用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型.pdf_大学文库

C=C,=C。-号kt, (5) C=C()=C-号k1t-k:te-t） (3)式所表示的脱碳曲线如图1所示。由于上述模型一定程度上反映了脱碳过程的实际情况，因此目前有些炼钢工作者就直接用它来进行实际过程的计算和分析，【1。但是，这个模型的根本弱点在于它忽略了炼钢过程中众多随机因素的影响，诸如：其他反应的干扰，供氧条件和冶炼钢种的变化，炉衬几何形状的改变等等。此外，把初始碳量C,和系数k,(i=1,2,3)作为固定常数处理也不合理，实际上它的值会有随机波动，有时还可 0 t。t(分) 能是很大的。因此上述模型只能是一个粗糙的近似描述，很难满足精确计算和过程控制等方面的需要。图1脱碳曲线近年来，不少人致力于建立各种各样的确定性模型来反映脱碳过程，【】，但都不十分理想。与此同时，在一些国家内尝试用随机方法来建立数模，实现动态控制，在具体炉子上获得某些成功。例如：Wells.C.H,【、I1,和Mehra..R.K,I]等。但他们的工作主要局限于炉气分析方面。特别值得一提的是K.Koga,【),他起先提出的“后期”模型类似于濑川清“第三阶段”模型，为 d量=kC+b d (6) dc 以后，由于考虑到治炼钢种、渣量等随机因素对脱碳速度：会有影响，所以他又将(6)式修改为 =kC+b+Ab dc (7) 据称，加了修正项△b后，控制碳的命中率提高了5%。实际上，K.koga的考虑已接近于随机微分方程的思想。本文基于前人的工作，试图在比较一般的条件下，将随机方法引入经典脱碳动力学，建立理论随机数模。侧重于数学计算和讨论，而不想涉及工艺及过程控制等复杂问题。二、模型的随机化处理首先从“三段”确定性模型(1)及初始条件(2)出发，进行某种随机化处理，使其变为随机微分方程。 1.非齐次项的随机化 dc 在整个冶炼过程中，脱碳速度：受到复杂的随机因素影响。如果工艺条件正常而稳 dc 定，则可假定这些随机因素都是微小的和相互独立的，它们对于脱碳速度：的总效应可用 90

， ‘ 七七 ‘ 七。一了 “ ，，、七 “ 七 ‘ 七。一一厄一 “ 一， ‘ “ 一 ‘ ︵︶︺一式所表示的脱碳曲线如图所示。由于上述模型一定程度上反映了脱碳过程的实际情况，因此目前有些炼钢工作者就直接用它来进行实际过程的计算和分析，。但是，这个模型的根本弱点在于它忽略了炼钢过程中众多随机因素的影响，诸如其他反应的干扰，供氧条件和冶炼钢种的变化，炉衬几何形状的改变等等。此外，把初始碳量。和系数 ‘ ，，作为固定常数处理也不合理，实际上它的值会有随机波动，有时还可能是很大的。因此上述模型只能是一个粗糙的近似描述，很难满足情确计算和过程控制等方面的需要。卜。分图脱碳曲线近年来，不少人致力于建立各种各样的确定性模型来反映脱碳过程，〔，但都不十分理想。与此同时，在一些国家内尝试用随机方法来建立数模，实现动态控制，在具体炉子上获得某些成功。例如， ‘ 、 “ ，和， “ 等。但他们的工作主要局限于炉气分析方面。特别值得一提的是，，他起先提出的 “ 后期 ” 模型类似于漱川清 “ 第三阶段” 模型，为卜了丁一七工以后，由于考虑到冶炼钢种、修改为，。，，二 ‘ 盾量等随矶因索对脱碳速度习了公有愁啊，拚以他义将式叹爵 · “ 据称加了修正项△ 后，控制碳的命中率提高了。实际上，的考虑已接近于随机微分方程的思想。本文基于前人的工作，试图在比较一般的条件下，将随机方法引入经典脱碳动力学，建立理论随机数模。侧重于数学计算和讨论，而不想涉及工艺及过程控制等复杂问题。二、模型的随机化处理首先从 “ 三段” 确定性模型及初始条件出发，进行某种随机化处理，使其变为随机微分方程。定，非齐次项的随机化在整个冶炼过程中，脱。速度杀受到复杂的随机因素影响。如果工艺条件正常而稳一、、 ‘ 一 … ‘ 二、二，‘ ，、，二、，、， “ 假足这些随机囚索郁是微小的和相互独立的，万们对十脱候速度万「的思效厘 “ 用

一个均值为零的白噪声W(t),(t>0)表示。又考虑到在吹炼的不同阶段内影响因素很不一致，而且即使是同一一因素（如渣量）在不同阶段内对脱碳速度影响的程度也很不一政。因此，分别用W:(t),(i=1,2,3)来修正各阶段方程的右端而成为方程的随机非齐次项，即得 -k,t+W:(t),0≤t<t1s dC--k2+W,(t),t≤t dt (8) -k,C+W,(t),t≤t≤t。 ·注意：这用未知函数C(t)已是随机函数，即随机过程，可称为脱碳过程，用s.PC(t)表 ·示。 2.初始条件的随机化由于冶炼开始时(t=0),钢水的初始碳量C。不可能每炉均相同，这里包括原料（高炉铁水和废钢)中碳成分的波动和检测误差，致使C,不是常数，而是一个随机变量，故用R.V C。表示。在原料大体周定（从统计意义上讲）以及检测过程中无系统误差的条件下，R.V C。服从正态分布，即 C(O)=C。~N(0,o。2) (9) 其中正。=E{C。},o。2=D{C,},它们不难用统计方法进行估计。在本文第五部分，我们即将证明：方程(8)的解是一个高斯(Gauss)过程，故在阶段转变点t1,t2处的碳量C1,C2必定也是正态变量，即 C(t)=C,~N(0,o:2),(i=1,2),, (10) 其中O,=E{C},g:2=DC:,(i=1,2)。 (9)式构成了方程(8)的随机初始条件。 3.暴数k,(i=1,2,3)的统计处理确定性模型(1)中的系数k;,(ⅰ=1.2,3)实际上与炉次、成分和温度的不均匀性等随机因素有关，因此严格来说，应按随机系数处理。但带有随机系数的方程求解比较困难，故本文中暂用实验数据的均值去近似代替随机系数。这样所得结果仅适用于实验数据的范围而不允许外推。综上所述，方程(8)和条件(9)组成了LD炼钢过程脱碳动力学的理论随机模型。它是一个具有随机初始尔件和随机非齐次项的“分段型”随机常微分方程的初值问题。三、解过程的数学表示上面所建立的随机模型的求解问题可运用日本著名数学家伊藤清教授创立的伊藤(It0) 型随机方程的理论，1811【u,获得解决。实际上(8)式中所包含的三个随机方程都是下列It0型一般方程的特定形式： [dX(t)=f(X(t),t)dt+G(X(t),t)dB(t) 1X(t)=Xo,(X。∈L2) (11) 其中X(t),t∈T是未知s.P,f和G都是L2×T-+L2的映射，L2是二阶矩R.V所构成的完备的赋范线性空间（即Banach空间）和完备的内积空间（即Hilbert空间），B(t)是Brown 运动s.p即Wiener s.p,1!,它的均值函数为零，协方差函数为 μ(t,s)=2Dmin(t,s),(2D称为扩散系数) (12) 91

一个均值为零的白噪声，表示。又考虑到在吹炼的不同阶段内影响因素很不一致，而且即使是同一因素如渣量在不同阶段内对脱碳速度影响的程度也很不一致。因此，分别用 ‘ ，，，来修正各阶段方程的右端而成为方程的随机非齐次项，即得一一，《，一，《，、一。，《《。。，注意这里未知函数巳是随机函数，即随机过程，可称为脱碳过程，用表冲平。之初始条件的随机化由于冶炼开始时二，钢水的初始碳量。不可能每炉均相同，这里包括原料高炉铁水和废钢中碳成分的波动和检测误差，致使。不是常数，而是一个随机变量，故用。表示。在原料大体固定从统计意义上讲以及检测过程中无系统误差的条件下，。服从正态分布，即二口。，。其中刀。。卜，。 “ 。，它们不难用统计方法进行估计。在本文第五部分，我们即将证明方程的解是一个高斯过程，故在阶段转变点，处的碳量，必定也是正态变量，即 ‘ ‘ 刀‘ ， ‘ “ ，，，其中西‘ ‘ ， ‘ “ ‘ ，，。式构成了方程的随机初始条件。系傲 ‘ ，，的统计处理确定性模型中的系数 ‘ ，二，实际上与炉次、成分和温度的不均匀性等随机因素有关，因此严格来说，应按随机系数处理。但带有随机系数的方程求解比较困难，故本文中暂用实验数据的均值去近似代替随机系数。这样所得结果仅适用于实验数据的范围而不允许外推。综上所述，方程和条件组成了炼钢过程脱碳动力学的理论随机模型。它是一个具有随机初始条件和随机非齐次项的 “ 分段型 ” 随机常微分方程的初值问题。三、解过程的数学表示上面所建立的随机模型的求解问题可运用日本著名数学家伊藤清教授创立的伊藤型随机方程的理论，丁。曰 ‘ 。，获得解决。实际上式中所包含的三个随机方程都是下列型一般方程的特定形式 ’ ，，，址。。，。〔其中，〔是未知，，和都是，的映射，是二阶矩所构成的完备的赋范线性空间即空间和完备的内积空间即空间，是运动即， ‘ ” ，它的均值函数为零，协方差函数为手‘ ，，，称为扩散系数

，一一 △ ，其中 ‘ ，。一示， ‘ ， “ △“ ’ ， ‘ · · ‘ ， ” “ “ ，一 ‘ 一，由和的均方连续性。、第三阶段《。的解过程为〔一一〕〔一〕丫 ’ 月、了了五、声其中，一 · 一 △ ，。将以上三个阶段的解合在一起便得到整个随机模型的解过程为。一委一 ‘ ’ △ ‘ ，，， ” 《，，】一一 △ ，〔一，一〕《， “ ，二〔 ‘一，，， “ ‘ · ’ ，、夕、厂、《。。其中，、均可由。定出。式就是法炼钢过程中脱碳的理论解析表达式。若将它与漱川清模型的解式作比较，不难发现各阶段解的表达式中都增加了一个随机修正项，这正是由于在建立模型时考虑了随机因素影响的必然结果。但是由于第三阶段解过程中包含一个难于积出的宇积分，对于脱碳的分析讨论会带来困难，同时也无法去想象该，的样本曲线的定性形状，为此，我们转入矩函数的计算与讨论。四、解过程矩函数的计算与讨论均值函橄。对式两边取均值，注意到 ‘ ，，， △ ，，且，奋、少了了几 ‘ 〔一〕，丫一〕二故的均值函数即为刀。一一」《。十笼刀一一， · ，口〔一一〕，《与式形式上完全一致。式中的打，，刀可由均值函数的连续性通过刀。算出。协方趁函教协。，仅计算同一时间区间内的协。。，，对于和分属不同时间区间时的林。。可用类似方法求得。。第一阶段内，即。，时协。。，二〔一。〕〔一。〕二〔。一石。 “ 天〔。一石。〕〔△ 、 △ 、〕〔△ 〕〔△ 〕。 “

，《，一，，一《《，﹄孟〔一。一〕一，《《一几叭。、 ‘ 、一名 ‘ 、户、于‘ 、产式表明在脱碳过程的前两个阶段内，。。线性增大，其增长速度等于扩散系数，而在第三阶段内，。 “ 的变化比较复杂，可分下列三种情形加以讨论、，卜、， “ 当山 ‘ 夕一犷时，口 · ‘ ’ 按指数衰减规律通减。此时，终点万差值为。〔，一 ’ ‘ ，， ‘一 ’ 一会，二〔一 ‘ 一，卜鲁在这种情形下，显然有。，一可 ’ 。当会时。当。公一时，。 · 一会，故终点方差值加。卜书蚤，。么逐渐增大，但由于方差始终为正值，故终点方差值为。名〔，。〕，， ‘ 一不一 “ 一，一，不、 … 二，，在这种情婚卜显然有 ‘ ‘ 武由上述讨论可知在情形。下，虽然。名单调递减，但终点碳量。波动较大，而在情形。下，虽然。 “ 单调递增，但终点碳量。波动较小。由式进一步可知为了使终点碳比较稳定即。。尽可能小，实际上要求初始方差。不能太大，因为终点方差是由初始方差连续地、单调递增指情形 “ 而形成的。顺便指出的样本连续性使得其矩函数，特别是均值。和方差。，也是连续的。于是从衔接条件。一。 ‘ 。 ‘ ，二。、， ‘ 。、，二、，口。 ‘ 一。 ‘ 名 ‘ ’ 、 ‘ 一孟 ’ “ 产不难求得阶段转变点、处的碳均值刀、口和方差，忿、通过巳知口。和。。来计算的公式从略，并且还可进一步得到预测终点碳均值口和终点方差。。的估计式分别为口。口。一石一 ‘ 一一一吸一， ‘ 。一〔。，一一会〕二卜。一卜。式可用来控制终点方差的值。例如，要使。不超过某一值，只要控制初始方差，、、，一， ‘ 咬一后一 “ 〔，，一，一「乒一 ‘ 一，一 ‘ ，即可。自相关西橄。。，由协方差函数和均值函数用下列公式不难求出。。，为

第一阶段的解过程具有高斯性。由过程的均方连续性，可得 C:=C(t:)=C.---kt:+6B(t),(i.p.1) (34) 但维纳过程也是高斯过程，故△B,(t:)是正态变量，则C,~N(C1,σ：2)，根据上面定理，第二阶段的解过程也具有高斯性。同理可证第三阶段的解过程也是高斯过程，因此整个5，P C(t)具有高斯性。〔证毕) 利用高斯性可进行实际过程的预测或控制。例如，若作出一个以均值曲线mc(t)为中 “1区”(o-是) 心线，以mc(t)±gc(t)为边界的“1σ区域”，便可预期大致有68.3%左右的采样值落在该区城内，（如本文第六部分所作那样）。图中画出了当。：>；时的“10区域”。类似诡可作出“2o区域”、“3σ区域”等进行预测。 3.局部可加性〔定理〕方程(33)有独立增量的解过程的允 t。t(分) 要条件是X。是常量或者A(t)0。(证明参看图3.碳量变化的“1σ区域” 11【0])。独立增量过程亦称可加过程，根据上述定理，由于随机模型(15)中前、两个方程均属狭义线性1to方程且A(t)0,故第一、二阶段的解过程具有可加性，即在不相交的时间区间上：的脱碳量△C(t)之间相互独立，因而可以直接累加；但(15)式中第三个方程则由于A(t)■1 且C2不是常量而是随机变量，故第二阶段的解过程决非可加过程，即在不相交的时间区间上的脱碳量△C(t)之间不是独立的，而是具有一定的相关性。因而目前在工艺过程中惯用的直接累加脱碳量的做法是值得商楂和应该加以改进的。具休计算法有待于进一步研究。综上所述，5.pC(t)是一个不平稳的、局部可加的高斯马尔科夫过程六、数值例子仅以第二阶段的模型（俗称“后期模型”，它在实际应用中最为重要） d dt=-kaC+W3(t), tz≤tte (35) (其中k3>0,称为容量传质系数)为例，通过数值例子的计算说明随机模型中的参数(k, 和D:估计方法，同时验证所建立的随机模型的可靠性。从上钢一厂30吨氧气頂吹转炉75年的试验资料11】，中整理出六炉碳的全过程分析数据 (见文后附表)，以〔C)≤1.25%为标准选取后期样（附表中打号者）由于各炉情况差别较大，故分别进行统计处理，然后再综合起来进行分析1计算。主要步骤是：（详细计算参看121) 用非线性曲线拟合阿归求出各护脱碳过的近似样水曲线以及参数k3的估计值如下浅所示： 97

人、产二第一阶段的解过程具有高斯性。由过程的均方连续性，可得二，，。一嘴一 △ ，二、 ’ ‘ 产 “ 一二一二 ’ 一一二、一三尹 ’ 、一 ’ 但维纳过程也是高斯过程，故是正态变量，则，口，第二阶段的解过程也具有高斯性。同理可证第三阶段的解过程也是高斯过程，具有高斯性。〔一证毕〕根据上面定理，因此整个利用高斯性可进行实际过程的预测或控制。例如，若作出一个以均值曲线。为中心线，以。士。为边界的区域，，便可预期大致有左右的采样值落在该区域内，如本文第六部分所作那样。图中画出， ‘ 一、 ‘ 一 “ 了当 “ “ ’ 计时的 “ ’ 。区域 ” 。类似地可作出 “ 口区域 ” 、，’ 区域 ” 等进行预测。 “ ，· 区” ’ 口了一会︵次︶一局部可加性〔定理〕方程有独立增量的解过程的充 ” ， ‘ 。一分要条件是。是常量或者。。证明参看图碳变化的 “ 。区域 ” ，。独实增量过程亦称可加过程 · 根据上述定理，由于随机模型 ‘ ” ’ 中前、两个方程均属狭义线性方程且，故第一、二阶段的解过程具有可加性，即在不相交的时间区间上的脱碳盘 △ 之间相互独立，因而可以直接累加但式中第三个方程则由于且不是常量而是随机变量，故第二阶段的解过程决非可加过程，即在不相交的时间区间上的脱碳量 △ 之间不是独立的，而是具有一定的相关性。因而目前在工艺过程中惯用的直接累加脱碳量的做法是值得商榷和应该加以改进的。具体计算法有待于进一步研究。综上所述，是一个不平稳的、局部可加的高斯马尔科夫过程六、数值例子仅以第二阶段的模型俗称 “ 后期模型 ” ， ‘ 已在实际应用中最为重要一，《《。其中。，称为容量传质系数为例，通过数值例子的计算说明随机模型中的参数 ‘ 和 ‘ 估计方法，同时验证所建立的随机模型的可靠性。从上钢一厂。吨氧气填吹转炉年的试验资料 ’ ‘ 】，中整理出六炉碳的全过程分析数据见文后附表，以〔〕《为标准选取后期样附表中打长号者由于各炉情况差别较大，故分别进行统计处理，然后再综合起来进行分析和计算。主要步骤是详细计算参看 ’ 忍用非线性曲线拟合和回归求出各护脱碳过程的近似样木曲线以及参数，的估计值如下表所示