第五章刚体定轴转动 刚体:任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。 有关质点系的规律都可用于刚体,而且考虑到刚体的特点,规 律的表示还可较一般的质点系有所简化 §1刚体的运动 刚体的运动形式 1.平动 在运动中,如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的 位置都彼此平行,则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体 的基本运动形式之一,刚体做平动时,可用质心或其上任何 点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学 规律都适用于刚体的平动 2.转动 转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为: 定轴转动:运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同 条固定的直线(转轴)上。(本章着重讨论定轴转动) 定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动(如陀螺的运动)。 在动力学的处理中,通常选取质心为基点比较方便。 刚体转动的描述(运动学问题)
第五章 刚体定轴转动 刚体:任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。 有关质点系的规律都可用于刚体,而且考虑到刚体的特点,规 律的表示还可较一般的质点系有所简化。 §1 刚体的运动 一. 刚体的运动形式 1.平动 在运动中,如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的 位置都彼此平行,则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体 的基本运动形式之一,刚体做平动时,可用质心或其上任何一 点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学 规律都适用于刚体的平动。 2.转动 转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为: 定轴转动:运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同 一条固定的直线(转轴)上。(本章着重讨论定轴转动) 定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕 过该定点的某一瞬时轴线转动(如陀螺的运动)。 在动力学的处理中,通常选取质心为基点比较方便。 二. 刚体转动的描述(运动学问题)
1.定点转动 (1)角量的描述 刚体绕基点O的转动,其转轴是可以改变的。为反映瞬时 轴的方向及刚体转动的快慢和转 向,引入角速度矢量o。 刚体 d 基点Q o=o d t 瞬时、 式中d是刚体绕瞬时轴转动 的无限小角位移 规定角速度的方向沿瞬时轴,且与刚体转向成右手螺旋关 系 为反映刚体角速度的变化情况,引入角加速度矢量a= 般情况下,∝并不一定沿着瞬时轴 在定轴转动的情况下,o和都只有沿固定转轴的分量, 此时可用代数量o和a来表示角速度和角加速度。设定转轴的 取向,规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的ω和α为正量, 反之为负量。 (2)线量和角量的关系 刚体上任意点P都在绕瞬时轴转动, P点线速度: 刚体 基点 瞬时
1.定点转动 (1)角量的描述 刚体绕基点 O 的转动,其转轴是可以改变的。为反映瞬时 轴的方向及刚体转动的快慢和转 向,引入角速度矢量 。 d t d = = 式中 d 是刚体绕瞬时轴转动 的无限小角位移。 规定角速度的方向沿瞬时轴,且与刚体转向成右手螺旋关 系。 为反映刚体角速度的变化情况,引入角加速度矢量 d t d = 一般情况下, 并不一定沿着瞬时轴。 在定轴转动的情况下, 和 都只有沿固定转轴的分量, 此时可用代数量 和 来表示角速度和角加速度。设定转轴的 取向,规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的 和 为正量, 反之为负量。 (2)线量和角量的关系 刚体上任意点 P 都在绕瞬时轴转动, P 点线速度: r r v = ⊥ = 基点 O v • ω r r P × 瞬 时 轴 刚体 v • ω r r P 基点×O 瞬 时 轴 刚体
P点线加速度 dv d dr a xr+OX =axr+OXV dxF称作旋转加速度 ∂×ⅴ称作向轴加速度。 2.定轴转动 此时转轴固定,矢量o、c退化为 代数量。刚体上各点都绕同一轴 作圆周运动,且各点O、&都分别 相同 刚体 参考方向 riO rO d 定轴 doer a dt dt 当恒定时,刚体作匀角加速转动,此时有运动学关系 O=Oo (6-60)=t+at o2-b=2a(6-6) §2刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系,则( n △ 刚体 定轴
P 点线加速度: v d d d d d d v = + = = + r t r r t t a r 称作旋转加速度; v 称作向轴加速度。 2.定轴转动 此时转轴固定,矢量 、 退化为 代数量。刚体上各点都绕同一轴 作圆周运动,且各点 、 都分别 相同。 v = r⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = = = = r t r t a a r t n d d d d v 2 当 恒定时,刚体作匀角加速转动,此时有运动学关系: − = − − = + = + 2 ( ) 2 1 ( ) 0 2 0 2 2 0 0 t t t §2 刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系,则 刚体 O v P × ω,α r r 定轴 • 参 考 方 向 θ z Fi 刚体 vi O× ω,α ri ri 定轴 • z θi Δmi
dl M外=dt 对O点) dl (对轴) L=∑L=∑Amvl =C∑△m2)O 令 J=∑Mm-刚体对z轴的转动惯量 则L dl do 即 Ja一转动定律 其中M外=∑F1sinO是对z轴的外力矩和。定轴情况下, 可不写下标z,记作:M=J/a, J反映刚体的转动惯性 转动定律与牛顿第二定律相比,有 M F,/ a §3转动惯量的计算 J=∑△Mm2(分立) J=Jr2dm(连续) J由质量对轴的分布决定。 常用的几种转动惯量表示式 细圆环:Jo=mR2 R 均匀圆盘:J=mR2 CR
= = = = = ⊥ ⊥ ( ) v ( ) d d ( ) d d 2 i i i i i i i i z iz z z m r L L m r z t L M O t L M 对 轴 对 点 外 外 令 = ⊥ i z i i J m r 2 ─ 刚体对 z 轴的转动惯量 则 Lz = Jz , t J t L M z z z d d d d 外 = = 即 M外z = Jz ─ 转动定律 其中 = ⊥ ⊥ i z i i i M 外 F r sin 是对 z 轴的外力矩和。定轴情况下, 可不写下标 z,记作: M = J , J 反映刚体的转动惯性。 转动定律与牛顿第二定律相比,有 M~ F , J ~ m , ~ a 。 §3 转动惯量的计算 = = ⊥ ⊥ m i i J r m J m r d ( ) ( ) 2 2 连续 分立 J 由质量对轴的分布决定。 一. 常用的几种转动惯量表示式 细圆环: 2 JO = mR 均匀圆盘: 2 2 1 JC = mR O R m C R m C A 2 l 2 l m
均匀细杆: 12 二.计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴J具有可叠加性 2.平行轴定理 Jc+ md C火 平行 §4转动定律应用举例 已知:如图示,轮 R=0 定轴 绳 lkg,v=0,h=1.51 m=0 绳轮间无相对滑动,绳不可伸长 下落时间t=3s。 求:轮对O轴J=? 解:动力学关系: 对轮:T·R=小a 对 mg-T=ma(2)
均匀细杆: 2 12 1 J ml C = , 2 3 1 J ml A = 二.计算转动惯量的几条规律 1.对同一轴 J 具有可叠加性 = i J J 2.平行轴定理 2 J = JC + md min J J C = §4 转动定律应用举例 已知:如图示,轮 R = 0.2m, m =1kg,vo=0,h =1.5m, 绳轮间无相对滑动,绳不可伸长, 下落时间 t =3s。 求:轮对 O 轴 J =? 解:动力学关系: 对轮: T R = J (1) 对 m: mg −T = ma (2) 定轴 O · R t h m v0= 0 绳 C d m JC J 平行 ×
运动学关系: R h (1)(4)联立解得 g 1)mR 2h 分析结果:·单位对 h、m一定,J↑→t↑,合理; 若J=0,得 正确 代入数据 98×32 1)×1×0.2 2×1.5 1. 14 kg. m §5定轴转动中的功能关系 力矩的功 F 力矩的空间积累效应: dw= Fl cosa(r de de =( F. cosa·r1)d6 Mde 力矩的功= Mde 二.定轴转动动能定理 d W=Mdo=d=[Jode d t J
运动学关系: R a = (3) 2 2 1 h = at (4) (1)~(4)联立解得 2 2 1) 2 ( mR h gt J = − 分析结果:·单位对; ·h、m 一定,J↑→t↑,合理; ·若 J = 0,得 2 2 1 h = gt ,正确。 代入数据: 2 2 2 1.14 kg m 1) 1 0.2 2 1.5 9.8 3 ( = − J = §5 定轴转动中的功能关系 一. 力矩的功 力矩的空间积累效应: d ( cos )d d cos ( d ) M F r W F r = = = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 力矩的功 2 1 = W Md 二. 定轴转动动能定理 = = = 2 1 2 1 2 1 d d d d d J t W M J 2 1 2 2 2 1 2 1 = J − J α R · G T N T =′–T mg m a d z x ω · 轴 r F
Ek=ja 转动动能 (可证:o2=∑Mmv2) 于是得到刚体定轴转动动能定理: W=Ek2-Ek 四.应用举例 对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立。 [例]已知:如图示,均匀直杆质量为m,长为l,初始水平静止。 轴光滑, AO=l/4。 轴 求:杆下摆到θ角时,角 B 速度O=?轴对杆的作用力 N 解:(杆+地球)系统,只有重力作功,E守恒 初态:EA1=0,令E1=0 末态:F1 Joo, Ep2 =-mg sin 8 则 Jo@-mg sin=0 由平行轴定理J=J+md2 有J=,m2+m( 2 48
令 2 2 1 Ek = J ─ 转动动能 (可证: 2 = v 2) 2 1 2 1 mi i J 于是得到刚体定轴转动动能定理: W = Ek2 − Ek1 四. 应用举例 对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立。 [例]已知:如图示,均匀直杆质量为 m,长为 l,初始水平静止。 轴光滑, AO = l / 4 。 求:杆下摆到 角时,角 速度 = ?轴对杆的作用力 N = ? 解:(杆+地球)系统,只有重力作功,E 守恒。 初态: Ek1 = 0, 令 EP1 = 0 末态: , 2 1 2 Ek 2 = JO sin 4 2 l EP = −mg 则: sin 0 2 4 1 2 − = l JO mg (1) 由平行轴定理 2 JO = JC + md , 有 2 2 2 48 7 ) 4 ( 12 1 ml l JO = ml + m = (2) θ · · ω 轴 O C A B l , m l /4
(1)、(2)解得: 6gsin0 7I 应用质心运动定理求轴力N N+ 7方向:- mosin+N1=ma 1方向: mg cos0+N1=ma(4) 6 sine (gn I i mg cos e 3g cos 0 C 由(3)(4)(5)(6)解得: N=-mg sing I. m 4 N,=-=mg cos0 7 8Sin6.1-=mg cos0.i
(1)、(2)解得: l g 7 6 sin 2 = 。 应用质心运动定理求轴力 N : N mg maC + = mg Nl maCl l ˆ方向:− sin + = (3) mg Nt maCt t ˆ方向: cos + = (4) 2 4 l aCl = sin 7 6 = g (5) O l Ct J l l mg a cos 4 4 4 = = 7 3g cos = (6) 由(3)(4)(5)(6)解得: sin , 7 13 Nl = mg cos 7 4 N mg t = − N mg l mg cos t ˆ 7 4 ˆ sin 7 13 = − B θC O· · A l , m θ Nl Nt N m g aCt aCl ^ l ^ ^ t ^ β O θC · · ω A B l , m Nl Nt N ^ l ^ ^ t ^
m8.√53sin2+16 B=tg tg ctg 0) 13 §6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系: 对点:n_dE M外dt=L2-L1 dt 对轴: M外:dt=L2:-L 刚体 L2=2o 由此得到刚体定轴转动的角动量定理: mo dt= 刚体定轴转动的角动量守恒定律: 若M外=0,则、Ja=常量. 若几个刚体组成一个刚体系,且其中各刚体都绕同一轴 转动。则在刚体系M外=0的情况下,有∑JO=cont,这时 角动量可在系统内部各刚体间传递,而却保持刚体系对转轴的 总角动量不变。 [例]如图示,已知:h,R,M=2m,b=60° 求:碰撞后的瞬刻盘的 卩tm(黏土块)
153sin 16 7 2 = + mg N ctg ) 13 4 tg ( | | tg 1 1 − − = = l t N N §6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系: 对点: t L M d d 外 = , 2 1 2 1 M dt L L t t = − 外 对轴: z t t M z t L2z L1 2 1 d = − 外 刚体: Lz =Jz 由此得到刚体定轴转动的角动量定理: 2 1 2 1 d z z t t z M t =J − J 外 刚体定轴转动的角动量守恒定律: 若 M 外 z= 0,则 Jz = 常量. 若几个刚体组成一个刚体系,且其中各刚体都绕同一轴 转动。则在刚体系 = 0 M外z 的情况下,有 = const. iz i J ,这时 角动量可在系统内部各刚体间传递,而却保持刚体系对转轴的 总角动量不变。 [例] 如图示,已知:h,R,M=2m, =60 求:碰撞后的瞬刻盘的 0 =? y m(黏土块) h P
P转到x轴时盘的 解:m下落: gh (1) 对(m+盘)系统,碰撞Δ极小,冲力远大于重 力,故重力对O轴力矩可忽略,又轴处外力对轴 的力矩为零,故系统角动量守恒 mvRcos8=JOo 又 MR2+mR2=2mR2(3) 由(1)(2)(3)得 2gh g 2R R 对(m+M+地球)系统,只有重力作功, g E守恒,令P、x重合时E=0,则: mgRsin0+=Jo 由(3)(4)(5)得
P 转到 x 轴时盘 的 =? = ? 解:m 下落: = v 2 2 1 mgh m v = 2gh (1) 对(m +盘)系统,碰撞 t 极小,冲力远大于重 力,故重力对 O 轴力矩可忽略,又轴处外力对轴 的力矩为零,故系统角动量守恒: 0 mvRcos = J (2) 又 2 2 2 2 2 1 J = MR + mR = mR (3) 由(1)(2)(3)得: cos 2 2 0 R gh = (4) 对(m + M +地球)系统,只有重力作功, E 守恒,令 P、x 重合时 EP = 0,则: 2 2 0 2 1 2 1 mgRsin + J = J (5) 由(3)(4)(5)得: m P h v , m mg · O M R