D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1956.01.003 廣義的陡綫規律 劉叔儀 (愿力加工教研組) 前文〔1)〔2〕中提出的健秘规律是白明的。但篇使與此規徘有關的更多工作老 便於了解此一規律，有必要作群細解析〔避然對於数婴力學工作，這樣的解析是不必要 的）。同哮蹬明在r=亚（)的概括条件下，此規廣泛地成立，不依鞘於呼擦物方积 式的具體形式。 (一）滑勒陡鞋規律之尊來： (Bn布速》 圖1：點上屡力耧化情况 脚的 如圖一，以平面問題篇例，問題是這樣一個問題，即給定 =2… …(1) =(,),逑續可微… (B) =單位展力 ∫一摩然係敷 :=單位摩擦力 問間在塑壓中任意值點滑向何方？即求9角。 按Q點雠鴛任意，但僑因定黜，放Q點之兩腰力微商禽常数： dp …(2) dp =b dy *此一理論已發展成篇费泛其本搬念：到叔儀：“最小摩阻”1956.4.定稿
鹰 羲 的 陡 线 规 律 判 叔 曦 尽 力 加 工 教研 组 前文 〔 〕 〔 〕 中提 出的 陡检 规律是 自明 的 。 但 得使 典此说律有朋的 更 多工作者 便朴了解此 一规律 ， 有必耍作群韧解 析 厂姗然封朴数翠 力拳工作 ， 道株 的解 析 是不必要 的 。 同 降蹬 明 在 一 少 川 的概括 膝 件下 ， 此 规 律鹰 泛地 成立 ， 不依朝 岭摩擦物 方程 式 的具艘形式 。 一 滑勤陡楼规律之溥来 圆 默上屋 力诞化情 况 如 圆一 ， 以 平面 周题焉例 ， 简题 是道檬一佃 周题 ， 即抬 定 一 尹 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … 月 、 尸一 式 ， 夕 ， 速侦可微 · · · · · · · · · … … 刀 尸一 翠位犀 力 一 摩擦保数 二 一 翠位摩擦 力 · … … 朋在 塑屋 中任 意植黔滑 向何 方 即 求 日 角 。 按 默缈 焉任意 ， 但 得固 定默 ， 故 默之 雨雁 力微商焉常数 汉尸 、 一 〔 ‘ 劣 。 、 亡 ’ ‘ ” ’ ‘ ” ” ’ ‘ ’ “ “ “ ‘ ’ “ ‘ ’ ‘ ’ “ ” ’ “ ” ‘ ” “ ” “ “ ” ” ‘ ’ “ ” ‘ ’ “ ’ ‘ ’ 、 ‘ 吵 一 月 ‘ 此一 理 流 已 癸展 成挤炭 泛某本概 念 判叔俄 “ 最 小座 阻塌 ，， 防 定稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1956．01．003
一6一 綱院學報 則： dp=ad+by 在Q點上，腰力向-一方向上變化，仟意方向1：上的逆化率标S方游： dpa ds ds +《y da 按阁…，行： da ds =LU.B】 …(4) dy =sin6 ds 故 =u50+isiw=P(8）…（5） ds ）f:g=f〔as9+sin9]=f(8）… 在一點上，摩擦力之方向微商僅篇日角之两數。 Q點滑向何方的問題，由最小摩阻條件解决，部：“。念最小的方向即滑動方向”。 在一點上來談π值篇最小是沒有意義的，因儒在一點上.：们已固定。最小摩阻絛件是藏 “Q點沿？爲最小之路徑滑動”。 。●◆。。。 2 阁二：在Q要路徑上，糜探力：之分缺Q”禽最低。 如阔：二，在Q點以ds篇牛徑作-一圆。通過-一條的的竖谊下面與平(x.y)曲面之 交曲線即骸径上之腰力赞化曲腺。道樣，一個日值定的路逆上行一條陬力秘化班線。 按p(wy)之速铝可微條件，總有一條路(Q:,日=少)你在，其上力赞化曲線Q 篇一腰力曲線中之最低米，即Q比篇最小感力路徑，按：=了卫，放亦篇放小陲 擦力路徑。如树二，Q'比'曲線禽降低率最陡（越小）之曲欲，饮Q几得▣降低最陡之
山司院 争机 汉尸一 。 触 十 拟 在 黔 上 ， 厚 力 向一 切方 向上燮化 ， 任 意 一 方向 ‘ 、 几的 逆化 率 阵几 方 向 微 向 仍 一 凉 下 一 十 口 了 卜 坚， 一 ‘ 万白 一 ‘ 花 口 夕 尹 一有一汀汉汉劣 。 ‘一 一︸ 按阔 一 ， 一 一 篇誉一 。 乃 艺， 日一 卢 ’ “ 由 。 有 票一 厂 〔 ‘ 峨 。 十 怂动 。 〕 一 尸 。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · … … 。 在 一默上 ， 摩擦 力之 方 向微商谨 焉 夕角之 雨数 。 默滑 向何方的 周题 ， 由最小 摩阻倏件解 决 ， 韶 “ 蕊最 小 的 方 向即 滑勤 方 向 ” 。 在一默上来改 值焉最小 是没有意羲的 ， 因将在 一黔土 位 已 固 定 。 最 小 摩 附修 件 是靛 “ 默沿 篇最小 之路视滑勤 … … ” 。 … … 行畔 、 探二 、 露谈 同二 在 口要路理上 ， 摩擦 力 之分 饰曲徐 砂 ， 几最低 。 如 同一二 ， 在 黔以 曲 熄 华杯作 一 圆 。 通 扭 一倏 · 日崔的的 咚 直平而 典 尸 、 ， 少夕 由面 之 交 曲腺 即言亥 按 尸 劣 ’ 俘视 上 匕咫 力燮化 曲徐 。 道 株 ， 一 佃 夕他服 定的路巡 一卜仃一修 艇力逊化 曲腺 。 之速梢可微倏 件 ， 耙有 一修路视 刀 ， 口一 ， 存在 ， 共 上烦 力逆化 曲摄 ’ 一印 ， 故硕 一 亦 挤 〕气如卜摩 ， 故 了￡妈 降 低率止份陡 之 刀 焉一 礴力 曲摄 中之最 低者 按振 ， 只口口瓦 焉公沙卜艇 力路理 ， 擦 力路褪 。 如 同 一二 ， ’ ， 曲腺 焉降 低率址 陡 拯小 之 出
第二期 一7一 路循。此路径上的方的微商时量会份谷：之”杨度”、收杨：之”是率”所以周造！ 是在於求：之桃度方向角9，管小=时，(6)小之怎倍最小，施械小轻件坠（6） 决定之9值即： gg=f〔a(-n9)+os9)。 =0 8= 行答案： (dp) w4=6 dy …(7） (4P) (进 价於Q毗之任意性：，(7)式對企面上壓力速續可微之-一切點成立。想像不部(，y)下 面属一族卧都所极，各仙線切線脚摩棕力重个（如磁场之磁力方间與磁線重个），道種 切银头摩接力系个（即明银方的格品-）格尚机族器份喉襟银，其微分力科： (P) ilv =f= y ta () 一般窝作： du dy (8) (需)（西） (8)式禽企平面之滑動方向微分方程，共解答训線疾篇爍擦線族。闪鴛'α= 方酯修：之陡车方间，故摩擦線族稱每：之”陡線族”，行如高淡水，必滑健 da 徑。 在另一族曲線上，每一曲腺上之腰力值不懋，此族曲線椰儒等晒粮族，按女=寸， 亦得等：線族)等壓線族之族方程篇 》(ry)=,=常数 其上不赞，l=0: =(2)山+（梁）=0 v 解此打等限線之方间仰 (2) tan3=（,o l )=(p)
第 二 期 路俘 。 此路二 一卜的方 向微 、 、 奈 、 、 之 ‘ 、梯、 ，· 东、 · 之 ，，陡率 ，，。 所以 ， 二 是在、 求 之梯度 方 向、 ， 。 价 ，一 、 ， 。 。 。 中 一 一 厂。 、 小 ， 施 沁卜 、 、 决 定 艺 日植叩 叭 厂 丁 一 共一 岑 一 一 〔 、 乙一 、 ‘ ’ 叨 十 汤‘ 。 口〕 一 了口 日一 叮 ， 有答案 ，抓 ， 一 廿， ‘ ‘ 肠 了 － －－ － － 一 一 “ 器 由 朴 口黔 之任 意性 ， 、式封全平面 」雁 力速藏可微之一 切黔成 立 。 想像 个部伽 对 平 而将一族 曲探 所价孩 ， 各 曲腺切腺 典摩擦 力 币介 如磁塔 之磁 力方 典磁鲁腺 市介 ， 定 稀 切徐 典摩擦 力市合 了切掇 方 向得巧工 一 欢、 、 夕的 ，、祝族 礴挤座擦腺 ， 共微分 方程 将 ’例 、 ’ 、 ‘ “ ’小 叭 ‘ ， 、 “ ’ 卜 ’川 、 尸 ” ， 人 “ 邵 一 ’ 一 ” 少 ” ’ ‘ ” 、 八 ，丫 ” 叮 ” 川 、 圳 、 ’ 几示 一 不朋少 一 一般篇作 劣 一 汉 兰业 、 尸尺卫 、 · 男 ， 、 式 得个平而 之溉勤 方 向微分 方程 ， 其解答曲腺族铭摩擦腺 族 。 因 几 ‘伽塑 一 杂 方 向 。 之 陡 、 向 ， 故吩 二 族、 加 之 ，’陡 “ 族 ，， ， 有 如 高 山彻 ， 必 川迷 趣 。 在另 一族 曲摄 上 ， 侮 一 曲腺 上之厕 力植不趣 ， 此族 曲腺租辞等雌腺族 ， 按 一 尸 ， 亦 将等 腺族 。 竿 雁腺族 之 族方程 几 尸 粥 一 叮 一 常毅 其 上 ， 不礴 ， ‘ 户一 。 ‘ 。 一 。 劣 而 十 今 、 一 。 解 此有竿膝粉之 方 向 角 夕 一 矛二 、 业而 ， 今 ‘ 、 “ ，，尽二 半 井军
一8- 饵院學報 糜擦線方向角(7）與等壓線的方向角（9)行下列關係： )(-器) dy tantanB= -1…(10) (黑)（密） (10)式销：“摩擦線與等壓線成正交”。运是前女〔1〕中用以由展力曲面祀錄 導翰出摩擦線族的理論根據。以上所得各钻論，愁稀”陡線规律”，翻： “塑壓接觸面上的質點滑動方向 念惬力或摩襟力之梯度方向， …(11） 糜擦線族爲等壓線之正交族” 當摩擦係數.」隨壓力镂化時，陡線規律的正交關係仍然成立： =/(p)p 了：=fVp+Vf=fVp+p△n=(f+p)△…(12) (和 p 即r與P之梯度(Vx,VP)方向仍然重合。 一般說來，只須作一個很廣泛假定，即摩擦力篇愜力之函敷： =(p）……（13 陡線規律即成立： → =g了p,7奥7p重介…(14） dp (12)（13)(14)之敷學關係在此不必群解。對於曲面，“/”禽曲而算了。 由於塑腰中摩擦力鴛烟力之後果，故原則上(15)概括-一切摩擦方程、但陡粮規律 (11)乃僅於滑動條件。按下列避輯可以將陡線规律推廣以包括不滑動情况。 (二)廣泛的陡糠規律： 滑動现象僅依賴於糜擦力之數質，而不依賴於摩擦力之方向。臨界滑動時承擦力方 向也就是木治勋時嵊醉力方向，區别僅在於摩擦力禎低於编界条件导，在此方向上（行 趨勢而無滑動，換未滑動脖滑動趨勢與初滑動哮之滑動方向重合，因面陡線机非對滑功 趨勢之方向有效。按此，作者提出以下的质義陡線規律： “在塑陿接鳄面上，質點之滑勁或滑動趨勢） 皆發生於摩擦力〔x=平()〕或驱力之梯 度力向： r‖VP‖Vs…(.) (15) d迎 Vr=- …Vp…() 风 摩擦机鴛等愜線之正交族。” 這樣，陡線規律只給定了摩擦力的方向，斟於在摩擦力物理性質上特有不同觀點的
哪尸 曰 幽粗 翎 院 等毅 摩擦腺 方 向角 舆等屋腺 的 方 向 角 有 下列 朋保 ‘ ，“ 〕 “ ，，尽 兴 一 鲁 夸 ， 箭 一 式 带 “ 膺擦腺舆等屋腺 成正交 ” 。 运 是前 文 〔 〕 中用 以 山 咫 力曲 面 祀锋 彝棺 出摩擦腺族 的理谕根捺 。 以 上所得各桔 湍 ， 耙称 ” 陡腺规律 ，’ ， 言跌 、 生 了工 ‘厂、 了、舀、‘ “ 塑屋接朋 面上 的臀默滑勤 方 向 落雁 力 或摩擦力之 梯 度 方 向 ， 摩擦徐族 焉等厘腺之 正交族 ，’ 赏摩擦保数 厂随屋 力燮化恃 ， 陡腺规律的正交 朋保 仍然 成立 一 尹 尹 二 一 二， 十 ， 夕 、 了一二 ，十 ，了边△ 、 一 ‘ 十 。 乓攀 八 ， … ‘ ‘另 尸 〔不 尹 即 舆 尹 之 梯度 军 ， 守尹 方 向仍 然 重合 。 一般靛来 ， 只 填作 一锢很魔 泛假 定 ， 即 磨擦 力焉厘力之 雨数 一 梦 夕 · · · · · · · · ， · · · · · · · · · · · · · · · · · ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 、 一 陡腺规律即成立 一， 梦 一 一 二万 · ‘ ” ” ， “ 尸 舆 军 尹 重合 之数鬃阴保 在此 不必祥解 。 封朴曲面 ， “ ” 焉曲而 算子 。 由 朴塑艇 中摩擦力 焉逐 力之 援果 ， 故 原刻 上 幼 概括 一 摩擦方程 。 但 陡祝 规律 乃谨 朴滑勤 倏 件 。 按下列 选辑可以 将 陡祝规 律推 度以 包括 不 滑勤 情况 。 二 痛泛的陡挑规律 滑勤现象谨依帆 朴摩擦 力之数育 ， 而 不依帆 铃摩擦力之 方 向 。 臣盆界滑勤 吟摩擦力 方 向 也就 是未滑勤 峙摩擦力 方 向 ， 孤 别谨在朴摩擦 力植低 朴嵘 界妹 件吟 ， 在 此 方 向上 只 有 趣 势而熟滑勤 ， 换未 滑勤 畴滑勤趣势舆 初 滑勤 峙之滑勤 方 向 乖合 ， 因 而 陡 探规补封滑勤 趣 势之 方 向 有 效 。 按此 ， 作者提 出以 一「的炭羲陡腺规 律 “ 在 塑雁接躺面 上 ， 鬓黔之 滑勤 或滑勤超 势 替癸生 岭摩擦 力 〔 一 犷 川 〕 或 雁 力 之 梯 度 方 向 军 尸 甲只 犷 一 一 ， 尹 … ‘ 二 ‘ · · 名 … 尹 广 摩擦腺 焉等雁腺之 正交族 。 ” … … “ “ ‘ ” ‘ ’ “ ” ’ ‘ ’ ‘ 症 株 ， 陡 腺规律只 拾 定 了摩擦 力的方 向 ， 封龄在 摩擦 力物理性臂 上持有 不 同狈默的
第二期 9 孕者們，运一规作皆利安照他們的汉朱川。 (三)陡線規律之應用： 在三元翔間題中，逡界悠件之應力方而（摩擦力方向)露术知，陡線规徘解决 了此-一用题。由圆線規律典聪限力曲仙可以算摩棕分量之分曲面〔3〕。 必须指出，催布接鳄停〔13)主不面或八不出导，摩探力鴛最大力 或八面切腹力。们此啊静况-般不成十，一殷是法腺腰力常第1主轴最近、所以，用以 上雨特况作座擦力訃第，是沒打根修的。 在面物展間题中，摩棕力，之方向角吧於下衡微分方程中；陆線规率俗此間题 提供一必须方程、目前在此方向上已有初步分析钻果〔4〕。 在單元锻晒题中，腺规律包柠现竹门摩擦線高-一特况； 在單元輥凤现喻中，用陆線規律與平均摩擦線可得到卡剩門方程在固體馁擦絛件下 之連解〔6〕。 洁論： 陡線規徘在：塑呕摩擦問題中慨桔地成立，念此颜問题提供一基本方程，對此問題 之發展已行且將有重要帮助。 莲一步的理腧是“最小摩阳妈”，見〔6〕 参考文献 〔1】劉叔战：物摩報，12卷，1期，1956.1 〔2〕到叔钱等：铜院学報，第--辑，1955 〔3〕下美英：札版摩探力分曲面，锅織厚院第--次科廖報告會，1956.2. 〔4〕到叔酸：摩擦線理論肉本面腰力分你之鹅解答，1955.5 〔5】到拟儀：卡缈門方程式在固體摩擦情况下之速被解，機械工程廖報，1956 〔6]列取儀：收小喉阻场，1956.4.定稿
第 二 期 华者们 ， 定 一 规律 告刊 寸剑以他 们 的视黯 水利 月 。 三 陡核规律之磨 用 在三 元 塑艇 叫题 中 ， 巡界愉 件 艺切 瞧 力方 向 摩擦 力方 句 几未知 ， 让祝规 利七解 决 了此 一 阴题 。 川 陡摄视 律典 六肠 解 力 曲 可 以 算 出摩擦分 最之分 价 曲而 〔 〕 。 必须 扮 出 ， 作 在接姗 切向 几 ‘ ， 幼 主 切 平而 或八而 平 血 吟 ， 摩擦 力 蕊最 大 瞧 力 或八面切 瞧 力 。 但此 雨 特 况 一般不 成 立 ， 一般 是法腺艇 力介 第 主翰最 近 。 所以 ， 用以 上 雨特 况作摩擦 力补 算 ， 是没有根掳 的 。 在 平’ 塑雁 阴题 中 ， 摩擦 力之 方 向 角胜现 朴平 衡微分 方程 中 陡 腺 规率 得此刁须圈题 提供一必须 方程 。 目前在 此 方 向上 已 有初 步分析 桔梁 〔 〕 。 在 革 元锻烦 阴题 中 ， 陡徐 规律 包括现 有此摩擦腺 拐一特 况 在革 元 机札理 谕 中 ， 用陡腺规 律典平均摩擦徐可得 到卡雨阴 方程在 固樱摩擦倏件下 之速箱解 〔 〕 。 桔 输 陡腺视 律在 塑咫摩擦阴题 中概括 地成立 ， 拐此预 周题提供一共本 方程 ， 刽 此顿朋题 之 叠展 已 有且将有 重要帮助 。 淮一步 的理谕是 “ 最小摩阻垅 ” ， 兑 〔 〕 寥 考 文 〕 留叔俄 物理举 报 ， 卷 ， 期 ， 献 〔 〕 叔 俄等 细院季 报 ， 第一辑 〔 〕 王 美英 札板 摩擦力 分 饰曲面 锅傲今 院 第一次科翠 辍告舍 ， 〔 〕 留日叔 放 摩擦腺理、谕典平面 厘 力分 饰 之耙解 答 ， 〔 〕 叔傲 卡 雨 阴方程 式在 固股摩擦情 况 一「之速植解 ， 楼械工程鬃 辍 ， 〔 〕 判叔 成 最 小摩 阻踢 ， 定稿