西安开放大学 《高等数学基础》 第五讲 求导法则 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第五讲 求导法则
求导法则 *导数基本公式 1.C'=0 5.(sinx)'=cosx 2.(x)'=ax-1 6.(cosx)=-sinx 3.(ax)'=ax Ina 1 7.(tanx)'= cos2x (ex)'=ex 1 4.(ogax)/=1 8.(cotx)'= xIna sin2x 1 nx)'=
求导法则 ∗导数基本公式 1. 𝐶′ = 0 2. 𝑥𝛼 ′ = 𝛼𝑥 𝛼 − 1 3. 𝑎 𝑥 ′ = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 ( 𝑒 𝑥 ) ′ = 𝑒 𝑥 4. (log 𝑎 𝑥 ) ′ = 1 𝑥 ln 𝑎 (ln 𝑥 ) ′ = 1𝑥 5. (sin 𝑥 ) ′ = cos 𝑥 6. (cos 𝑥 ) ′ = − sin 𝑥 7. (tan 𝑥 ) ′ = 1 cos 2 𝑥 8. (cot 𝑥 ) ′ = − 1 sin 2 𝑥
求导法则 1导数的四则运算法测 (1)代数和的导数(u±)'=u±v 例1设y=2x+lnx-Vx-cosx,求y'. 11 y'=(2x)'+(Inx)-()'-(cosx)'=2x In2+ 2V元+sinx (2)乘积的导数(uw)/'=u'v+uw特别地(k)'=ku' 例2设y=(ex-3x2)(x-sinx),求y'. y=(ex-3x2)'(x-sinx)+(ex-3x2)(x-sinx)' =(ex-6x)(x sinx)+(ex-3x2)(1-cosx)
求导法则 1 导数的四则运算法则 （1）代数和的导数 𝑢 ± 𝑣 ′ = 𝑢′ ± 𝑣′ 例1 设 𝑦 = 2 𝑥 + ln 𝑥 − 𝑥 − cos 𝑥 , 求 𝑦 ′ . 解 𝑦′ = (2 𝑥 )′ + (ln 𝑥)′ − ( 𝑥)′ − (cos 𝑥)′ = 2 𝑥 ln 2 + 1 𝑥 − 1 2 𝑥 + sin 𝑥 （2）乘积的导数 𝑢𝑣 ′ = 𝑢 ′𝑣 + 𝑢𝑣′ 特别地 𝑘𝑢 ′ = 𝑘𝑢 ′ 例2 设 𝑦 = 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 𝑥 − sin 𝑥 , 求 𝑦 ′ . 解 𝑦′ = 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 ′ 𝑥 − sin 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 𝑥 − sin 𝑥 ′ = 𝑒 𝑥 − 6𝑥 𝑥 − sin 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 1 − cos 𝑥
求导法则 1导数的四则运算法则 (3)商的导数 u'v-uv' v2 例3设y=tanx,求y'. 解y'=(tanx)'= sinx (sinx)'cosx-sinx(cosx) COSx/ cOS2x cos2x+sin2x 1 cos2x cos2x
求导法则 1 导数的四则运算法则 （3）商的导数 𝑢 𝑣 ′ = 𝑢 ′𝑣 − 𝑢𝑣′ 𝑣 2 例3 设 𝑦 = tan 𝑥 , 求 𝑦 ′ . 解 𝑦′ = tan 𝑥 ′ = sin 𝑥 cos 𝑥 ′ = sin 𝑥 ′ cos 𝑥 − sin 𝑥 cos𝑥 ′ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥
求导法则 2复合函数求导法则 设y=f(u),u=g(x),y=f(g(x),则yk=f(u)·g(x). 例4设y=sin2x,求y';y(图).1 设y=sinx2,求y. 解令y=u2,u=sinx, y'=cosx2.2x=2x cos x2 y'=(u2)'(sinx)'=2u cosx 2sinx cosx=sin 2x y)=sin?=1 1 刷5设y=V3-4x，y=2N3-4 -4x (-8x)= V3-4x2 刚6求函数y=ean的导数y=,e“,u=tanv,v= y'=(e")'(tanv)'()'=eu c0s22
求导法则 2 复合函数求导法则 设 𝑦 = 𝑓 𝑢 , 𝑢 = 𝑔 𝑥 , 例4 设 𝑦 = sin2𝑥 , 求 𝑦 ′ ; 𝑦 ′ 𝜋 4 . 解 令 𝑦 = 𝑢 2 , 𝑢 = sin 𝑥 , 则 𝑦′ = (𝑢 2 )′(sin 𝑥)′ = 2𝑢 cos 𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥= sin 2𝑥 例5 设 𝑦 = 3 − 4𝑥 2 , 设 𝑦 = sin 𝑥 2 , 求 𝑦 ′ . 例6 求函数 𝑦 = 𝑒 tan1 𝑥 的导数. 𝑦 ′ 𝜋 4 = sin 𝜋 2 =1 则 𝑦𝑥 ′ = 𝑓𝑢 ′ 𝑢 ⋅ 𝑔𝑥 ′ 𝑦 = 𝑓 𝑔(𝑥) , 𝑥 . 𝑦′ = cos 𝑥 2 ⋅ 2𝑥 = 2𝑥 cos 𝑥 2 = 1 2 3 − 4𝑥 2 (−8𝑥) = −4𝑥 3 − 4𝑥 2 𝑦 ′ 𝑦 = 𝑒 𝑢 , 𝑢 = tan 𝑣, 𝑣 = 1 𝑥 . 𝑦 ′ = 𝑒 𝑢 ′ tan 𝑣 ′ ( 1 𝑥 ) ′ = 𝑒 𝑢 ⋅ 1 cos2 𝑣 ⋅(− 1 𝑥2 ) =⋅⋅⋅⋅⋅⋅
求导法则 3隐函数求导举例 显函数y=f(x) 隐函数F(x,y)=0 如(1)x2+y2=a2 (2)yex +ey=x2 解 (1)2x+2yy'=0,y=-多 (2)y'ex+yex+eyy'=2x (ex+ey)y'=2x-yex 2x-yex y'= ex+ey
求导法则 3 隐函数求导举例 显函数 𝑦 = 𝑓(𝑥) 隐函数 F 𝑥, 𝑦 = 0 如 1 𝑥 2+𝑦 2 = 𝑎 2 2 𝑦𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 = 𝑥 2 解 1 2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0 , 𝑦 ′ = − 𝑥 𝑦 2 𝑦 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑦𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦𝑦 ′ = 2𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 𝑦 ′ = 2𝑥 − 𝑦𝑒 𝑥 ∴ 𝑦 ′ = 2𝑥 − 𝑦𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦
求导法则 小结 关键词：导数基本公式 导数的四侧运算 复合函数求导 隐函数求导 练习题：125页1~3题
求导法则 小结 关键词：导数基本公式 导数的四则运算 复合函数求导 隐函数求导 练习题：125页 1~3 题
西安开放大学 《高等数学基础》 谢谢聆听！
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