第2章牛顿运动定律 §1牛顿运动定律 、第一定律(惯性定律) 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态,除非作用在 它上面的力迫使它改变这种状态。 定义了惯性系 ●定性的给出了力与惯性的概念 惯性系:牛顿第一定律成立的参考系。 力是改变物体运动状态的原因,不是维持物体运动状态的原因。 、第一定律:F。d (mv) d t F:物体所受的合外力。 m:质量,它是物体惯性大小的量度,也称惯性质量。 若m恒定.,则有:F=m :物体的加速度。 、第三定律:F12=-F21 12 F2 说明 1.牛顿定律只适用于惯性系 2.牛顿定律是对质点而言的,而一般物体可认为是质点的集 合,故牛顿定律具有普遍意义。 §2牛顿定律应用举例 1.已知:桶绕z轴转动,O= const.水对桶静止。求:水面形 状(z-r关系)。 解: *选对象:任选表面上一小块水为隔离体m; 看运动:m作匀速率圆周运动a=-02F 水查受力:受力m及N,N⊥水面
第 2 章 牛顿运动定律 §1 牛顿运动定律 一、第一定律(惯性定律): 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在 它上面的力迫使它改变这种状态。 ⚫ 定义了惯性系 ⚫ 定性的给出了力与惯性的概念 惯性系：牛顿第一定律成立的参考系。 力是改变物体运动状态的原因，不是维持物体运动状态的原因。 二、第二定律： ( v) d d m t F = F ：物体所受的合外力。 m ：质量，它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量。 若 m 恒定. ，则有： F ma = a ：物体的加速度。 三、第三定律： F12 F21 = − 说明： 1.牛顿定律只适用于惯性系； 2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集 合，故牛顿定律具有普遍意义。 §2 牛顿定律应用举例 1．已知:桶绕 z 轴转动， = const. 水对桶静止。求：水面形 状（z - r 关系）。 解： *选对象：任选表面上一小块水为隔离体 m ； *看运动：m 作匀速率圆周运动 a r 2 = − ； *查受力：受力 mg 及 N ， N⊥水面 。 m1 · · m2 F12 F21 ω m θ mg z r z z0 r θ N · O
(∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零) 列方程: z向: Ncose-mg=0 r向:-NsnO=-m2r(2) g为z(r)曲线的斜率,由导数关系知 tg0-:z 由(1)(2)(3)得:ted=o 分离变量 d 2=—rdr g 积分: d z dr g 得::2812+x0(旋转抛物面) 若已知不旋转时水深为h,桶半径为R,则由旋转前后水的 体积不变,有 z.2丌rdr=mR2h 28=o2zrdr= Rh 得 r2 h 检验结果:z r+ 2g 单位:[0-]=1/s2,[n=m,[g]=m/s2 (1/s2) 2=m=[],正确 ·过渡到特殊情形:=0,有z=动,正确。 ·看变化趋势:r一定时,@↑→(zz)↑,合理。 复杂问题往往除动力学方程外,还需补充一些运动学方程或 几何关系[如上(3)式]
（∵稳定时 m 受周围水及空气的切向合力为零）； *列方程： − = − − = sin (2) cos 0 (1) 2 r N m r z N mg 向： 向： tg 为 z（r）曲线的斜率，由导数关系知： r z d d tg = (3) 由(1)(2)(3)得： r r g z 2 d d tg = = 分离变量： r r g d z d 2 = 积分： = z z r r r g z 0 0 2 d d 得： 0 2 2 2 r z g z = + （旋转抛物面） 若已知不旋转时水深为 h，桶半径为 R ,则由旋转前后水的 体积不变，有： = R z r r R h 0 2 2 d + = R r z r r R h 0 g 2 0 2 2 )2 d 2 ( 得 g R z h 4 2 2 0 = − 检验结果： 0 2 2 2 r z g z = + ·单位：[ 2 ]=1/s2 ，[r]=m ，[g]=m/s2 m [ ] m/s (1/s ) m ] 2 [ 2 2 2 2 z g = = = ，正确。 ·过渡到特殊情形： = 0，有 z = z0，正确。 ·看变化趋势：r 一定时， ↑→(z-zo)↑, 合理。 复杂问题往往除动力学方程外，还需补充一些运动学方程或 几何关系[如上（3）式]
§6非惯性系中的动力学问题 牛顿定律仅适用于惯性系,例如: r=0 光滑 光滑 S 在S参考系(地面)m 在S′参考系(车厢) 运动符合牛顿定律 运动不符合牛顿定律 但是 有些问题需在非惯性系中研究; 地心参考系:地球公转a≈06m小道上) 地面参考系:地球自转a≈3.4cmS2(赤 有时非惯性系中研究问题较为方便。 平动非惯性系中的惯性力 设:非惯性系S′相对惯性系S平动,加速度为a。。 F=ma a≠aStS F 故 由F=m=m(ad+a)=md+m0, 得 定义惯性力:F。=-mlo 则有 f+f=n 上式表明,在非惯性系S′中,只要将通常的合外力F再加上 惯性力F,则牛顿第二定律形式上成立。 惯性力是参考系加速运动引起的附加力,本质上是物体惯
§6 非惯性系中的动力学问题 牛顿定律仅适用于惯性系，例如： 但是： 有些问题需在非惯性系中研究； ·地面参考系：地球自转 2 a 3.4cm/s （赤道上） ·地心参考系：地球公转 2 a 0.6cm/s 有时非惯性系中研究问题较为方便。 一. 平动非惯性系中的惯性力 设：非惯性系 S＇相对惯性系 S 平动，加速度为 0 a 。 S ： F ma = S′： F F , = m = m , a a a a = − 0 故 F m a 由 0 0 F ma m(a a ) ma ma = = + = + ， 得 F −ma = ma 0 ， 定义惯性力： F0 ma0 = − 则有 F + F0 = ma 上式表明，在非惯性系 S＇中，只要将通常的合外力 F 再加上 惯性力 F0 ，则牛顿第二定律形式上成立。 惯性力是参考系加速运动引起的附加力，本质上是物体惯 a0 m 光滑 S 在 S 参考系（地面）m 运动符合牛顿定律 m 光滑 S′ a′= -a0 在 S′参考系（车厢）m 运动不符合牛顿定律 a = 0 a0 m S a F a ′ S a0 ·
性的体现。它不是物体间的相互作用,没有施力物体,因而也就 没有反作用力。在非惯性系中用它分析问题通常比较方便。例如 图示情况,设M>m,当去掉支撑物后,分析m的运动: M m.:/速 率圆周运动 撑物 光滑轨道滑轧在M参考系中观察 小故事:二战中,美军 Tinosa号潜艇携带了16枚鱼雷攻击敌主 力舰。在4000码处侧面攻击,发射了4枚鱼雷,使敌舰停航了。 但在875码处正面攻击,发射了11枚鱼雷,却均未爆炸,只好剩 枚回去研究。这是为什么呢? 解释:正面短距离攻击→鱼雷(S′系)撞舰体时加速度a大 惯性力F大→撞针滑块与导板间的 雷管导板敌摩擦力F0大一撞针撞击雷管末 舰 体速度变小→不能引发雷管。 滑 针块一鱼雷 匀速转动非惯性系中的惯性力 设S′系相对惯性系S匀速转动。 1.物体m在S′中静止 mO3(-F),得:f+mo2F=0 d=0 令:f+F=m=0
性的体现。它不是物体间的相互作用，没有施力物体，因而也就 没有反作用力。在非惯性系中用它分析问题通常比较方便。例如 图示情况，设 M >> m，当去掉支撑物后，分析 m 的运动： 小故事: 二战中，美军 Tinosa 号潜艇携带了 16 枚鱼雷攻击敌主 力舰。在 4000 码处侧面攻击，发射了 4 枚鱼雷，使敌舰停航了。 但在 875 码处正面攻击，发射了 11 枚鱼雷，却均未爆炸，只好剩 一枚回去研究。这是为什么呢？ 解释:正面短距离攻击→鱼雷(S′系)撞舰体时加速度 a0 大→ 惯性力 F0 大→撞针滑块与导板间的 摩擦力 F0 大→撞针撞击雷管末 速度变小→不能引发雷管。 二. 匀速转动非惯性系中的惯性力 设 S＇系相对惯性系 S 匀速转动。 1.物体 m 在 S＇中静止： S： ( ) 2 f ma m r s n = = − ，得： 0 2 f s + m r = S＇： a = 0 , 令 ： f s + F0 = ma = 0 F0 S′ 撞针 滑块 雷管 敌 舰 体 v↓ 鱼 a0 雷 导板 O 光滑轨道 · m v 支撑物 M 光滑轨 道 · m v M g 在 M 参考系中观察 · m v mg -mg T 匀 速 率 圆 周 运 动 O O ω r S′ S m fS · O
则 F mo一惯性离心力 S′中向心力与惯性离心力平衡,m静止 有关惯性离心力的几个问题: ▲失重:在绕地球转动的飞船(非惯性系)中观察,引力和惯 性离心力完全抵消,出现失重。飞船中是真正能验证惯性定 律的地方(真正显示不受力的情形)。 ▲重力和纬度的关系:重力是物体所受的地球引力和惯性离心力 的合力:P=F1+F F 可以证明(自己推导)重力加速度g和地球纬度∞的关系式为: g≈g0(1-=cos2q) GM 上式中:80R2 ≈9.83ms an=Ro32≈034ms2, G一万有引力常量,M一地球质量, R一地球半径,a—地球自转角速度 在地表面用上式的g,已将惯性离心力的影响考虑在内
则 F m r 2 0 = m r 2 ─ 惯性离心力 S＇中向心力与惯性离心力平衡，m 静止。 有关惯性离心力的几个问题： ▲失重：在绕地球转动的飞船（非惯性系）中观察，引力和惯 性离心力完全抵消，出现失重。飞船中是真正能验证惯性定 律的地方（真正显示不受力的情形）。 ▲重力和纬度的关系：重力是物体所受的地球引力和惯性离心力 的合力： P F F0 = 引 + 可以证明（自己推导）重力加速度 g 和地球纬度的关系式为： (1 cos ) 2 0 0 0 g a g g − 上式中： 2 0 2 9.83ms − = R GM g e ， 2 2 0 0.034 ms − a = R ， G ─ 万有引力常量， Me ─ 地球质量， R ─地球半径 ，ω─地球自转角速度 。 在地表面用上式的 g，已将惯性离心力的影响考虑在内。 r ω F0 P m F 引 O R ·
、基本要求 1.掌握力学中三种常见力(万有引力、弹性力和摩擦力)的 性质和计算方法 2.掌握运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的方法和步 骤 3.了解非惯性系和惯性系的区别,能在非惯性系中解决简单 的力学问题 二、知识系统图 常见力的性质 万有引力 惮性力 摩擦力: 去向支持力 正压力 滑动摩擦力:f=∠N 绳的张力 静摩擦力:0≤∫s≤∫smax 重力:P=m 弹簧中的弹力:f=-kx 牛顿运动定律(适用于惯性系) 非惯性系中的牛顿第二定 惯性力 第二定律:∑F=md ∑F=0 直角坐标分量式 ao为非惯性系相对惯性系 a=0 EFx=mx,EFy=my的加速度 切向法向分量式: d’为质点相对非惯性系的 ∑F1=mn,∑Fn=mun 加速度 第三定律
一、基本要求 1. 掌握力学中三种常见力（万有引力、弹性力和摩擦力）的 性质和计算方法。 2. 掌握运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的方法和步 骤。 3. 了解非惯性系和惯性系的区别，能在非惯性系中解决简单 的力学问题。 二、知识系统图 常见力的性质 牛顿运动定律（适用于惯性系） 第一定律： F = 0 a = 0 第三定律： 12 21 F F = − 第二定律： F ma = 直角坐标分量式： y ma y F x max F = , = 切向法向分量式： n man F t mat F = , = 万有引力： 0 r r m m F G 2 1 2 = 重力： P mg = 弹性力 法向支持力 正压力 绳的张力 弹簧中的弹力： f = −kx 摩擦力： 滑动摩擦力： N r f = 静摩擦力： max 0 s f s f 非 惯 性系 中的 牛顿 第 二 定 律： 惯性力 i ma0 F = − ma i F F + = 0 a 为非惯性系相对惯性系 的加速度 a 为质点相对非惯性系的 加速度
例题 1.如图所示,质量均为m的两木块A、B分别固定在弹黄的两A 端,竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C,问在 撒去支持面瞬间,木块A和B的加速度为多大? 有人这样回答这个问题,他说如取A、B两木块和弹簧为系 统,因弹力是内力,撤去支持面后,A、B木块仅受重力作用,根 据牛顿第二定律,它们一定作自由落体运动。所以木块A、B的 C 加速度均为g。试分析他的回答错在哪里?并指出正确的做法。 答:回答这个问题的错误在于他忘了牛顿第二定律仅对质点使用的条件。用弹簧连接的木块A 和B组成的系统不能看为一个质点,所以对此系统不能用牛顿定律,必须用隔离体法,对每 个物体进行受力分析,再用牛顿定律列方程 在支持面C撤去前,木块A、B均处在平衡状态。木块A受重力mg和弹簧的弹力F(向 上)作用,所以 F 8 木块B受重力,弹簧的弹力(向下)和水平面的支持力N(向上)作用,所以 mg+F-N=0 在支持面撤去瞬时,弹簧仍维持原来的状态,而支持力消失了。因此木块B所受的合外力 FR=F+g=2mg 故木块B的加速度 FB 木块A的合外力 Fa=mg-F=mg-mg =0 所以加速度 FA 2.判断下列说法是否正确?说明理由。 (1)质点作圆周运动时受到的作用力中,指向圆心的力便是向心力,不指向圆心的力不是向 心力 (2)质点作圆周运动时,所受的合外力一定指向圆心。 答:两个结论都不正确。 (1)向心力是质点所受合外力在法向方向的分量。质点受到的作用力中,只要法向方向的分 量不为零,它对向心力就有贡献,不管它指向圆心还是不指向圆心,但它可能只提供向心力的 一部分。即使某个力指向圆心,也不能说它就是向心力,这要看是否还有其它力的法向分量 (2)作圆周运动的质点,所受合外力有两个分量,一个是指向圆心的法向分量,另一个是切 向分量,只要质点不是做匀速率圆周运动,它的切向分量就不为零,所受合外力就不指向圆心。 3.一个绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动(称为圆锥摆),有人在重力的方向上 求合力,写出Tcob-G=0。另有人沿绳子拉力T的方向求合力,写出T-Gc0sb=0。 显然两者不能同时成立,指出哪一个式子是错误的,为什么? 答:T-Gcos=0是错误的 因为物体的加速度始终指向O点,在拉力T的方向上 的分量不为零,沿绳子拉力T的方向上应有 T-Gcos6= masin e 它与 Those-G=0同时成立。 4.已知一质量为m的质点在x轴上运动,质点只受到指向原点的√G 引力的作用,引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比,即∫=-,k是比例常数
例题 1．如图所示，质量均为 m 的两木块 A、B 分别固定在弹簧的两 端，竖直的放在水平的支持面 C 上。若突然撤去支持面 C，问在 撤去支持面瞬间，木块 A 和 B 的加速度为多大？ 有人这样回答这个问题，他说如取 A、B 两木块和弹簧为系 统，因弹力是内力，撤去支持面后，A、B 木块仅受重力作用，根 据牛顿第二定律，它们一定作自由落体运动。所以木块 A、B 的 加速度均为 g 。试分析他的回答错在哪里？并指出正确的做法。 答：回答这个问题的错误在于他忘了牛顿第二定律仅对质点使用的条件。用弹簧连接的木块 A 和 B 组成的系统不能看为一个质点，所以对此系统不能用牛顿定律，必须用隔离体法，对每 个物体进行受力分析，再用牛顿定律列方程。 在支持面 C 撤去前，木块 A、B 均处在平衡状态。木块 A 受重力 mg 和弹簧的弹力 F （向 上）作用,所以 F = mg 木块 B 受重力，弹簧的弹力（向下）和水平面的支持力 N(向上)作用,所以 mg + F − N = 0 在支持面撤去瞬时，弹簧仍维持原来的状态，而支持力消失了。因此木块 B 所受的合外力 FB = F + mg = 2mg 故木块 B 的加速度 g m F a B B = = 2 木块 A 的合外力 FA = mg − F = mg − mg = 0 所以加速度 = = 0 m F a A A 2．判断下列说法是否正确？说明理由。 （1）质点作圆周运动时受到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向 心力。 （2）质点作圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。 答：两个结论都不正确。 （1）向心力是质点所受合外力在法向方向的分量。质点受到的作用力中，只要法向方向的分 量不为零，它对向心力就有贡献，不管它指向圆心还是不指向圆心，但它可能只提供向心力的 一部分。即使某个力指向圆心，也不能说它就是向心力，这要看是否还有其它力的法向分量。 （2）作圆周运动的质点，所受合外力有两个分量，一个是指向圆心的法向分量，另一个是切 向分量，只要质点不是做匀速率圆周运动，它的切向分量就不为零，所受合外力就不指向圆心。 3．一个绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上 求合力，写出 T cos −G = 0 。另有人沿绳子拉力 T 的方向求合力，写出 T −Gcos = 0 。 显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的，为什么？ 答： T −Gcos = 0 是错误的。 因为物体的加速度始终指向 O 点，在拉力 T 的方向上 的分量不为零，沿绳子拉力 T 的方向上应有 T −Gcos = masin 它与 T cos −G = 0 同时成立。 4．已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动，质点只受到指向原点的 引力的作用，引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比，即 2 x k f = − ，k 是比例常数。 A C B o T G •
设质点在x=A时的速度为零,求x=一处的速度的大小 解:根据牛顿第二定律 k dv dy dx d dt dx dt hv vmA 5.一质量分布均匀的绳子,质量为M,长度为L,一端拴在转轴上,并以恒定角速度O在 水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力, 求距转轴为r处绳中的张力T(r)。 解:绳子在水平面内转动时,由于绳上各段转动速度不同,所以 各处绳子的张力也不同。现取距转轴为r处,长为dr的小段绳子 其质量为场 设左右绳子对它的拉力分别是 T(r) T(r+dr) T()与T(r+d)。由于绳子做圆周运动,所以小段绳子有径向 加速度,由牛顿定律得: M T(r)-T(r+dr) L T(r)-T(r+dr)=-dT(r) dT= Mo2 由于绳子的末端是自由端∴7(L)=0 Mo2 rdu r L T(r) 2L
设质点在 x = A 时的速度为零，求 4 A x = 处的速度的大小。 解：根据牛顿第二定律 dx dv mv dt dx dx dv m dt dv m x k f = − = = = 2 ∴ = − = − 4 2 0 2 , A A v dx mx k vdv mx dx vdv k k m A A mA k v 3 ) 4 1 ( 2 1 2 = − = ∴ mA k v 6 = 5.一质量分布均匀的绳子，质量为 M ，长度为 L ，一端拴在转轴上，并以恒定角速度 在 水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力， 求距转轴为 r 处绳中的张力 T(r) 。 解：绳子在水平面内转动时，由于绳上各段转动速度不同，所以 各处绳子的张力也不同。现取距转轴为 r 处，长为 dr 的小段绳子， 其质量为 L Mdr 。设左右绳子对它的拉力分别是 T(r) 与 T(r + dr) 。由于绳子做圆周运动，所以小段绳子有径向 加速度，由牛顿定律得： 2 ( ) ( ) dr r L M T r − T r + dr = ∵ T(r) −T(r + dr) = −dT(r) ∴ rdr L M dT 2 = − 由于绳子的末端是自由端 ∴ T(L) = 0 rdr L M dT L T r r = − 2 0 ( ) ∴ L M L r T r 2 ( ) ( ) 2 2 2 − = T(r) T(r + dr) r
