量子化学习题集第一章量子力学基础1.1如果g-Af对每一组A与f求g。(1) A=dldx, f=cos(x2+1):(2) A=5, f=sinx;(3)A=(),f-sinx;(4) A=exp , f=Inx:(5) A=dldx2, f-ln3x;(6) A=d ldx+3xdldx, f-4x ;1.2如A/(x)=3x(x)+2xdfldx，(x)为任意函数，给出A的表达式1.3给出3个满足Ae=e的A的表达式1.4如果A=dldx,B=x2,计算(1)ABx；(2)BAx(3)AB/(x)；(4)BA(x);1.5计算下列对易子(1)[x, ](2)[pr,p,] (3)[x,p,] (4) [x,p,] (5) [x",p,](6)[1/x, p,] (7)[1/x, p] (8)[xp, -ypr,yp: -zp,] (9)[x(@2 /y2), y(0/ax)](10)[sinx, dldx]; (11)[didx, ax?+bx+c](a, b, c 为常数); (12) [dldx, didx)]1.6证明，对于线性算符，有A(B+C)=AB+AC1.7如果A是线性算符，b,c为常数，f,g为任意函数，证明A(bf+cg)=bAf+cAg;证明若A(bf+cg)=bAf+cAg，则A一定是线性算符。1.8 证明:(1)[A, B]=-[B,A] (2)[A",A"]=0 (3)[A2, B]=A[A, B]+[A, B]A(4) [A, [B, C]+ [B, [C, A]+ [C, [A, B]]=01.9=p/2m+V(x)，分别计算(1)当V(x)=V(常数),(2)当V(x)=kx2/2,(3)当V(x)V(r)=e~/4元8or时的对易子[H,p,]与[H,x]1.10拉普拉斯变换算符i定义为if(x)=f°e-Pf(x)dx(1)i是否是线性算符，(2)计算i(1)；计算Le，假定p>a
量子化学习题集 第一章 量子力学基础 1.1 如果 g= Âf 对每一组 Â 与 f 求 g。 (1) Â=d/dx, f=cos(x 2 +1)； (2) Â=5, f=sinx； (3) Â=( )2 , f=sinx； (4) Â=exp , f=lnx； (5) Â=d2 /dx2 , f=ln3x； (6) Â=d2 /dx2 +3xd/dx, f=4x 3 ； 1.2 如 Âf(x)=3x 2 f(x)+2xdf/dx，f(x)为任意函数，给出 Â 的表达式 1.3 给出 3 个满足 Âe x =e x 的 Â 的表达式 1.4 如果 Â= d2 /dx2 , ˆ B= x 2 , 计算(1) Â ˆ Bx 3 ；(2) ˆ BÂx 3 ；(3) Â ˆ Bf(x)；(4) ˆ BÂf(x)； 1.5 计算下列对易子 (1)[x, y] (2)[, ] ˆ ˆ x y p p (3)[, ] ˆ x x p (4) 2 [, ] ˆ x x p (5) [, ] ˆ n x x p (6)[1 , ] ˆ x x p (7) 2 [1 , ] ˆ x x p (8)[,] ˆ ˆ ˆ ˆ y xz y xp yp yp zp (9) 22 2 [ ( ), ( )] x yy x (10)[sinx, d/dx]；(11)[ d2 /dx2 , ax 2 +bx+c](a, b, c 为常数)；(12) [d/dx, d2 /dx2 ] 1.6 证明，对于线性算符，有 Â( ˆ B+Ĉ)= Â ˆ B+ÂĈ 1.7 如果 Â 是线性算符，b,c 为常数，f, g 为任意函数，证明 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg； 证明若 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。 1.8 证明： (1) [Â, ˆ B]= [ ˆ B, Â] (2)[Âm,Ân ]=0 (3)[Â2 , ˆ B]= Â[Â, ˆ B]+[Â, ˆ B]Â (4) [Â, [ ˆ B, Ĉ]]+ [ ˆ B, [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, ˆ B]]=0 1.9 2 ˆ ˆ 2 () H p m Vx x ，分别计算(1)当 V(x)=V(常数)，(2)当 V(x)=kx2 /2，(3)当 V(x) V(r)=e 2 /40r 时的对易子 ˆ [, ] ˆ H px 与 ˆ [ ,] H x 1.10 拉普拉斯变换算符ˆ L定义为 0 ˆ () () px Lf x e f x dx (1) ˆ L是否是线性算符，(2)计算ˆ L(1)；计算ˆ Leax，假定 p>a
1.11定义平移算符Th为T(x)=(x+h)，(1),是否是线性算符？(2)计算(7-3,+2)x21.12下面哪些函数是d/dx的本征函数，哪些是dldx2的本征函数?(1)ea (2)e (3)x (4)r2 (5)ax+b(6) sinx(7)sinx+cosx1.13如果A，B为厄米算符，证明：(1)A±B不是厄米(2)cA和A+B是厄米的算符(c为实常数)1.14如果A，B是厄米算符，（1)证明只有当A与B对易时乘积AB是厄米的；(2)证明(AB+BA)是厄米的；(3）xpx是厄米的吗？（4)(xpx+pat)是厄米的吗？1.15给出一个算符，使其满足A[(x)+g(x))=Al(x)+Ag(x)而不满足A[cf(x)=cAl(x);给出一个算符，使其满足A[c(x)]=cA/(x)：而不满足A[(x)+g(x)]=A(x)+Ag(x)1.16证明两个线性算符的积仍然是线性算符1.17下列哪些算符是厄米的？d/dx；i(dldx)；4d/dx2；(d/dx)1.18下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)（），(2)d/dx，(3)dldx，（4)id/dx1.19在长度为1的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻t0，它的状态函数是Y(to)=Nx(I-x）(O≤x≤I)。如果在to时刻我们测量粒子的能量，此时测量的可能结果是什么，每个结果的概率是多少？1.20下面那些函数哪些是品优的？对于不是品优的那些函数，要说明理由(1) y=x; (2) y=x; (3) y=e-, (4) y=e; (5) y=cosx; (6) y=sinxl;(7)y= e*; (8)=f1--1sx≤11 0x>1orx<-11.21下面那些算符是线性的(1) Ay=Ay; (2) AyFy*; (3)AyFy; (4) Ay=dyldx:
1.11 定义平移算符ˆ Th 为ˆ Thf(x)= f(x+h)， (1)ˆ Th 是否是线性算符？(2)计算(ˆ T2 13 ˆ T1 +2)x 2 1.12 下面哪些函数是 d/dx 的本征函数，哪些是 d2 /dx2 的本征函数？ (1) e ax (2) 2 ax e (3)x (4)x 2 (5) ax+b (6) sinx (7)sinx+cosx 1.13 如果 Â, ˆ B为厄米算符，证明： (1) i ˆ B不是厄米 (2) c 和 Â+ ˆ B是厄米的算符(c 为实常数) 1.14 如果 Â, ˆ B是厄米算符，(1)证明只有当  与 ˆ B对易时乘积  ˆ B是厄米的；(2) 证明1 2( ˆ B+ ˆ BÂ)是厄米的；(3) ˆ xˆ px是厄米的吗？(4)1 2(ˆ xˆ px+ˆ px ˆ x)是厄米的吗？ 1.15 给出一个算符，使其满足 Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x)而不满足 Â[cf(x)]=cÂf(x)； 给出一个算符，使其满足 Â[cf(x)]=cÂf(x)；而不满足 Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x) 1.16 证明两个线性算符的积仍然是线性算符 1.17 下列哪些算符是厄米的？ d/dx；i(d/dx)；4d2 /dx2 ；i(d2 /dx2 ) 1.18 下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)( )½，(2)d/dx，(3)d2 /dx2 ，(4)id/dx 1.19 在长度为 l 的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻 t0，它的状态函数是 (t0)=Nx(lx) (0 x l)。如果在 t0 时刻我们测量粒子的能量，此时测量的 可能结果是什么，每个结果的概率是多少？ 1.20 下面那些函数哪些是品优的? 对于不是品优的那些函数, 要说明理由 (1) = x；(2) = x 2 ；(3) = e|x| ；(4) = ex ；(5) = cosx；(6) = sin|x|； (7) 2 e x ；(8) 2 1 11 01 1 x x x or x 1.21 下面那些算符是线性的 (1) Â=；(2) Â=*；(3) Â=2 ；(4) Â=d/dx；
第二章量子力学简单体系2.1对于简并能级，任意波函数的线性组合都是H的具有同意本征值的本征函数，因此对于任何简并能级，可写出无限多个不同的本征函数。实际上我们只关心线性独立的本征函数，所谓线性独立，是指如果cW,+C2V2++c,V，=0只在ci,C2,…,cn均为零时才成立，那么yi，y2，…，yn称为线性独立，能级的简并度即为线性独立的波函数的个数。请判断，下列函数集那些是线性独立函数集:(1)x, x,x;(2)x,x,3x2-1;(3) sinx, cosx;(4) sinx, cosx, tanx;(5)sin'x, cos'x, 1; (6) sinx, cosx, e (7) sin'x, cos'y, 12.2三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？(1) px (2)P (3) β(4) 2.3对于边长为a,b,c的三维势箱，求量子数为nxny,n的状态下的(1)<x)；(2)<y)和(=)；(3)<px)；(4)(x)：(5)计算判断等式是否成立：()=(x)，《ay)=(xXy)2.4对一维谐振子的基态，求动能和势能的平均值，验证此情况下《T)-<V)2.5若函数(-x)=/(x)，则f是x的偶函数，若g(-x)=-g(x)，则g是x的奇函数。判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？(6)2-2x(1)sinx(2)cosx(3)tanx(4)e(5) 122.6对谐振子1=1的态，求粒子最可能的位置2.7对氢原子的基态，求(1)r的平均值；(2)r的最可几值；（3)求2p态的<r）2.8证明对于定态，《T)+(V=E2.9计算氢原子基态的<T)，<V)2.10已知,力学量A的不确定度为△A，（MA)=《(A-(A))）=(A°)-(A)"，用一维势箱，验证x和px的不确定关系
第二章 量子力学简单体系 2.1 对于简并能级，任意波函数的线性组合都是Hˆ 的具有同意本征值的本征函数， 因此对于任何简并能级，可写出无限多个不同的本征函数。实际上我们只关 心线性独立的本征函数，所谓线性独立，是指如果 11 2 2 0 n n cc c 只在 c1, c2, ., cn 均为零时才成立，那么1, 2, ., n 称为线性独立，能级的 简并度即为线性独立的波函数的个数。请判断，下列函数集那些是线性独立 函数集：(1) x, x 2 , x 6 ; (2) x, x 2 , 3x 2 1; (3) sinx, cosx; (4) sinx, cosx, tanx; (5) sin2 x, cos2 x, 1; (6) sinx, cosx, e ix (7) sin2 x, cos2 y, 1 2.2 三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？ (1) pˆ x (2)pˆ 2 x (3) pˆ 2 z (4) xˆ 2.3 对于边长为 a,b,c 的三维势箱，求量子数为 nx, ny, nz 的状态下的(1) x；(2) y 和z；(3) px；(4) x 2 ；(5)计算判断等式是否成立：x 2 =x 2 ，xy=xy 2.4 对一维谐振子的基态，求动能和势能的平均值，验证此情况下T=V 2.5 若函数 f(x)=f(x)，则 f 是 x 的偶函数，若 g(x)=g(x)，则 g 是 x 的奇函数。 判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？ (1) sinx (2) cosx (3) tanx (4) e x (5) 12 (6)22x 2.6 对谐振子 v=1 的态，求粒子最可能的位置 2.7 对氢原子的基态，求(1) r 的平均值；(2) r 的最可几值；(3)求 2p 态的r 2.8 证明对于定态，T+V=E 2.9 计算氢原子基态的T，V 2.10 已知,力学量 A 的不确定度为A， 2 2 2 2 A AA A A ，用一 维势箱，验证 x 和 px的不确定关系
第三章角动量、自旋和原子光谱3.1对[=2，计算L与=轴之间可能的夹角。3.2证明球谐函数是算符M+M的本征函数，并求其本征值。3.3证明角动量的三个对易规则[M,M,]-ihM[M,M]-ihM[M,M.]-ihM可合并写成MxM=ihM3.4证明：M，MM.为厄米算符。3.5如果两个力学量算符不对易([F,G)+0)，设Φ为体系的某一状态，则有(AF)(AG)≥-(0[F,)，该式为Heisenberg不等式；证明：(AM)(AM,)≥一m'n3.6 以(α,β)为基失,α,β可分别表示为α=() β=(9),对S,(S)1=(a/s/α)=h/2;(S-)12=(α/S-IB)=0;(S-)21=(BIS:α)=0;(S-)22=<βIS-Iβ)--h/2;由此，S的矩阵表示为s=(1 0)"2(0-1)(1）请推求Sx，S，S+，S_和S的矩阵表达式(2）化简下面算符：SS3233.7计算下列积分：(1)K0,0M,0,0);(2)2,1|M/2,0);(3) (2,2|M2(2,0);(5) <2,0|M_M4/2,0)(6)(2,0M2MM/2,0)(4)<2,0M.M/2,0);3.8计算下列积分：(1)<px/M-lpy);(2)(ps/M+lpy);(3)(p-/M)lpx);(4)p-[M(lpy)(5)<p-[M(px)3.9写出2p组态中3P谱项的全部波函数
第三章 角动量、自旋和原子光谱 3.1 对 l=2，计算→ L与 z 轴之间可能的夹角。 3.2 证明球谐函数是算符Mˆ 2 x+Mˆ 2 y的本征函数，并求其本征值。 3.3 证明角动量的三个对易规则 [Mˆ x, Mˆ y]=iMˆ z [Mˆ y, Mˆ z]=iMˆ x [Mˆ z, Mˆ x]=iMˆ y 可合并写成 Mˆ Mˆ = iMˆ 3.4 证明：Mˆ x, Mˆ y, Mˆ z为厄米算符。 3.5 如果两个力学量算符不对易([ˆ F,Gˆ ]0)，设为体系的某一状态，则有 2 2 2 1 ˆ ˆ ( )( ) [ , ] 4 F G FG ，该式为 Heisenberg 不等式；证明： 2 2 24 1 ( )( ) 4 MM m x y 3.6 以{, }为基矢，, 可分别表示为 1 0 0 1 ，对ˆ Sz，(ˆ Sz)11=| ˆ Sz|=/2; (ˆ Sz)12=| ˆ Sz|=0; (ˆ Sz)21=| ˆ Sz|=0; (ˆ Sz)22=| ˆ Sz|=/2; 由此，ˆ Sz的矩阵表示 为 1 0 ˆ 2 0 1 z S (1) 请推求ˆ Sx, ˆ Sy, ˆ S+, ˆ S和ˆ S2 的矩阵表达式 (2) 化简下面算符：ˆ Sx ˆ Sy, ˆ Sx ˆ S 2 y ˆ S 2 z, ˆ S 2 x ˆ S 2 y ˆ S 2 z 3.7 计算下列积分: (1)0,0|Mˆ z|0,0; (2)2,1|Mˆ +|2,0; (3) 2,2|Mˆ 2 +|2,0; (4) 2,0|Mˆ +Mˆ |2,0; (5) 2,0|Mˆ Mˆ +|2,0 (6) 2,0|Mˆ 2 +Mˆ zMˆ 2 |2,0 3.8 计算下列积分: (1) px|Mˆ z|py; (2) px|Mˆ +|py; (3) pz|Mˆ y|px; (4)pz|Mˆ x|py (5) pz|Mˆ x|px 3.9 写出 2p 组态中 3 P 谱项的全部波函数
第四章近似方法4.1用尝试变分函数=e-求谐振子的基态能级和波函数。4.2对一维势箱中粒子应用线性变分函数=cx(l-x)+c,x(1-x)，计算n=1和n=2时能级及波函数，并计算能级的百分误差。4.3对氢原子基态，用Gauss尝试函数=ec，求c的最佳值和能量的百分误差(使用原子单位制)。4.4如果对一维势箱中粒子用归一化的尝试变分函数=0≤x≤l,求其基态能量，讨论其是否合理，为什么？4.5宽度为L的一维势箱中的粒子，若有一微扰势能[-b0≤x≤L/2V'(x)=bL/2≤x≤L求能量的一级微扰修正值E和一级近似波函数yk。4.6 非线性谐振子的自=-需崇+号k +βx*，求能量的一级微扰修正项。2mdx2+24.7考虑各向同性介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质中的离子在其平衡位置附近作小振动，可看成是简谐振动。现在沿x方向加上一均匀外电场B，对于带电Q的离子，其自=-%需+-qgex，求一2mdx22级近似能量E和一级近似波函数k，求微粒坐标平均值x=(xVk）
第四章 近似方法 4.1 用尝试变分函数 2 x e 求谐振子的基态能级和波函数。 4.2 对一维势箱中粒子应用线性变分函数 2 2 1 2 cx l x cxl x () () ，计算 n=1 和 n=2 时能级及波函数，并计算能级的百分误差。 4.3 对氢原子基态，用 Gauss 尝试函数 2 cr e ，求 c 的最佳值和能量的百分误 差(使用原子单位制)。 4.4 如果对一维势箱中粒子用归一化的尝试变分函数 1 2 3 3 x 0 x l l ，求其 基态能量，讨论其是否合理，为什么？ 4.5 宽度为 L 的一维势箱中的粒子，若有一微扰势能 0 /2 ( ) / 2 b xL V x bL xL 求能量的一级微扰修正值 E'k和一级近似波函数k。 4.6 非线性谐振子的 2 2 2 4 2 1 ˆ 2 2 d H kx x m dx ，求能量的一级微扰修正项。 4.7 考虑各向同性介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质 中的离子在其平衡位置附近作小振动，可看成是简谐振动。现在沿 x 方向加 上一均匀外电场，对于带电 q 的离子，其 2 2 2 2 1 ˆ 2 2 d H kx q x m dx ，求一 级近似能量 E'k和一级近似波函数k，求微粒坐标平均值 k k x x
积分表Bsin br-[x sin bxdx =-cosbxbx1sin"bxdx = sin(2bx)24bx?1x[xsin’ bxdx =sin(2bx)cos(2bx)8624.4b(r2J r sin? bxdx=.1xsin(2bx)cos(2bx)863462(466sin[(a-b)x]sin[(a +b)x][ sin ax sin bxdx =-α? +b?2(a-b)2(a+b)[xe'dx =bb2Jrerdx=et(_2x+2(6-6263Jx'e'"dx= n!n>-1,q>0940元11Je- dx =,b>02Vb0(2n)!元Jx"e-n dx =b>0,n=1,2,3...22a*n!VB2+0a'r?a"t"n!-"e-"dz=1+at+a>0, n=0,1,2,..qre++2!n!
积分表 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 sin sin cos 1 sin sin(2 ) 2 4 1 sin sin(2 ) cos(2 ) 44 8 1 sin sin(2 ) cos(2 ) 6 48 4 sin[( ) ] sin[( ) ] sin sin 2( ) 2( ) bx x x bxdx bx bx b b x bxdx bx b x x x bxdx bx bx b b xx x x bxdx bx bx bb b a bx a bx ax bxdx a b ab ab xe d 2 2 2 2 2 2 3 1 0 0 2 21 21 0 2 2 1 1 2 2 ! 1, 0 1 0 2 (2 )! 0, 1, 2,3. 2 ! ! 1 . 0, 0,1, 2, 2! ! bx bx bx n qx n bx n bx n n n n n az at n t x x e b b x x x e dx e bb b n x e dx n q q e dx b b n x e dx b n n b n at at z e dz e at a n a n
量子化学习题解(仅供参考)第一章量子力学基础1.1如果g=Af对每一组A与f求g。(3) A=(),f=sinx;(1) A=dldx, f=cos(x2+1);:(2)A=5,f=sinx;(4) A=exp,f-lnx;(5) A=dldx,f-=ln3x;(6) A=d/dx2+3xd/dx, f=-4x3 ;(4)x (5)-1/x2(6) A=24x+36x3(1)-2xsin(x2+1)(2) 5sinx(3) sinx1.2如A/(x)=3x2(x)+2xdfldx，(x)为任意函数，给出A的表达式A=3x2+2xd/dx1.3给出3个满足Ae=er的A的表达式A=dldxA=iA=dldx21.4 如果A=dldx, B=x2,计算(1)ABx;(2)BAr;(3)AB(x);(4)BA(x);(1) ABx= dldx(x5)=20x3(2) BAr3=6r3(3) AB(x)= d/dx[x(x)]=xf(x)+4xf(x)+2(x)(4) BA(x)=xf(x)1.5计算下列对易子(1)[x, y] (2)[Px, P,](3)[x,p,](4) [x2,p](5) [x",p,](6)[1/x, p,] (7)[/x, p] (8)[xp, -yp,p -zp,] (9)[x2( /y),y(0/ax)])(10)[sinx,dldx];(11)[/dx2,ax?+bx+c](a,b,c为常数)：(12)[dldx,d/dx](1) [x, y]=0(2)[Pr, P,]=0(3)[x,p,]=xp,-p,x=xp,-(xp,-ih)=ih(4)[x2,p]=xp.-px?=2ihx(5) [x",p,]= nihx"-(6)[/x, P,] =- hX(7)[/x,P1- (-ip)Y[xp,-ypr,yp: -zp,]=(xp,-yp:)(yp. -zp,)-(p: -zp,)(xp,-yp)(8)=[x,(op.)-R- +yp,P,]-[p.P,-pR-x +p,(p)]=p-ihxp:+pp-pR-pp+ihzp=it(zp,-xp.)
量子化学习题解(仅供参考) 第一章 量子力学基础 1.1 如果 g= Âf 对每一组  与 f 求 g。 (1) Â=d/dx, f=cos(x2 +1)； (2) Â=5, f=sinx； (3) Â=( )2 , f=sinx； (4) Â=exp , f=lnx； (5) Â=d2 /dx2 , f=ln3x； (6) Â=d2 /dx2 +3xd/dx, f=4x3 ； (1) 2xsin(x2 +1) (2) 5sinx (3) sin2 x (4) x (5) 1/x2 (6) Â=24x+36x3 1.2 如 Âf(x)=3x2 f(x)+2xdf/dx，f(x)为任意函数，给出  的表达式 Â=3x2 +2xd/dx 1.3 给出 3 个满足 Âex =ex的  的表达式 Â=d/dx Â=ˆ 1 Â=d2 /dx2 1.4 如果 Â= d2 /dx2 , ˆ B= x2 , 计算(1)  ˆ Bx3 ；(2) ˆ BÂx3 ；(3)  ˆ Bf(x)；(4) ˆ BÂf(x)； (1)  ˆ Bx3 = d2 /dx2 (x5 )=20x3 (2) ˆ BÂx3 =6x3 (3)  ˆ Bf(x)= d2 /dx2 [x2 f(x)]=x2 f"(x)+4xf'(x)+2f(x) (4) ˆ BÂf(x)= x2 f"(x) 1.5 计算下列对易子 (1)[x, y] (2)[, ] ˆ ˆ x y p p (3)[, ] ˆ x x p (4) 2 [, ] ˆ x x p (5) [, ] ˆ n x x p (6)[1 , ] ˆ x x p (7) 2 [1 , ] ˆ x x p (8)[,] ˆ ˆ ˆ ˆ y xz y xp yp yp zp (9) 22 2 [ ( ), ( )] x yy x (10)[sinx, d/dx]；(11)[ d2 /dx2 , ax2 +bx+c](a, b, c 为常数)；(12) [d/dx, d2 /dx2 ] (1) [x, y]=0 (2)[, ] ˆ ˆ x y p p =0 (3)[, ] ( ) ˆ ˆˆ ˆ ˆ x xx x x x p xp p x xp xp i i (4) 22 2 [, ] 2 ˆ ˆ ˆ x xx x p x p px i x (5) 1 [, ] ˆ n n x x p ni x (6) 2 [1 , ] ˆ x i x p x (7) 2 3 2 [1 , ] ˆ ˆ x x x p ixp x (8) 2 [ , ] ( )( ) ( )( ) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [() ˆ ˆ ˆ ˆ y xz y y x z y z y y x y z xz xp yp yp zp xp yp yp zp yp zp xp yp xp yp y p p 2 ˆ y xzp 2 ˆ ˆ ] [ ˆ ˆ ˆ ˆ xy zy zx yzp p xyp p y p p 2 ˆ y xzp ˆ ( )] ˆ ˆ ˆ y x y z zp yp xyp p ˆ ˆ ˆ z xy i xp yzp p ˆ ˆ z y xyp p ˆ ˆ y x yzp p ˆ ( ) ˆ ˆ x x z i zp i zp xp
aa2a3aa[x(o- /ay"), y(o/ax)] = xavlar+axaya22.21auaxoy(9)2a?a302202022x22xoyaxoyayaxoxaxoyaxoxaxoy(10)[sinx, d/dx] =-cosx(11)[dP/dx2,ax2+bx+c]=2a+2(2ax+b)d/dx(12) [dldx, d-/dx’]=01.6证明，对于线性算符，有A(B+C)=AB+AC证明:A(B+C)f=A(Bf+C)-ABf+ACf=(AB+AC)f1.7如果A是线性算符，b,c为常数，f,g为任意函数，证明A(bf+cg)=bAf+cAg；证明若A(bf+cg)bAf+cAg，则A一定是线性算符。1)证明:A是线性算符A(bf+cg)=A(bl)+A(cg)=bAf+cAg2)证明：A(bf+cg)=bAf+cAgb,c为常数设c=0 则有A(bl)=bAf设 c=1,b=1 则有 A(f+g)=Af+Ag因此 A是线性算符1.8 证明: (1) [A, B]=-[B, A] (2)[Am,A"}=0 (3)[A2, B]-A[A, B]+[A, B]A(4) [A, [B, C]+[B, [C, A]+ [C, [A, B]]=0证明: (I)[A, B]=AB-BA=-(BA-AB)=-[B,A](2)[A",A"= A"A"-A"Am= Am+n-Am+n=0(3) [A2, B]= A2B-BA2A[A, B)+[A, BJA= A(AB-BA)+(AB-BA)A = AB- ABA+ ABA-BA2= AB-BA2..[A2, B]= A[A, B]+[A, B]A(4) [A, [B, CI]+ [B, [C, AII+ [C, [A, B=[A, (BC-CB)+[B, (CA-AC))+ [C, (AB-BA))=ABC-ACB-BCA+CBA+BCA-BAC-CAB+ ACB+CAB-CBA-ABC+BAC=01.9 H=P2/2m+V(x)，分别计算(1)当V(x)=V(常数)，(2)当V(x)=kx2/2，(3)当 V(x)→V(r)=e2/4元80r时的对易子[H,P,]与[H,x]1.10拉普拉斯变换算符L定义为Lf(x)=[e-(x)dx(1)L是否是线性算符，(2)计算L(1)；计算Leax，假定p>a1.11定义平移算符Th为Tf(x)=(x+h)，(1)Th是否是线性算符？(2)计算(-371+2)x21.12下面哪些函数是dldx的本征函数，哪些是dldx?的本征函数？(2)ear?(1) eax(3)x (4)x2(5) ax+b(6) sinx(7)sinx+cosx(U)deax/dx=aeax是deax/dx2=aeax是eax是dldx与dldx?的本征函数(2)d(ear)/dx=2axer不是d(ea)/dx?=d(2axe)/dx=2ae+4axea不是
(9) 2 2 2 23 22 2 2 2 2 2 2 2 22 22 3 22 2 2 [ ( ), ( )] 2 x yy x x y y x x y yx x y x x y y x xy y xy x x xy xy xy xy 2 3 2 2 2 2xy x y y xy 2 2 2 2 2 2 x xy xy y (10)[sinx, d/dx] = cosx (11)[ d2 /dx2 , ax2 +bx+c]= 2a+2(2ax+b)d/dx (12) [d/dx, d2 /dx2 ]=0 1.6 证明，对于线性算符，有 Â( ˆ B+Ĉ)= Â ˆ B+ÂĈ 证明: Â( ˆ B+Ĉ)f = Â(ˆ Bf +Ĉ f)= Â ˆ Bf + ÂĈf = (Â ˆ B+ÂĈ)f 1.7 如果 Â 是线性算符，b,c 为常数，f, g 为任意函数，证明 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg；证明若 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。 1)证明: Â 是线性算符 Â(bf+cg)= Â(bf) + Â(cg) = bÂf + cÂg 2)证明: Â(bf+cg)= bÂf + cÂg b,c 为常数 设 c=0 则有 Â(bf)= bÂf 设 c=1, b=1 则有 Â(f+g)= Âf + Âg 因此 Â 是线性算符 1.8 证明：(1) [Â, ˆ B]= [ˆ B, Â] (2)[Âm,Ân]=0 (3)[Â2 , ˆ B]= Â[Â, ˆ B]+[Â, ˆ B]Â (4) [Â, [ ˆ B, Ĉ]]+ [ˆ B, [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, ˆ B]]=0 证明：(1) [Â, ˆ B]= Â ˆ B ˆ BÂ= (ˆ BÂÂ ˆ B) = [ˆ B, Â] (2)[Âm,Ân ]= ÂmÂn Ân Âm= Âm+nÂm+n=0 (3) [Â2 , ˆ B]= Â2 ˆ B ˆ BÂ2 Â[Â, ˆ B]+[Â, ˆ B]Â= Â(Â ˆ B ˆ BÂ)+ (Â ˆ B ˆ BÂ)Â = Â2 ˆ B Â ˆ BÂ+ Â ˆ BÂ ˆ BÂ2 = Â2 ˆ B ˆ BÂ2 [Â2 , ˆ B]= Â[Â, ˆ B]+[Â, ˆ B]Â (4) [Â, [ ˆ B, Ĉ]]+ [ˆ B, [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, ˆ B]] =[Â, (ˆ BĈĈ ˆ B)]+[ˆ B, (ĈÂÂĈ)]+ [Ĉ, (Â ˆ B ˆ BÂ)] = Â ˆ BĈÂĈ ˆ B ˆ BĈÂ+Ĉˆ BÂ+ ˆ BĈÂ ˆ BÂĈ ĈÂ ˆ B+ ÂĈ ˆ B+ ĈÂ ˆ B Ĉˆ BÂ Â ˆ BĈ+ ˆ BÂĈ=0 1.9 2 ˆ ˆ 2 () H p m Vx x ，分别计算(1)当 V(x)=V(常数)，(2)当 V(x)=kx2 /2，(3)当 V(x) V(r)=e2 /40r 时的对易子 ˆ [, ] ˆ H px 与 ˆ [ ,] H x 1.10 拉普拉斯变换算符ˆ L定义为 0 ˆ () () px Lf x e f x dx (1) ˆ L是否是线性算符，(2)计算ˆ L(1)；计算ˆ Leax，假定 p>a 1.11 定义平移算符ˆ Th 为ˆ Thf(x)= f(x+h)， (1)ˆ Th 是否是线性算符？(2)计算(ˆ T2 13ˆ T1 +2)x2 1.12 下面哪些函数是 d/dx 的本征函数，哪些是 d2 /dx2 的本征函数？ (1) eax (2) 2 ax e (3)x (4)x2 (5) ax+b (6) sinx (7)sinx+cosx (1) deax/dx=aeax 是 d2 eax/dx2 = a2 eax是 eax是 d/dx 与 d2 /dx2 的本征函数 (2) 2 2 () 2 ax ax d e dx axe 不是 2 2 22 2 2 22 ( ) (2 ) 2 4 ax ax ax ax d e dx d axe dx ae a x e 不是
(3)d(x)/dx=1 不是dP(x)/dx2=0 是(4)d(x2)dx=2x不是d(x-)dx2=2不是(5)d(ax+b)/dx=a不是d(ax+b)/dx?=0是d'sin(x)ydx2=-sin(x)是(6)dsin(x)/dx=cos(x）不是d(sinx+cosx)/dx=cosx-sinx不是d(sinx+cosx)/dx2=-sinx-cosx=(sinx+cosx）是(4)(6)(1)(2)(3)(5)(7)+xxxxXdldxdldx?1XxV1V￥1.13如果A，B为厄米算符，证明：(1)A±B不是厄米(2)cA和A+B是厄米的算符(c为实常数)证明(+B)=(4)+(B)(1)(/A+iBl)=(A)-i(Bl)-(/A)-i(Bl)+(A+iBly(2) (le4) =c (4) =c()=(e)([+B)=(4)+(B)(+B)=) +()()+()+1.14如果A，B是厄米算符，（1)证明只有当A与B对易时乘积AB是厄米的：(2)证明(AB+BA是厄米的；(3）x是厄米的吗？（4)(xpx+p)是厄米的吗？证明：(B) -([B) -(B[4)-(B[)(|BA|)-((B[A)-(A[B) -(B[A)(1) ([AB|) -([BA|)ifAB-BA(ABl)-(w|ABl)ABis HermitianAB+BA(AB)+(|aB)ABis not Hermitian(+))B（2)(+()+(B)(B)+()-B+B)(3) [x,p,]=xp,-px=xp,-(xp,-ih)=ih:不是(4) 是
(3) d(x)/dx=1 不是 d2 (x)/dx2 =0 是 (4) d(x2 )/dx=2x 不是 d2 (x2 )/dx2 =2 不是 (5) d(ax+b)/dx=a 不是 d2 (ax+b)/dx2 =0 是 (6) dsin(x)/dx=cos(x) 不是 d2 sin(x)/dx2 =sin(x) 是 d(sinx+ cosx)/dx=cosxsinx 不是 d2 (sinx+ cosx)/dx2 = sinx cosx= (sinx+cosx) 是 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) d/dx √ X X X X X X d2 /dx2 √ X √ X √ √ √ 1.13 如果 Â, ˆ B为厄米算符，证明： (1) iˆ B不是厄米 (2) c 和 Â+ ˆ B是厄米的算符(c 为实常数) 证明 (1) * * * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A iB A i B A iB A i B A i B A iB (2) * * ˆ * ˆ ˆ ˆ cA c A c A cA * * * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB A B AB A B A B AB 1.14 如果 Â, ˆ B是厄米算符，(1)证明只有当  与Bˆ 对易时乘积 ÂBˆ 是厄米的；(2)证明1 2(ÂB+ˆ BÂ) ˆ 是厄米的；(3) xˆpˆ x是厄米的吗？(4)1 2(xˆpˆ x+pˆ xxˆ)是厄米的吗？ 证明: (1) * * * * * * ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hermitian ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Hermitian AB A B B A B A BA B A A B B A AB BA if AB BA AB AB AB is if AB BA AB AB AB is not (2) * * * 1 1 1 1 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 2 2 2 2 22 1 1 1 11 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () () 2 2 2 22 2 AB BA AB BA AB BA A B B A AB BA A B B A B A A B AB BA (3) [, ] ( ) ˆ ˆˆ ˆ ˆ x xx x x x p xp p x xp xp i i 不是 (4) 是
1.15给出一个算符，使其满足A[(x)+g(x)=A/(x)+Ag(x)而不满足A[c(x))=cA/(x)；给出一个算符，使其满足A[c(x)]=cA/(x)：而不满足A[(x)+g(x)]=A/(x)+Ag(x)解：1）共轭算符（）x+；2)elnoV（）1.16证明两个线性算符的积仍然是线性算符1.17下列哪些算符是厄米的？dldx；i(dldx)；4dldx；i(dldx)d-y'dxdx[w"wd=wdy=iwwL-ijdy- JIdbdxd*1.18下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)（)"，(2)dldx，(3)dldx2，（4)idldx(1)不满足，因为不是线性算符；（2）不满足，不是厄米算符(3)满足(4)满足1.19在长度为1的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻to，它的状态函数是(to)=Nx(l-x）（0<x≤I)。如果在to时刻我们测量粒子的能量，此时测量的可能结果是什么，每个结果的概率是多少？(甲|)= f"N2x(1-x) dx = N T(x* -21x* +Px)dx21x41x32.15x:A43053N2=30/F?d?2Nh?h?d?h?dHP(t):[Nx(I-x)/=(x-x2)N(1-2x)2m dx?2mdx?2mdxm不是本征函数，没有确定值。一维势箱波函数构成正交归一的完备集，因此Y(to)可展开为：2k元xY(t)=Zawr=ZaNissin12k元xk元xk元x[Nx(I-)ax=(y)nn11110-P’cosk元k元xk元xk元xk元xdxxdcoscOSr/sunXCOs111k元k元k元1k元xk元xsirOS11k元13212k元xk元k元xcosk元xdsink°元11k元1k元K元01321213213k元xk元xdxcosk元-(cosk元-1)cosknxsisink元3k2元1k元k元0
1.15 给出一个算符，使其满足 Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x)而不满足 Â[cf(x)]=cÂf(x)；给出一个算符， 使其满足 Â[cf(x)]=cÂf(x)；而不满足 Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x) 解: 1) 共轭算符( )* x+ ；2) eln() 2 ( ) 1.16 证明两个线性算符的积仍然是线性算符 1.17 下列哪些算符是厄米的？ d/dx；i(d/dx)；4d2 /dx2 ；i(d2 /dx2 ) * ** * * d d dx d d dx dx dx * * ** * id id dx i d i i d dx dx dx 1.18 下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)( )½，(2)d/dx，(3)d2 /dx2 ，(4)id/dx (1)不满足, 因为不是线性算符; (2) 不满足, 不是厄米算符 (3) 满足 (4) 满足 1.19 在长度为 l 的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻 t0，它的状态函数是(t0)=Nx(lx) (0 x l)。如果在 t0 时刻我们测量粒子的能量，此时测量的可能结果是什么，每个结果的概率是多少？ 22 2 2 4 3 22 0 0 5 4 23 5 2 2 0 () 2 2 1 5 4 3 30 l l l N x l x dx N x lx l x dx x lx l x l N N N2 =30/l 5 22 22 2 2 2 0 2 2 2 ˆ ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 22 d d dN H t Nx l x N lx x N l x m dx m dx m dx m 不是本征函数，没有确定值。一维势箱波函数构成正交归一的完备集，因此(t0)可展开为： 0 2 ( ) sin kk k k k k x ta a l l 2 0 00 2 2 ( ) sin sin sin l ll k k kx kx kx a Nx l x dx N xl dx x dx ll l l l 22 3 00 0 0 cos sin cos cos cos l ll l kx l kx l kx kx l k xl dx xd x dx l k lk l l k 2 2 0 0 3 2 2 2 2 0 0 0 3 2 2 2 0 sin cos 2 cos 2 cos cos sin 2 cos sin l l l l l l kx l kx x dx x d lk l l kx l kx l l kx x x dx k xd k lk l k k l l l kx k x kk l 3 3 3 3 0 2 sin cos (cos 1) l kx l l dx k k lk k