西安开放大学 《高等数学基础》 第四讲导数的概念 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第四讲 导数的概念
导数的概念 1引入导数概念的实例 瞬时速度问题： 质点作变速直线运动，运动的距离是时间的函数：S=s(t), 求质点在to时刻的瞬时速度vo· t0△t一to+△t △s=s(to+△t)-s(to) s(to)Ass(i。+△t) △S 在△t时间段内，质点的平均速度：o= △t越小， A:就越接近o,于是有vo=1im △t △t0△t
导数的概念 1 引入导数概念的实例 瞬时速度问题： 质点作变速直线运动，运动的距离是时间的函数：𝑠 = 𝑠 𝑡 , 求质点在 𝑡0 时刻的瞬时速度 𝑣0 . 𝑡0 Δ𝑡 𝑡0 + Δ𝑡 𝑠 𝑡0 Δ𝑠 𝑠 𝑡0 + Δ𝑡 Δ𝑠 𝑠 𝑡 = 𝑠 𝑡0 + Δ𝑡 − 0 越小， Δ𝑠 Δ𝑡 就越接近 𝑣0，于是有 𝑣0= lim Δ𝑡→0 Δ𝑠 Δ𝑡 Δ𝑡 . 在 时间段内，质点的平均速度：𝑣0 = Δ𝑠 Δ𝑡 Δ𝑡
导数的概念 1引入导数概念的实例 将以上过程抽象为一般概念 求函数y=f(x)在点xo的瞬间变化率： △X 一X0+△x △y=f(xo+△x)-f(xo) f(xo)- △y 一f(x0+△x) 在区间段△x内，函数的平均变化率： △X △x越小， :就越接近点x,的瞬间变化率，于是有 lim △y △x→0△x
导数的概念 1 引入导数概念的实例 将以上过程抽象为一般概念. 𝑥0 Δ𝑥 𝑥0 + Δ𝑥 𝑓 𝑥0 Δ𝑦 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 Δ𝑦= 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 −𝑓 𝑥0 越小， Δ𝑦 Δ𝑥 就越接近点 𝑥0 的瞬间变化率，于是有 lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 Δ𝑥 . 在区间段 Δ𝑥 内，函数的平均变化率：Δ𝑦 Δ𝑥 . 求函数 𝑦 = 𝑓 𝑥 在点 𝑥0 的瞬间变化率：
导数的概念 2导数的定义 定义：设函数y=f(x)在点xo的邻域内有定义，点xo+△x属于该 邻域，若极限 ,lim Ay存在，则称该极限为函数在点x,的导数. △x→0△x 记作f'(xo).即f'(xo)=lim △y △x→0△X 极限的几个等价式子： △y f(x)-f(xo) f'(xo)=lim lim fxo+△x)-f(xo）=1im △x-→0△X △X→0 △X X→x0 x-x0 其它记号：y1 近 ’dx X-X0
导数的概念 2 导数的定义 定义：设函数 𝑦 = 𝑓 𝑥 在点 𝑥0 的邻域内有定义，点 𝑥0 + Δ𝑥 属于该 邻域，若极限 lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 存在，则称该极限为函数在点 𝑥0 的导数. 0 0 0 = = ′= x x x x x x dx dy , dx df 其它记号： y , 极限的几个等价式子： 记作 𝑓 ′ 𝑥0 . 即 𝑓 ′ 𝑥0 = lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 . 𝑓 ′ 𝑥0 = lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) Δ𝑥 = lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0
导数的概念 若极限lim △y △x0△x 不存在，则称函数y=f(x)在点x处不可导. △y 极限a四 Ax=lim f(x0+△x)-f(xo) △x-→0 =f'(x) △X △y f(x0+△x)-f(xo) △x =f (xo) 分别称为函数y=f(x)在点x处的左导数和右导数. 函数在一点可导，左、右导数存在且相等
导数的概念 若极限 lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 不存在，则称函数 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 处不可导. lim Δ𝑥→0− Δ𝑦 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0− 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) Δ𝑥 = 𝑓− ′ (𝑥0 ) lim Δ𝑥→0+ Δ𝑦 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0+ 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) Δ𝑥 = 𝑓+ ′ (𝑥0 ) 极限 分别称为函数 𝑦 = 𝑓 𝑥 在点 𝑥0 处的左导数和右导数. 函数在一点可导，左、右导数存在且相等
导数的概念 例1求函数y=x2在x=3处的导数.即f'(3)=? 解f(3)=32=9,f(3+△x)=(3+△x)2=9+6△x+(△x)2, △y=f(3+△x)-f(3)=6△x+(△x)2, △y 6+△，mA6,÷P③=63E f(x)=x2,f(x+△x)=(x+△x)2=x2+2x△x+(△x)2, △y=f(x+△x)-f(x)=2x△x+(Ax)2, △y=2x+△x,6 △y △X △x-0△X =2x,·f'(x)=2x,即02)'=2x
导数的概念 例1 求函数 𝑦 = 𝑥 2 在 𝑥 = 3 处的导 数 . 解 𝑓 3 = 3 2 = 9, 𝑓 3 + ∆𝑥 = (3 + ∆𝑥) 2= 9 + 6∆𝑥 + (∆𝑥) 2 , ∆𝑦 = 𝑓 3 + ∆𝑥 −𝑓 3 = 6∆𝑥 + (∆𝑥) 2 , Δ𝑦 Δ𝑥 = 6 + ∆𝑥 , lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 6 , ∴ 𝑓 ′ 3 = 6 即 𝑓 ′ 3 = ？ 𝑓 ′ 𝑥 =? 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = (𝑥 + ∆𝑥) 2 = 𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥) 2 , ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 −𝑓 𝑥 = 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥) 2 , Δ𝑦 Δ𝑥 = 2𝑥 + ∆𝑥 , lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 = 2𝑥 , ∴ 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥, 即 (𝑥 2 ) ′ = 2𝑥
导数的概念 (x2)y=2x (xn)=nxn-1 (x)'=axa-1 (x5)'=5x4 (x)'=1 wy-(G-i-2a网j-(-号时 3 (=xy=-2x3=-是
导数的概念 (𝑥 2 ) ′ = 2𝑥 (𝑥 𝑛 ) ′ = 𝑛𝑥 𝑛−1 (𝑥 𝛼 ) ′ = 𝛼𝑥 𝛼−1 (𝑥 5 ) ′ = 5𝑥 4 (𝑥) ′ =1 𝑥 ′ = 𝑥 1 2 ′ = 1 2 𝑥 − 1 2 = 1 2 𝑥 . 3 𝑥 2 ′ = 𝑥 2 3 ′ = 2 3 𝑥 − 1 3 = 2 3 3 𝑥 1 𝑥 ′ = 𝑥 −1 ′ = −𝑥 −2 = − 1 𝑥 2 1 𝑥 2 ′ = 𝑥 −2 ′ = −2𝑥 −3 = − 2 𝑥 3
导数的概念 (x)'=axa-1 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，则称该函 数在区间(a,b)内可导.这时对于区间(a,b)内每一点x,都有一 个导数值f'(x)与之对应.那么f'(x)也是x的一个函数，称其 为函数f(x)在区间（α，b)内的导函数，简称导数， 记作f'),或y,或器，或新
导数的概念 如果函数 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在区间 (𝑎, 𝑏) 内每一点都可导，则称该函 数在区间 𝑎, 𝑏 内可导. 这时对于区间 (𝑎, 𝑏) 内每一点 𝑥 , 都有一 个导数值 𝑓 ′ (𝑥) 与之对应. 那么 𝑓 ′ (𝑥) 也是 𝑥 的一个函数，称其 为函数 𝑓(𝑥) 在区间 𝑎, 𝑏 内的导函数，简称导数. 记作 𝑓 ′ 𝑥 ，或 𝑦 ′ , 或 , 或 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 (𝑥 𝛼 ) ′ = 𝛼𝑥 𝛼−1
导数的概念 基本初等函数导数公式 1.C'=0 5.(sinx)'=cosx 2.(x)'=ax-1 6.(cosx)=-sinx 3.(ax)'=ax Ina 1 7.(tanx)}'= cos2x (ex)'=ex 1 4.l0gax)/=-1 8.(cotx)'=- xIna sin2x nx)'== (sinu)'=cosu
导数的概念 基本初等函数导数公式 1. 𝐶 ′ = 0 2. 𝑥 𝛼 ′ = 𝛼𝑥 𝛼−1 3. 𝑎 𝑥 ′ = 𝑎 𝑥 ln𝑎 (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 4. (log𝑎 𝑥) ′ = 1 𝑥 ln 𝑎 (ln𝑥)′ = 1 𝑥 5. (sin 𝑥) ′ = cos 𝑥 6. (cos𝑥) ′ = − sin 𝑥 7. (tan 𝑥) ′ = 1 cos2 𝑥 8. (cot𝑥) ′ = − 1 sin2 𝑥 (sin 𝑢) ′ = cos 𝑢
导数的概念 3导数的几何意义 12 圆的切线？ Q,/) 和圆只有一个交点的直线： △x 曲线的切线？曲线上一点的 y=f(x) 切线，就是过该点的割线与 曲线相交，交点沿曲线向定 △y 点无限趋近时，割线的极限 位置即为切线。 P(xo,yo
曲线上一点的 切线，就是过该点的割线与 曲线相交, 交点沿曲线向定 点无限趋近时，割线的极限 位置即为切线。 导数的概念 3 导数的几何意义 圆的切线？ 曲线的切线？ 和圆只有一个交点的直线. 𝑃(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝑦 = 𝑓(𝑥) lim Δ𝑥→0 Δ𝑦 Δ𝑥 𝑘 = Δ𝑦 Δ𝑥