西安开放大学 《高等数学基础》 第十一讲定积分 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第十一讲 定 积 分
定积分 第6章 定积分 6.1定积分的概念 6.2定积分的性质 6.3微积分基本定理 6.4换元积分法与分部积分法
定积分 第 6 章 定 积 分 6.1 定积分的概念 6.2 定积分的性质 6.3 微积分基本定理 6.4 换元积分法与分部积分法
定积分 1.定积分的概念 F(x)dx=F(x)=F(b)-F(a) N-L公式 (1)f(x)dx=f(u)du=f(t)dt (2)[f(t)dt]=f(x) (3)Sf(x)dx=-ff(x)dx ∫f(x)dx=0 (4)f(x)dx=ff(x)dx+f(x)dx
定积分 1. 定积分的概念 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑏 N—L公式. ��(1（ 𝑏 �� = �𝑑� �� �� 𝑏 �� = �𝑑� �� �� 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ��(3（ 𝑏 �� − = �𝑑� �� �� 𝑎 �� �𝑑� �� �� 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 �� (2（ 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ′ = 𝑓(𝑥) ��(4（ 𝑏 �� = �𝑑� �� �� 𝑐 �� + �𝑑� �� �� 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
定积分 NL公式 J"f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a) 1.定积分的概念 例1计算下列定积分 (1)）x2dx;(2)后sinx dx. 解 (1) 6x2dx=x6=0= ②)月sin xd=-osx-月osxl8=cs0-ecos5-1 0
定积分 1. 定积分的概念 N-L 公式 �� 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑏 例1 计算下列定积分 (1) 0 1 𝑥 2𝑑𝑥 ; (2) 0 𝜋 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 . 解 (1) 0 1 𝑥 2𝑑𝑥 = 1 3 𝑥 3 0 1 = 1 3 −0 = 1 3 (2) 0 𝜋 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥 0 𝜋 2 = cos𝑥 0 𝜋 2 = cos 0−cos 𝜋 2 = 1
定积分 2.定积分的性质 性质1∫f(x)±gx)]dx=fx)dx±g(x)dx 性质2kfx)dx=kfx)dx 例1计算下列定积分(1)(Vx-ex)dx;(2)1x-1dx. (1)-e*)dx=dx-exdx =号x6-e*6=-e+1--e 2)1x-1dx=01-x0)dx+(x-1)dx =-x2+x2-刘=+1 2
定积分 2. 定积分的性质 �� 性质1 𝑏 �� = �𝑑� (��)�� ± (��)�� 𝑏 �� ± �𝑑� �� �� 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 �� 性质2 𝑏 �� �� = �𝑑�(��)�𝑘� 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 例1 计算下列定积分 (1) 0 1 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ; (2) 0 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 . 解 (1) 0 1 𝑥 − 𝑒 0 = �𝑑� �� 1 0 − �𝑑𝑥� 1 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 2 3 𝑥 3 2 0 1 −𝑒 𝑥 0 1 = 2 3 −e + 1= 5 3 − e (2) 0 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥= 0 1 (1 − 𝑥)𝑑𝑥 +1 2 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = (𝑥 − 1 2 𝑥 2 ) 0 1+( 1 2 𝑥 2 − 𝑥) 1 2 = 1 2 + 1 2 = 1
定积分的计算 3.定积分的计算 3.1.定积分的换元积分法 3.2.定积分的分部分法
定积分的计算 3. 定积分的计算 3.1. 定积分的换元积分法 3.2. 定积分的分部分法
定积分的计算 3.1.定积分的换元积分法（凑微分法) ex 例1计算 解 1 -ex 1 =-e+e2=e2-e 2 2 1 另解 e“du=eu 1 x2dx du 7 =e2-e 1 -2 1 x
定积分的计算 3.1. 定积分的换元积分法 例1 计算 න1 2 1 𝑒 1 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 . 解 න1 2 1 𝑒 1 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 = − න1 2 1 𝑒 1 𝑥𝑑 1 𝑥 （凑微分法） = −𝑒 1 𝑥 1 2 1 = −𝑒+𝑒 2 = 𝑒 2 − 𝑒 න1 2 1 𝑒 1 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 − න 2 1 𝑒 𝑢𝑑𝑢 1 𝑥 = 𝑢 − 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 1 2 = 𝑒 𝑢 = 𝑒 2 − 𝑒 𝑥 𝑢 = 1 𝑥 1 2 2 1 1 另解
定积分的计算 3.1.定积分的换元积分法（凑微分法） elnx 例2计算 h x dx. 解 (- e 1
定积分的计算 例2 计算 න 1 𝑒 ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 . 解 = න 1 𝑒 ln 𝑥 𝑑 (ln 𝑥)= 1 2 𝑙𝑛2𝑥 1 𝑒 = 1 2 න 1 𝑒 ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 3.1. 定积分的换元积分法（凑微分法）
定积分的计算 3.1.定积分的换元积分法（凑微分法） a 例3设函数f(x)是[-a,a上的奇函数，试证： f(x)dx=0 证由定积分的性质 faax=faar+fwax四 因为函数f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x) xdi-(-dt= 代入(1)即有 f(x)dx=0
定积分的计算 例3 设函数 𝑓 𝑥 是 −𝑎, 𝑎 上的奇函数，试证： 证 由定积分的性质，න −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න −𝑎 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (1) 因为函数 𝑓 𝑥 是奇函数， 即 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) ， න −𝑎 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = −𝑡 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡 න 𝑎 0 −𝑓 −𝑡 𝑑𝑡 = න 0 𝑎 𝑓 −𝑡 𝑑𝑡 = − න 0 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 代入 1 即有 න −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 න −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 3.1. 定积分的换元积分法（凑微分法）
定积分的计算 3.1.定积分的换元积分法（凑微分法） 奇函数在对称区间上的积分等于零. 偶函数在对称区间上的积分等于半个区间积分的二倍. 设函数f(x)是[-a,a上的偶函数，则 fx)dx=2月F(x)dx
定积分的计算 奇函数在对称区间上的积分等于零. 偶函数在对称区间上的积分等于半个区间积分的二倍. 设函数 𝑓 𝑥 是 −𝑎, 𝑎 上的偶函数，则 න −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 න 0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 3.1. 定积分的换元积分法（凑微分法）