d +∫),,y=Ry 1.2由斜裂纹面的边界条件建立奇异积分方程，同理，由选加原理为 5o(o,5+(0,s)+r日，(0，s)=0； ) (3) ti,(o,s）+t、(o,s)+r,(o,s)=0; 式中，σ：、tA,是图1左卜角相应的应月，o:、r,w、t.是图1左半部和石半部相应的 应力。同样，山文献〔1〕中附求【得： (w,s)= "){g++2g+2a F2+(3ut′+s --s)-,(t‘+Ws-4aAs)2ww:+24.52w-6w,形 F F3 +2e0.6-2war+∫八，9)2u*-2af-e) +f-2+〔-s(a-2n-8-〔3 +4s2+2f-2w:W:+2a.s6Ww:-2w: F3 -2t.2W:-6{ 452
又 山弹 性 力学 知 识拐 声 … 又 一 ， ， ，二 一 ， ， 一 、 衅 一 “ 夕 一 、 ‘ 止 一 一 ，‘ “ 〔 “ 一 不‘ 匕 〕 一 尸 万 一压 · 吴 ， 二 一 二 仁 一 、 。 “ 一 。 ‘ “ 夕 艺 一 ‘ 一 · 夕 一 ‘ 〔 乙 一 拓 一 乙 乙 〕 ‘ 子‘ 汀‘ ﹃压 ‘ 曰曰 了 将式 。 至 代入 丈 日‘ 吞奇异 积分方 程红 汀 、 ‘ 〔 一 夕 ， ， 〕 ‘ 汀 ‘ · ， 少 〔 ‘ 尸尸 · 一 少 ， ‘ 又 已 盛子 哎 山 ‘ 汀 又厂 〔 一 夕 厂 “ ， ， 汀 〕 汀 ‘ · 之 乡 ， 。 夕 ‘ · 厂 之 ‘ ， 少 、 、 ‘，， 汀 十 由斜 裂纹面 的 边 界条件 建 立 奇异 积 分 方程 ， 同 理 ， 由迭 加原 理 为 、， 产 口 二 二 ， 十 ，蕊 ， 孟 ， 二 、 ， 认 。 ， 拄 一 卜 且 ， ， 之亏 声户 式 ， ， 应 力 二 、 三 。 同样 ， 。 足 图 左 卜角相应 的应 力 ， 否 、 二 和， 盆 、 盆 。 是 图 左 半 部右右 半部相应 的 扫文献 〔 〕 ‘卜附 录 得 。 二 、，， ’ 兀 ， 一 ， · ， 一 、 ‘丈 “ 甲 不万 一 。 工 ， 以 乙 环 厂 ， ， 一 ‘又 二 ‘ ‘上· ‘ ， ‘ ，二 了一 、 什 一 子 百 — 一 汗 毖 “ 了 ‘ 、 班 二 附 ， 乙声 占 一 布工 了 万 少 一 下 竺 户 ‘ “ 产 。 不 矛 吞 一 牙 · 甲 厂 · 川 一 正厂 犷 叭 一 声 叹 已 了 ‘ · ， 、 二 “ · “ 一 ‘ “ ，一 ， 一 以 ’ 一 了又 ，一 乙 。 〕 不犷 一 不犷 一 〔 ， 产 州 坛’厂 ， 几 声了一 ， 匕 了 十 住 ， ‘ 、 了二 ‘ 了 牙 牙 一 。 。 ，， 巡 、 · 妇 砰 孟一 尹 ‘、，尹 护丁 心 、护 乙 不于 ， 一 环 户 ’ ‘
=∫1)〔是。+Uk,s)门d'+是∫g")K(,sd (3a) do,s=是∫1)月oes-a)2+2+a-pa -8s)ww+（a-4'+a5-4us)2w2:w2+2a0t.s2w26w2w -2a4s6-2形{'+是∫八9{2。+-a8 F3 -2a明n)+2a6.+a4+es(28:+2ag-a力"w F2 +-aft+(2u3B-2a2B-B)u.sJ 25+2a4.g2w-6Ww F F3 +2u2.6W:w号-2w}d' F3 =是f)Uw',sd'+是∫ig')〔g+rN,s)门a (3b) 上两式中，n=0,.x1=s,y1=25,并令： W1=x1-Bt'=f(s-t'),W2=y1+at'=a(s+'),F=W+W。 由文献c1中附求1，并将{}转换成坐标{：}： .o,∫er〔g--y\ +o装4w业-门 R3 +ow1a.影Ψ，"g-r门 +a:〔"7R+3+器 =c-UD,s+∫0.D,s (3c) 453
，，‘ 、 务丁 ，了 “ ’ 〔 产 一 姗 ，， ， 勺 、 ，， 尹 生兀 夕 不挤兀 ， ， 备 二 ， 了 ， 尹 ·刀 之 一 号 · 刀岑子 · ·卢才 孟 仪 “ 刀 一 、 己 ︸汀 、 不 于一 研 矛 一 仁又姿 石 一 一 ， 户 ’ 么 十 〕 二 ’ 十 叹 一 叹 “ 厂 卫 习 月些几王竺 卫 、 ，，刀‘ 呈里里二旦里亡 竺 户 ‘ 户 ’ 。 一 “ “ 至笙 些巡卫里矛 户 ‘ ， 工 兀 口一 仅 “ ， 口 一 占 气 一 一 、 孕 十 二方 · 今 十 〔一 才 · 。 万 艺 、 匕 刀 一 。 〕 竺 一 牙若 不 址 一 户犷 ‘ 十 以 吞 厂 一 以 ‘ 户一 户 习 一 乙吸 、 呈蝗 一 砰 · 牙 圣 十 二 ’ 巡 少置卫 蟹 、 「 一二 广 汀 一 ， 八不 ‘ ， 工 了 少 了 十 一二一 二右 产 盆 〔 户七一 万 卿 “ ， “ ， 〕 ‘ ， 气、 、 上两式 中 ， “ ， ‘ ‘ 刀 ， 夕 ， 二 叹 ， 并令 牙 ‘ 一 刀 ‘ “ 口 卜 ’ ， 邵 夕 ‘ ‘ ， 牙 全 平 全 。 微 并将 二 转换成坐标 王 由文献 〔 〕 中附录 ， ， ， · ， · “ 〔 犷 蜜 犷若 犷圣 “ 犷 · 犷盆 之 一 夕 呈竺乏二竺罗勺 沙‘ 汀一 式 人 扣 、尸 ‘子 。 一 刀 〔 犷 犷若一 犷 犷 犷 参一 犷 专 “ ， ·刀 〔 ‘ 犷全一 犷 “ 犷 盆一 犷圣 孟 。 矛 护 么 犷 盆十 “ 〕 十 一犷 ‘，“ 一 刀 “ 犷 、 奋子 〔 芍一 呈 、 哎 一 附 ， 丫 厂罗一 犷爹 厂 皿 。 、 二 — 奋 七 不 汗 刀 ， 刁叨
o,)0.〔R-21-30辰*…，， +a.3装-器-4，a-门 R2 +2aC5,发-i{ R2 +o月-0+2a0-… +是+a装"4w.a-)g: R2 R3 -w3""g+:门u R3 R -fcUM,v(d (3d) 式(3c)和式(3d)中，，n=0,.x1=s,y=as 7w 5'3=y1-t=as-t, R=V+Vis 由弹性力学的知识可求得(，，，(x,y,9(x,),并将它们转换到{：}系统 中，同时令n=0得： o,)=-05(s)=-2.名va3-.ay-+f2y(-四 〔y2+(x-4)2)2 d+2」广gva-.(x-+h2y-da 〔y:+(x-μ)2)2 (3e) o,-R5)-2∫八.8va.0-”2ay-四 〔y2+(×-4)2)2 是∫8、a-a,-”得*=.d du+ Cy‘+(x-4)2〕2 (3f) (3e)1式(3f),,n=0,.x1=s,y=5, ∴.x=x1+c-htgw=Bs+c-htgw,y=y1=s。 454
汀 二 。 ， 二 ， 。 、 〔万一 ，丈 少 一 ， 像一 声口 、产、 几‘ 一 厂犷 汀 犷爹 孟 十 刀 之 · 叫 十 犷 矛一 刀 乙 犷 盆 犷 矛 又广犷不 奋砰 一 ，，，丝箫 一 岁 一 刀 之 〕 。 万〔 爹 一 犷 犷 矛 十 犷 全 艺 犷 犷 釜一 之 一 少 犷 全一 厂 · 扫 犷 犷 尸犷 汀 一 犷姜一 犷犷 犷 ， ‘ 一书产 一 ‘ 犷 孟 〕 ‘ ’ 十 犷 犷 矛 叫 十 扣 之 犷 ， 犷 子一 犷 矛 ， 、 。 犷 ， ‘ 犷了一 矛 。 。 、 十 户 一 万 才声百万 升牙 六 厂 ‘ 一 二 言万—一 十 夕 以 ‘ 一 户 ‘ 、 ， 个 ， 产 止 、 穿一 犷 · 厂 矛 “ 声 尸、 一 止 。 配 〔 ‘， 犷 置一 犷 犷 犷一 写一 子 二 一 竺 十 允 ‘ 爹一 犷 子 厂 十 厂 扩 “ 丁 汀 ， 了 汀 · 厂 ， 式 不日式 川 ， ， 二 ， ， 价 ， 仗 召 令 犷 二 一 ， 一 刀“ 犷 夕 一 厂 一 二 。 一 行 厂 芽十 犷 由弹性 力学 的 知 识 ，‘丁求 得。 ， 夕 ， ， 中 ， 同时 令 。 “ 得 ， 一 拼 时 ， ， 并将它们转换 到 系 统 产 浏产 ‘ 夕 盆 一 ” ’ 刀 · 少 一 刀 ’ 一 月 〔 一 环 〕 名 ︸ 一订 色， 一 汀 呈 ， 一 一 。 十 ‘ ” 、 。 一 ，‘ 一 “ ，之 一 ，‘ ’ 刀兰卫丝， 一 。 一 刀夕 二一‘ “ 〔 一 拜 “ 〕 “ 件 呈 。 ， 二 一 ‘ ” 、 · 。 ‘ 一 。 “ 一 ‘ “ 刀〔少 劣 一 拼 “ 一 夕 “ 〕 口 “ 一 刀 “ 夕 “ 一 劣 一 拼 产 〔 劣 一 仔 〕 乙 ‘ 户 、 一 ， 、 一 “ 州 ， ， 一 “ “ 肛 “ 一 少 夕 二 ‘ 二些土少三二 月三工全 吵〕 〔 ‘ 二 一 拼 “ 〕 艺 一 拼 式 和 式 户 ， ，， ’ 二 ， ，、 占 ， ‘ 二 ， 一 一 臼 刀 一 · 夕 。 ， 夕 少 ， ·，
将式(3a)至(3f)代人式(3)中即可得到奇异积分方程组： 是，')〔2s+UK,s门+是∫i,g)5K,) +∫C().UM,s)dt+∫D()rM(t.s)dt=Qs(s) ∫，")-UN',sa+∫，g〔1s+w4,s门a +∫ic(e.UD.sat+∫p0.D.st=Rs(e)(4) 1.3求分叉裂纹尖端的应力强度因子 ".a1=hcoso,b=d+hcost t=h(1+to1): d 2 :t'=2(1+c0s0 +1c2); 且令： (5) y=7(1+y)=y; 8=名(1+26 d c0s6)+Sn): 将式(5)代人奇异积分方程组(2)和(4)中即可将它们标谁化。 对于垂直段裂纹，由于裂纹尖端已张开即已分又，故其两端均无奇异性，即C(y)和 D(y)在裂纹两端均有界。因此，可以令： ct()%.宫ep,-⅓，D (6) D'(t1)=( }),点Pn,-⅓，4 且应保证满足条件C'(1)=0,D'(1)=0,即有： /EP,-,(1)=0 (7) Fp,-,》1)=0 又因为斜裂纹段在a1处即t。2=一1处已张开如图1所示，故其只在一端有奇异性，因此可 以令： )=().n,-,u) 9rd=（经)，客an-%,%0 (8) 式(6)至(8)中，E1、F:、A1、B;为特定系数，而P,(-发，发)(1)为acobi多项式。 455
将式 至 代人式 中即 可 得 到奇 异 积 分方 程组 ” ， ， 、 尸 ， ， ， ， 、 、 二 「“ 不 。 ， 了 才 ‘ ’ 如 ， 一 反 八 “ ， “ ’ “ ‘ 万 ， “ “ ” ’叭 “ ， “ ’ “ “ 二 一 ，卜 ‘ ， ， ‘ · 专 ‘ ， · 不咐 ‘ ， ， ‘ · ’ 「 二 一 。 ， “ ’ · 八 ， ‘ · ， ‘ 十 —汀 。 ‘ ， 〔 ， 巴 二 一 不 “ ， · ， 〕 ‘ 「 ， ， 、 二 「 一 、 一 二 毛 ’ 刀 ， 几 刀 乡 刀 曰 ， 泞 〔 对 ‘ “ ‘ 。 求分叉 裂 纹 尖端 的应 力强度 团子 ， · 。 ， 。 。 目，口一， 且令 。 一 夕 片 万碗五， 夕﹄ “ 万 十 一 — 十 号 自户 将式 代入奇 异 积分方程组 和 中即 可将它们标 准 化 。 对于垂 直段 裂纹 ， 由于 裂纹尖端 已张 开即 已分叉 ， 故其 两端 均 无 奇 异 性 ， 即 和 在裂纹 两端 均 有界 。 因此 ， 可 以令 、 ， ， 子 、 育 一 … ’ “ 。 ’ 一 左二 咫 ’ 石 。 · 妙 ‘ 。 卜 件 · 翼 。 尸 」· ， 一 ‘ ， 。 一 万 ， 。 且 应保 证满足 条件口 二 。 ， ‘ 属 “ 」· ， 一 ’‘ ， ’ ‘ ，二 。 泣 ‘ 尸 一 ， 二 一 ， 即 有 又 因为斜裂纹段 在 “ ， 处 即 。 二 一 处 已张开如 图 所 示 ， 故其 只 在一端 有 奇 异性 ， 因 此 可 以令 了 才。 卜 川嚣 · 乙 尸 一 ， 。 。 ，。 二 、 式 至 中 ， 、 、 · 污 二 · ， 一 ， ，、，。 。 、 。 一 为待 定系数 ， 而 尸 一 ， 为 。 多项式
将式(6)式(8)代人式(2)I式(4)中，并利川文献C2〕中K=0时的高斯奇异积分 公式，即可将奇异积分方程化成·系列线性代数方程，再联立补允条件即式(7)就可求解得 到有关位移密度函数∫(s)和g(s)、 按定义式有： K(b)=lim v2(-6).(0.s) s·bT (9) Ki (b)=lim v2(s-6).r(o,s) sb" 将o(o,s)及x。,(o,s)的表达式代人上：式，并通过对裂纹尖端应力和位移奇异州：分析 可知，式(9)可等效地化为： K6)= K6（)g-月p,-% 02-1 (10) 2分叉裂纹扩展方向分析 通过编程序上机让算，将有关让算结果列表于表1。在比引用了应变能密度因了理论来 表1分叉裂纹扩展方向分析结果 Table 1 Analysis results of branched crack propagation 我荷作用点G K1/p K1l,/ 800 16G.Smin -5a -0.041 0.0089 21.8 0.00283P -4,51 -n.067 0.02645 32.1 0,0085p -41 -0,107 0.07563 14.1 0,03p -3.53 -0.145 0.1981 57,87 0,115p -31 -0.133 0.4304 70.47 0,3946P -2.51 0,001 0.7768 -81.36 1.0576p -21 0,32 1,1431 -71.63 2.727P -1.5a 0,7161 1.323 -62.45 1.504p -1.42 0.827 1.3109 -60.16 1.6537P -1.33 0,902 1.2738 -58.5 .673p -1.23 0.9647 1.211 -56.15 .513p 一2 1,031 1.01 -52,11 3.82p -0,51 0.9033 0.4551 -38.2 1.7124p 0 0.5107 0.0195 -1.58 0,4684P 0.0206 0.0019 -11.46 0.00069P 1.51 0.0056 0.00613 -53.29 0.00013P 22 0.00175 0.00256 -59.6 0.00002P 注：h0.34d=3a=70°/=0.08 =0,3 456
将式 和一式 代 人 式 不式 川 ， ， 少 二不 川文 狱〔 〕 中 二 时 的高 斯 奇异 积分 公式 ， 即 丁将 奇 异 积 分方程 化 成 · 系 列 线性 代 数 方程 ， 再联 一 之补 充条件即式 就 可求 解得 到 有 关位 移密 度函数 和 。 按定 义 式 有 沐 ‘ “ ， 、 二 训 ， 一 · 汀 。 叻 砚 ， 二 训 、 一 · 。 ， ， 、 将 ， 及 。 。 ， 、 的表 达 式代 入 卜式 井通 过 对裂纹 尖端 应 力和 位移 奇异性 分析 可 知 ， 式 可 等效 地化 为 一 与 “ ‘ 。 ’ 口 一 尸 护 一一， 、 一 一 艺 ， 。 一 尸 一 万 ， 尸 一 万 ‘ 二 ‘、 一一 气一 、产 ， 一 口 陪阵 少区 分叉裂纹扩展 方向 分析 通过 编 程 序上机 计算 ， 将 有 关 计算 结果 列表 于表 。 在比 引用 了应 变能密 度因子 理 论来 表 一 手 一 ， 分 叉 裂 纹扩 展方 向分 析 结 果 一 ， 、 〕 凭 ‘ 我 荷 作 用点 ‘ 户 日 户 ‘ 。 石 。 又 一 弓 一 。 。 。 。 一 。 。 一 。 一 一 。 一 。 一 。 一 。 一 一 。 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 。 。 。 。 匀 。 。 。 。 。 。 。 。 。 】 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 一 。 一 。 一 。 一 。 一 污 一 弓 。 一 。 一 一 。 一 。 一 。 一 。 。 。 。 。 。 牛 。 。 之 。 ‘ 口 。 。 ， 二 一 厂
分析裂纹的扩展方向。图1所示的分叉裂纹尖端附近是以拉应力场为主，也可以从表1中 K:和K:的值可知，其中Kx值主要为正值。尤其是位于齿轮节线下的如图1所示的分叉裂 纹，当齿轮在液体润滑油中工作时，由于进入啮合处的高压液体润滑油会进入裂纹面间，当 呐合移近裂纹上方时，分叉裂纹将在接触载荷及关闭在裂纹面间的高压油的挤胀作用下，以 张开型的形式向前扩展。因此，在分析分叉裂纹的扩展方向时，采用常用的应变能密度因子 理论较合理。由表1中的结果可知，在啮合通过裂纹上方的过程中，裂纹有许多可能的扩展 方向，但由S理论可知，对一定材料而言，其抗裂临界值S。是一定的，一旦Sm1达到S。r, 则裂纹将开始扩展。因此，在许多可能的方向中，谁的S:n值最大，谁就有可能最易满足 Sm1ml,-4o≥S。r,也就是说该方向最易扩展。由此可见，当载荷通过裂纹上方时，由表1中 可知，分叉裂纹当d/H=10时将会沿与斜裂纹段成约60°的方向向齿面扩展且通过分析计算 可知，当H增大时，扩展角。变化不大。这个结论与大量的实验观察现象相符，如图2所 示为一主动轮节线下点蚀坑的形貌，从图中可以看到，在赫芝接触应力的反复作用下，分叉 裂纹以与斜裂纹段约成60°~70°向齿面扩展。由于计算结果与实际情况相符，说明在计算过 程中所采用的各种处理及有关理论是合理的。 ( Moving direction of mesming point.s 7771 7777 Root of gear tooth0p Tup of gear tooth (b)示意简图 62.5um 图2点蚀坑形貌 Fig.2 Pitting aspect 3结 论 (1)齿面下的分叉裂纹在赫芝接触应力的反复作用下将会沿与斜裂纹段约成60°的方向 扩展。 (2)本文的分析方法对齿轮点蚀陂坏过程的力学定量分析基本适用，并为齿轮的寿命预 测提供了一种有效的途径。 参考文献 1张运清。齿轮接触疲劳破坏机理的研究，北京科技大学硕士论文，1988,5 2 Sih G C.Mechanics of fracture I 3范天佑编.断裂力学基础，江苏科技出版社，1978年12月，第一版 4王龙甫编。弹性力学，科学出版社，1984年，第二版 457
分析 裂纹 的扩 展方 向 。 图 所 示 的 分叉 裂纹尖端附近 是 以拉应力场 为主 ， 也 可 以 从 表 中 和 ， 的值可知 ， 其 中 值 主要 为正值 。 尤其是 位于 齿轮 节线下 的如 图 所 示的分叉 裂 纹 ， 当齿轮 在液 体 润滑 油 中工 作时 ， 由于 进人 啮合 处 的高压液 体润滑 油会 进入 裂纹面 间 ， 当 啮合移近裂纹 上方时 ， 分叉 裂纹 将在接触载荷及 关 闭在裂纹面间的高压 油的挤胀 作用下 ， 以 张 开型 的形式 向前扩展 。 因此 ， 在 分析 分叉裂纹 的扩展方 向时 ， 采用常 用 的应 变能密 度因子 理论较合 理 。 由表 中的结果可 知 ， 在啮合通过 裂纹上方 的过程 中 ， 裂纹 有许 多可 能 的扩 展 方 向 ， 但 由夕理论可知 ， 对 一定材料而言 ， 其 抗裂临 界值 。 是 一定 的 ， 一旦 ， 。 达到 。 ， 则裂纹将开始扩 展 。 因此 ， 在许 多可 能 的方 向 中 ， 谁 的 ， 。 值 最大 ， 谁 就 有可 能 最 易满足 。 。 一 ，。 。 ， 也就是 说该方 向最 易扩 展 。 由此可 见 ， 当载荷通过 裂纹上 方时 ， 由表 中 可 知 ， 分叉 裂纹 当 二 时 将会沿 与斜 裂纹段 成 约 。 。 的方 向向齿面扩 展且 通过 分析计算 可知 ， 当 增大 时 ， 扩展角 。 变化 不大 。 这 个结论 与大量 的实验观 察 现 象相 符 ， 如 图 所 示为一主 动轮 节线 下点蚀坑 的形貌 ， 从 图 中可 以看到 ， 在赫芝 接 触应 力的反 复作用 下 ， 分叉 裂纹 以与斜裂纹段 约成 “ 一 “ 向齿面扩 展 。 由于 计算结果 与实际情况相 符 ， 说 明在计算过 程 中所 采用 的各种处理 及有 关 理论是 合理 的 。 八 ℃ 。 厂 ， 之 斤 旦 。 ‘ 。 。 。 厂 。 。 。 。 ， 示 意简图 图 点 蚀坑 形 貌 结 论 齿 而下 的分 叉 裂纹在赫芝接触应 力的反复作用下将会 沿 与斜 裂纹段 约成 “ 的方 向 扩 展 。 本文 的分析方 法对齿轮 点蚀 破坏过程 的力学 定量分析 基 本适 用 ， 并为齿轮 的寿命预 测提供 了一种有效 的途径 。 参 考 文 献 张运 清 齿轮接触疲 劳破坏机理 的研究 ， 北京科技大学硕 士论 文 ， ， 。 人 范天佑 编 断 裂力学 基础 ， 江苏科技 出版社 ， 年 月 ， 第一版 王 龙 甫编 弹性 力学 ， 科学 出版社 ， 年 ， 第二 版