西安开放大学 《高等数学基础》 第八讲最值及其应用 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第八讲 最值及其应用
最值及其应用 第四章导数的应用 4.3函数的单调性和极值 1.建立函数关系 2.求导 3.求驻点（极值点即最值点）
最值及其应用 第四章 导数的应用 4.3 函数的单调性和极值 1.建立函数关系 2.求导 3.求驻点（极值点即最值点）
最值及其应用 1建立函数关系 2.求导 3.求驻点（极值点即最值点） 例1用边长为α的正方形铁皮做一无盖的长方体盒子.在正方形铁皮四 个角剪去四个小正方形的边长是多少时，长方体盒子的容积最大？ 将a具体化为18，猜一下小正方形的边长？（契合） 0<r<a V=(a-2x)2x =a2x-4ax2+4x3 V'=a2-8ax+12x2 a-2x =(a-6x)(a-2x) 令V'=0 得x=名x=(金) 所以在四个角剪去的小正方形边长为时，长方体盒子的容积最大
最值及其应用 1.建立函数关系 2.求导 3.求驻点（极值点即最值点） 例1 用边长为 𝑎 的正方形铁皮做一无盖的长方体盒子. 将 𝑎 具体化为18，猜一下小正方形的边长?（契合） x a −2x V a x x 2 = ( − 2 ) 2 2 3 = a x − 4ax + 4x 2 2 V = a − 8ax +12x = (a − 6x)(a − 2x) 令 V = 0 得 ( ) 2 ; 6 舍去 a x a x = = a 2 0 a x 在正方形铁皮四 个角剪去四个小正方形的边长是多少时，长方体盒子的容积最大？ 所以在四个角剪去的小正方形边长为 𝑎 6 时，长方体盒子的容积最大
最值及其应用 例2做一个容积为V的圆柱形油桶。 解设油桶的表面积为S,底面半径为r,高为h. 由于πr2h=V, 所以h=片 从而油桶的表面积 2V S=2πr2+2mrh=2πr2+ ds 2V 4πr3-2V =4πr- -三0 dr r2 r2 3 解得r= 2π h=2 =2r. 2元
最值及其应用 例2 做一个容积为 𝑉 的圆柱形油桶. ∙ ℎ 𝑟 由于 𝜋𝑟 2ℎ = 𝑉, 解 设油桶的表面积为 𝑆, 底面半径为 𝑟, 高为 ℎ . 所以 ℎ = 𝑉 𝜋𝑟 2 从而油桶的表面积为 𝑆 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ = 2𝜋𝑟 2 + 2𝑉 𝑟 . 𝑑𝑆 𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟 − 2𝑉 𝑟 2 = 4𝜋𝑟 3 − 2𝑉 𝑟 2 = 0 解得 𝑟 = 3 𝑉 2𝜋 , ℎ = 2 3 𝑉 2𝜋 = 2𝑟
最值及其应用 例3（原料中转车站的确定）设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B.铁路线上与B相距100km处有一个原料供应站C,现在要在 铁路BC之间某处修建一个原料中转车站D,再由车站D向工厂修一条 公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3：5，那么D应选 在何处，才能使从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？ 解设B,D两点的距离为xkm,则 B xD |AD|=Vx2+202,ICD1=100-x 20 如果公路运费为a元/km, 那么铁路运费为a元/km. A
最值及其应用 例3 （原料中转车站的确定）设工厂A到铁路线的垂直距离为20km， 垂足为B. 铁路线上与B相距100km处有一个原料供应站C，现在要在 铁路BC之间某处修建一个原料中转车站D，再由车站D向工厂修一条 公路 . 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么D应选 在何处， A B D C 20 解 设B,D两点的距离为 𝑥 km , 则 𝑥 𝐴𝐷 = 𝑥 2 + 202 , 𝐶𝐷 = 100 − 𝑥 如果公路运费为 𝑎 元/km， 才能使从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？ 那么铁路运费为 3 5 𝑎 元/km
最值及其应用 解设B,D两点的距离为xkm,则 |AD1=Vx2+202,|CD1=100-x 如果公路运费为a元/km,那么铁路运费 20 为a元/km A 故从原料供应站C途径中转站D到工厂A所需总运费y为 y=alCDl+alAD 5a(100-x)+aVx2+400 (0≤x≤100) 3 ax a(5x-3Vx2+400) y=-5a+ Vx2+400 5Vx2+400
最值及其应用 A B D C 20 解 设B,D两点的距离为 𝑥 km , 则 𝑥 𝐴𝐷 = 𝑥 2 + 202 , 𝐶𝐷 = 100 − 𝑥 如果公路运费为 𝑎 元/km，那么铁路运费 为 3 5 𝑎元/km. 故从原料供应站C途径中转站D到工厂A所需总运费𝑦为 𝑦 = 3 5 𝑎 𝐶𝐷 + 𝑎 𝐴𝐷 = 3 5 𝑎 100 − 𝑥 + 𝑎 𝑥 2 + 400 (0 ≤ 𝑥 ≤ 100) ∵ 𝑦 ′ = − 3 5 𝑎 + 𝑎𝑥 𝑥 2 + 400 = 𝑎(5𝑥 − 3 𝑥 2 + 400) 5 𝑥 2 + 400
最值及其应用 解 3 ax a(5x-3√x2+40 )Bx “y'=-5a+ 15 85 Vx2+400 5Vx2+400 令y'=0,即25x2=9(x2+400), 20 16x2=3600,x2=225, 解得x1=15,x2=-15(舍去) 由此可知，车站D建于B,C之间且与B相距15km处时，运费最省
最值及其应用 B D C 20 解 𝑥 ∵ 𝑦 ′ = − 3 5 𝑎 + 𝑎𝑥 𝑥 2 + 400 = 𝑎(5𝑥 − 3 𝑥 2 + 400) 5 𝑥 2 + 400 ∵ 𝑦 ′ = − 3 5 𝑎 + 𝑎𝑥 𝑥 2 + 400 = 𝑎(5𝑥 − 3 𝑥 2 + 400) 5 𝑥 2 + 400 令 𝑦 ′ = 0， 即 25𝑥 2= 9(𝑥 2 + 400)， A 解得 𝑥1 = 15, 𝑥2 = −15(舍去) 由此可知，车站D建于B,C之间且与B相距15km处时，运费最省. 16𝑥 2= 3600， 𝑥 2= 225， 15 85
最值及其应用 1.建立函数关系式. 小结 2.求导数 3求驻点 4.依题意获得所求， 练习题：192页7,8,9
最值及其应用 1.建立函数关系式. 2.求导数. 3.求驻点. 4.依题意获得所求. 小结 练习题：192页 7, 8, 9
西安开放大学 《高等数学基础》 谢谢聆听！
谢谢聆听！ 《高等数学基础》