西安丹放大学 《高等数学基础》 第十二讲广义积分（无穷积分） 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第十二讲 广义积分（无穷积分）
广义积分（无穷积分） 第6章 定积分 6.6定积分的几何应用 6.8广义积分
广义积分（无穷积分） 第 6 章 定 积 分 6.6 定积分的几何应用 6.8 广义积分
定积分的几何应用 例求椭圆兰+=1的面积 x=acost 解椭圆的参数方程 y=bsint 由对称性知总面积等于4倍第一象限面积. 1-cos2t sin2t indeo) 2 t2 =4 absin2t=πah. y=b 1- a2 令 x=acos0
定积分的几何应用 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限面积. = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab. 例 求椭圆 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏2 = 1 的面积. 𝑂 𝑎 𝑦 = 𝑏 1 − 𝑥 2 𝑎 2 令 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 sin2 𝑡 = 1 − cos 2𝑡 2 𝑏
广义积分（无穷积分） 定义6.2设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a, b 如果极限，lim f(x)dx存在， 0→+00 Ja 则称此极限值为函数f(x)在区间[a,+∞]上的无穷积分， 记为 f(x)dx 即 f(x)dx =lim f(x)dx=F(+)-F(a) b→+00
广义积分（无穷积分） 定义6.2 设函数 𝑓 𝑥 在区间 𝑎, +∞ 上连续，取 𝑏 > 𝑎, 如果极限 𝑏 lim →+∞ න 存在， 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 则称此极限值为函数𝑓 𝑥 在区间 𝑎, +∞ 上的无穷积分， 记为 න 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 即 න 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑏→+∞ න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 +∞ − 𝐹(𝑎)
广义积分（无穷积分】 定义6.2设函数f(x)在区间[a,+o]上连续，取b>a, b 如果极限 ,limf(x)dx存在， b-→+0∞ 则称此极限值为函数f(x)在区间[a,+∞]上的无穷积分， 记为 f(x)dx +00 即 f(x)dx F(+oo)-F(a) 00 此时，我们说无穷积分 f(x)dx收敛. 发散？
广义积分（无穷积分） 定义6.2 设函数 𝑓 𝑥 在区间 𝑎, +∞ 上连续，取 𝑏 > 𝑎, 如果极限 𝑏 lim →+∞ න 存在， 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 则称此极限值为函数𝑓 𝑥 在区间 𝑎, +∞ 上的无穷积分， 记为 න 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 即 න 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 此时，我们说无穷积分 න 收敛 . 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 发散？ = 𝐹 +∞ − 𝐹(𝑎)
广义积分（无穷积分） 类似地，有 ["f(x)dx=F(b)-F-) f6o)dx=F(+o）-F(-oj +00 例1计算无穷积分exdx. 解e-dx=-e-e--1
广义积分（无穷积分） 类似地，有 න −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(−∞) න −∞ +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 +∞ − 𝐹(−∞) 例1 计算无穷积分න 0 +∞ 𝑒 −𝑥𝑑𝑥 . 0 +∞ = −𝑒 解 න −𝑥 0 +∞ 𝑒 −𝑥𝑑𝑥 +∞ 0 = 𝑒 −𝑥 = 1
广义积分（无穷积分） 例2判断无穷积分 sinx dx的收敛性 -00 解 sinx dx=-cosx=cosx1-cos(+o) :c0S(+o)不存在 00 ·无穷积分 sinxdx发散
广义积分（无穷积分） 例2 判断无穷积分 න 0 +∞ sin 𝑥 𝑑𝑥 0 +∞ 解 න = −cos𝑥 0 +∞ sin 𝑥 𝑑𝑥 +∞ 0 = 1 − cos(+∞) 的收敛性 = cos 𝑥 ∵ cos(+∞) 不存在 ∴ 无穷积分න 发散. 0 +∞ sin 𝑥 𝑑𝑥
广义积分（无穷积分） 例3讨论无穷积分 的收敛性其中a>0,p>0: +01 解当p≠1时， x1-p|+∞ x1-p a1-p lim 1-pa x9+o1-p1-p x1-p 若p>1,则1-p1时无穷积分 。pd血收敛
广义积分（无穷积分） 例3 讨论无穷积分න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑎 +∞ = 𝑥 1−𝑝 1 − 𝑝 解 的收敛性(其中 𝑎 > 0, 𝑝 > 0 ). ∴ 当 𝑝 > 1 时无穷积分 收敛. 当 𝑝 ≠ 1 时，න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 若 𝑝 > 1，则 1 − 𝑝 < 0 , = lim 𝑥→+∞ 𝑥 1−𝑝 1 − 𝑝 − 𝑎 1−𝑝 1 − 𝑝 න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 = 𝑎 1−𝑝 𝑝 − 1 lim 𝑥→+∞ 𝑥 1−𝑝 1 − 𝑝 = 0 න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 = − 𝑎 1−𝑝 1 − 𝑝
广义积分（无穷积分） 当p>1时无穷积盼”d收敛 例3讨论无穷积分 +o1 dx的收敛性（其中a>0p>0). 解当p+1时，广产是 x1-p|+0 x1-p a1-p lim 1-pa-x+∞1-p1-p x1-p 若p0,lim x+co1-p =十0∞ ·当p<1时无穷积分发散 +∞1
广义积分（无穷积分） 例3 讨论无穷积分න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑎 +∞ = 𝑥 1−𝑝 1 − 𝑝 解 的收敛性(其中 𝑎 > 0, 𝑝 > 0 ). ∴ 当 𝑝 0 , = lim 𝑥→+∞ 𝑥 1−𝑝 1 − 𝑝 − 𝑎 1−𝑝 1 − 𝑝 න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 lim 𝑥→+∞ 𝑥 1−𝑝 1 − 𝑝 = +∞ 当 𝑝 > 1 时无穷积分 �� +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 收敛
广义积分（无穷积分） +°1 例3讨论无穷积分 dr的收敛性（其中a>0,p>0). 当p>1时无穷积盼”dk收敛。 解 当p<1时无穷积分。“号dk发散 +01 当p=1时，。 +∞ xdx =Inx lim Inx-Ina a X→十00 lim Inx=+oo X-→十00 ,+01 ·.当p=1时无穷积分 dr发散
广义积分（无穷积分） 例3 讨论无穷积分න 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑎 +∞ = ln𝑥 解 的收敛性(其中 𝑎 > 0, 𝑝 > 0 ). 当 𝑝 1 时无穷积分 �� +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 收敛. −ln 𝑎 ∵ lim 𝑥→+∞ ln𝑥 = +∞ ∴ 当 𝑝 = 1 时无穷积分න 发散. 𝑎 +∞ 1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥