§5.5转动中的功和能 1、力矩的功 dW=F·C= FcoS q|c F cos crde FcoS r=M dW=Mde 称为力矩的功 力矩对转动物体作的 功等于相应力矩和角位 移的乘积
§5.5 转动中的功和能 1、力矩的功 dW F dr F cos | dr | = • = 力矩对转动物体作的 功等于相应力矩和角位 移的乘积。 称为力矩的功。 = F cosrd F cosr = M dW = Md x O r v F P dr d
2、刚体定轴转动的动能症理 将定轴转动的转动定律两边乘以d再同时对 积分有: Mde dode dt ra2=2 所以有:W=E2-E1 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体的转动动能的増量
2 1 2 2 2 1 2 1 = = J − J 2 1 Jd d dt d J = 2 1 2 1 M d 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体的转动动能的增量。 W = EK2 − EK1 所以有： 将定轴转动的转动定律两边乘以d 再同时对 积分有: 2、刚体定轴转动的动能定理
3、刚体的重力势能 个质元:△mgh 整个刚体: ∠1m EP重 △mgh1 g(∑△mh)=mgh 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量 都集中在质心时所具有的势能。 4、机械能守恒 对于含有刚体的系统如果在运动过程中只有保 守内力作功则此系统的机械能守恒
3、刚体的重力势能 h hi hc x O m C m 一个质元： mi ghi i i EP重 =mi gh c i = g(mi hi ) = mgh 整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量 都集中在质心时所具有的势能。 4、机械能守恒 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保 守内力作功,则此系统的机械能守恒
例:如图所示,滑块转动 惯量为0.01kgm2,半径为 7cm,物体的质量为5kg,有 k 细绳与劲度系数k=200Nm13M 的弹簧相连,若绳与滑轮间无 相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽 略不计。求:(1)当绳拉直、 弹簧无伸长时使物体由静止而 下落的最大距离。(2)物体的 速度达最大值时的位置及最大 速率
例：如图所示, 滑块转动 惯量为 0.01 kg.m2 , 半径为 7cm,物体的质量为 5kg, 有一 细绳与劲度系数 k=200N.m-1 的弹簧相连, 若绳与滑轮间无 相对滑动, 滑轮轴上的摩擦忽 略不计。求:（1）当绳拉直、 弹簧无伸长时使物体由静止而 下落的最大距离。(2) 物体的 速度达最大值时的位置及最大 速率。 J k m
解:(1)mgx=, 32x2,xs3 mg =0.49m k (2) o = mo ,x0=m2g/=0.245m mg xo=mu2+=J 002 o 2 2 0o=k(m+/R2)2mg =1.3m·s 作业:5.115.125.135.15516
, 2 1 (1) 2 mgx = kx k mg x 2 = = 0.49m (2) , kx0 = mg x0 = mg / k = 0.245m mg x mv J kx 2 0 2 0 2 0 0 2 1 2 1 2 1 = + + v k(m J /R ) mg 2 2 1 0 = + − -1 =1.3m s 解： 作业： 5.11 5.12 5.13 5.15 5.16
§5.6刚体的角动量、角动量定理和角动量 守恒定律 1、刚体的角动量 质点对点的角动量为:L=r×P=r×m 刚体上的一个质元绕固定轴做圆周运动角动量为: =△m=:2△mO 所以刚体绕出轴的角动量为: L=∑L=C∑△mn2)a=J/m 刚体对固定转动轴的角动量L等于它对该轴 的转动惯量/和角速度o的乘积
§5.6 刚体的角动量、角动量定理和角动量 守恒定律 1、刚体的角动量 刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为： 质点对点的角动量为： L = r P = r mv Li = ri mi vi = ri mi 2 所以刚体绕此轴的角动量为： L L m r J i i i i = i = ( ) = 2 刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴 的转动惯量J 和角速度 的乘积
2、刚体的角动量定理 1)微分形式:质点的角动量定理为:M dt d 对质点组:任一质点M 式中M.=M.,+M 外i内 对整个刚体M dL ∑M i dt ∑(M M 内 外i
2、刚体的角动量定理 dt dL 1) 微分形式： 质点的角动量定理为： M＝ 对质点组: dt i dL i M 任一质点 = 外 内 式中 i M i M i M = + = = = i i M i dt i dL dt dL M 对整个刚体 = + i i M i (M ) 外 内
前知一对内力的力矩之和 为零,如图。 M=M 外at 刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和 角动量平行于转轴的分量,设转轴为z轴取角动量 定理沿z轴的分量式有: M z外dt 或写成M=dL
前知 一对内力的力矩之和 为零，如图。 ji M ij M = − Z mj mi f ji ro rj r Oi i f ij dt dL M M = = 外 刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和 角动量平行于转轴的分量，设转轴为z 轴,取角动量 定理沿z轴的分量式有: dt dL M z z外 = 或写成 Mdt = dL
2):积分形式 Mdt dL=L2-L1=△L 对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积 累(称为冲量短)等于刚体对同一转动轴的角动量的 增量。 丿不变时, △=J-J0 丿也改变时△L=J2O2-J1a1
2):积分形式 Mdt dL L L L t L L = = − = 2 1 0 2 1 对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积 累(称为冲量矩),等于刚体对同一转动轴的角动量的 增量。 J 不变时, 2 1 L = J − J J 也改变时, 2 2 1 1 L = J − J
3、角动量守恒定律 在 dL M 中,若M=0,则L=常量 dt L不变的含义为: 刚体:/不变非刚体:J不变 M=0的原因,可能F=0;r=0;F∥在 定轴转动中还有M≠0,但它对定轴转动没有作 用,则刚体对业轴的角动量依然守恒
3、角动量守恒定律 在 = 中，若M = 则L = 常量 dt dL M 0, L 不变的含义为： 刚体：J 不变 非刚体：J不变 M = 0 的原因，可能F＝0；r = 0; F∥r.在 定轴转动中还有M≠0，但它对定轴转动没有作 用，则刚体对此轴的角动量依然守恒