西安开放大学 《高等数学基础》 第十讲换元积分与分部积分法 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第十讲 换元积分与分部积分法
换元积分与分部积分法 第五章不定积分 5.2换元积分法 5.3分部积分法
换元积分与分部积分法 5.2 换元积分法 5.3 分部积分法 第五章 不定积分
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分) (10 例1求∫(x+3)2dx 解∫x+3)2dx=∫cx2+6x+9)dx 3x3+3x2+9x+C
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例1 求 + �� 3 2𝑑𝑥 解 = න 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥 3 +3𝑥 2 +9𝑥 +𝐶 න 𝑥 + 3 2𝑑𝑥 1 න 𝑥 𝛼𝑑𝑥 = 1 𝛼+1 𝑥 𝛼+1 + 𝐶
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分) 例1求∫(x+3)10dx 解∫x+3)2dx=∫e2+6x+9) =3x3+3x2+9x+C 1
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例1 求 + �� 3 10𝑑𝑥 解 = න 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥 3 +3𝑥 2 +9𝑥 +𝐶 න 𝑥 + 3 2𝑑𝑥
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分) xadx=1 xa+1+C +1 例1求∫(2x+3)10dx 解∫(2x+3)1dx 2x+3=u -2 u1odu= 1 u21+C 2 22(2x+3)11+C 解∫(2x+3)10dx (换元积分法) 2∫2x+3)1a2x+3)=2（2x+3+c （凑微分法)
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例1 求 2𝑥 + 3 10𝑑𝑥 解 2𝑥 + 3 10𝑑𝑥 1 2 න 𝑢 10𝑑𝑢 2𝑥 + 3 = 𝑢 𝑑𝑥 = 1 2 𝑑𝑢 = 1 22 𝑢 11 + 𝐶 = 1 22 (2𝑥 + 3) 11+𝐶 解 2𝑥 + 3 10𝑑𝑥 = 1 2 න 2𝑥 + 3 10𝑑(2𝑥 + 3) = 1 22 (2𝑥 + 3) 11+𝐶 1 න 𝑥 𝛼𝑑𝑥= 1 𝛼+1 𝑥 𝛼+1 + 𝐶 （换元积分法） （凑微分法）
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分) 例2求∫sin2xdx 解∫sin2xdx= sin 2x d2x =cos2x+ 解2∫sin2xdx= 2 sinx cosx dx= 2sinxd(sinx)=sin2x+C 解3∫sin2xdx= 2sinx cosxdx=-2cosxd(cosx) -cos2x+C
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例2 求 sin 2𝑥 𝑑𝑥 解 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 න sin 2𝑥 𝑑2𝑥 = − 1 2 cos 2𝑥 + 𝐶 解2 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = න 2 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = න 2 sin 𝑥 𝑑 (sin 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶 解3 sin 2𝑥 𝑑𝑥 = න 2 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥= − න 2 cos 𝑥 𝑑(cos 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例3求∫2dr jr-∫2x-5)a2x-5)=2x-52+c 解 =V2x-5+C 例4求∫dx 解
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例3 求 1 2𝑥−5 𝑑𝑥 解 1 2𝑥−5 𝑑𝑥 = 1 2 න(2𝑥 − 5) − 1 2𝑑(2𝑥 − 5)= 2𝑥 − 5 1 2 + 𝐶 = 2𝑥 − 5 + 𝐶 例4 求 ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 解 ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = න ln 𝑥 𝑑 (ln 𝑥) = 𝑙𝑛2𝑥 2 + 𝐶
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分) 例5求∫sin dx √x 解 ,∫sin dx=2 sinvx d(vx)=-2 cosx+C 解 (sin dx √x=u sin udu =-2 cosu +C x=u2 dx=2udu =-2 cosx+C
换元积分与分部积分法 1.第一换元积分法（凑微分） 例5 求 sin 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 解 sin 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 2 න sin 𝑥 𝑑( 𝑥) = −2 cos 𝑥 + 𝐶 𝑥 = 𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢 解 sin 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑢 2 2 න sin 𝑢 𝑑𝑢 = −2 cos 𝑢 + 𝐶 = −2 cos 𝑥 + 𝐶
换元积分与分部积分法 ∫uw'dx=∫udv=uw-∫vdu 2.分部积分法 (uv)'=u'v +uv' uv'=(uv)'-u'v d 关键：正确选择u和v.一般选取被积函数中的幂函数为u. 四oΨ®兴
1 න 𝑥𝑒 𝑥𝑑𝑥 2 න 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 3 න 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 换元积分与分部积分法 2.分部积分法 𝑢𝑣 ′ = 𝑢 ′𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢𝑣′ = 𝑢𝑣 ′ −𝑢 ′ 𝑣 න 𝑢𝑣 ′𝑑𝑥 = න 𝑢𝑣 ′𝑑𝑥 − න 𝑢 ′𝑣𝑑𝑥 න 𝑢𝑣 ′𝑑𝑥 =න 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢 �𝑢� �𝑑𝑣� − �𝑢� = �𝑑𝑢� = �𝑑�′ 关键：正确选择 𝑢 和 𝑣′ . 一般选取被积函数中的幂函数为 𝑢
换元积分与分部积分法 ∫uw'dx=∫udv=uw-∫vdu 2.分部积分法 解 =∫=0-e+c cosx sinx C
2 න 𝑥sin𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 = 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑥 − න 𝑒 𝑥 = න 𝑥𝑑𝑒 𝑑𝑥 𝑥 𝑣 换元积分与分部积分法 2.分部积分法 �𝑢� �𝑑𝑣� − �𝑢� = �𝑑𝑢� = �𝑑�′ 例6 求 1 න 𝑥𝑒 𝑥𝑑𝑥 2 න 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 3 න 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 解 1 න 𝑥𝑒 𝑥𝑑𝑥 𝑣 𝑣 = න 𝑥𝑑(−cos𝑥 ) 𝑣 = −𝑥cos𝑥+ න cos𝑥𝑑𝑥 = −𝑥cos𝑥 + sin𝑥 + 𝐶