免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 从科学守恒到数学不变量一种数学文化的视角 大千世界在不断地变化着.世间万物经历着历史的变化,承受着地域的变化,既有质的 变化,更有量的变化,变化是绝对的.但是,看到变化,更要把握变化,人们需要找出事物 变化中保持不变的规律.无论是社会科学还是自然科学,都会寻求某种不变性,在科学上称 之为守恒,在数学上就是不变量 中国在不断发展进步,一切事物都在与时俱进.但是,在巨大的社会变革中,有些是不 变的.例如,中华民族的文化传统,民族精神,热爱祖国,崇尚和平,寻求大同,宣扬美德 等等,都是不变的.在改革开放的今天,在与时俱进的变化中,从实质上保持这些传统的精 华,是一种文化的守恒 文学中也有守恒:对仗.试看王维的名句:“明月松间照,清泉石上流”,具有自然 意境之美,也有文字对仗工整之美.诗句中的对仗,正是把“明月”变换到“清泉”,其中 不变的是语词的性质.形容词“明”对形容词“清”,名词“月”对“泉”.同时不变的还 有:二者都是自然景物.这种保持着意境、语词的某种不变性,正是“守恒”.文学通过这 样的“守恒”,体现着人类的睿智和均衡之美 在物理上,有能量守恒定律.在保守力场里,一个运动着的物体,它的动能和位能的总 和是一个不变的常量.动能多了,位能就少了,反之也是这样.守恒定律是力学真理,有了 它,人们对运动着的客观事物有了更深的认识 总之,守恒是客观规律,发现守恒是科学的胜利,认识守恒是美的享受 那么,数学又是怎样和守恒连在一起的呢? 从小学起,我们就在和守恒打交道.数字相加和相乘的交换律就是一种守恒定律.两个 数交换了,次序变化了,但是它们的“和”与“积”不变:+b=b+a、a·b=b·a.再如 分数,1=2=3=…,这些 这些分数的形式各不相同,面貌变了,但是它们表示的大小数值没有 变,都是0.5,这当然也是守恒.利用分数表示的守恒规则,可以通分,进行分数的加减乘 除 在几何上,大家熟知图形的“全等”,它是指把一个图形通过“运动”(指移动、旋转、 折叠)之后,可以和另一个图形“重合”.两个全等的图形经过运动之后,它们的长度、角 度、面积等等都不变.这就是说,全等图形的长度、角度、面积是守恒的.至于相似,也是 一种守恒.不过它只有角度不变,完全守恒,而长度和面积变了,不能有“相等性”的守恒 了.但是,还可以用“长度之比”是一个常数(相似比)来说明它的守恒特征 对称是美丽的.所谓对称,指相对又相称,这在人类早期文明中就有体现,《易经》中 的太极图,何等对称! 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 对称,又是生活中常用的概念.服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹.数学 上,轴对称是沿对称轴翻折以后图形的形状不变,旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的 形状不变 这种“变化”之下的不变性质对称,本来只是几何学研究的对象,后来数学家又把它拓 广到代数.比如二次式x2+P2,现在把X变换为F,H变换为,原来的式子就成了F2+F 结果仍旧等于x2+F,没有变化.由于这个代数式经过变换之后,形式上完全和先前 样,所以把它称为对称的二次式.韦达定理中的两根和、两根之积可都是对称的代数式.高 次方程也有韦达定理,仍然是高度对称的 最后,要说到方程.解方程的过程,就是将等式不断变形,使得方程的根保持不变.例 如,一元一次方程,就是通过合并同类项,移项,两边同乘一个数,同除一个不为零的数等 方法,把方程变形为ax=b的形状.在这个过程中,x的值没有改变,这种变形是守恒的: 保持等式不变,从而x的值不变,最后得到a 大家熟知的求解一元二次方程,也是通过配方、因式分解的方法将方程变形,保持等式 不变,x的值不变,最后得到了求根公式.还须注意到,分式方程的变形,如果处理不当, 就会失根,那就是不守恒了 当代物理学和守恒连在一起,对称是在某种群作用下的不变性.诺贝尔物理学奖获得者 杨振宁回忆他的大学生活时说,对他后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理.杨 振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现,是一种特殊的“不对称”.守 恒是合理的,不守恒反而成了新发现.另外一个被称为“杨振宁-米尔斯规范场”的著名成 果,更是研究“规范对称”的直接结果.杨振宁在《对称和物理学》一文的最后这样写道: 在理解物理世界的过程中,21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是,十分可能.” 对称图形是美的,对称观念是美的,对称理论更是美的.大自然的结构是用对称语言写 成的.研究各种对称中的不变量,是数学物理研究的中心课题 从某种意义上说,现代数学就是研究各种不变量的科学.20世纪最重大的数学成就之 阿蒂亚-辛格( Atiyah- Singer)指标定理,就是描述某些算子的指标不变量.影响遍及 整个数学的陈省身示性类( Chern class),正是刻画许多流形特征的不变量.一些代数不 变量、几何不变量、拓扑不变量的发现,往往是一门学科的开端 数学思想的建立离不开人类文化的进步.在本原的思想上,例如守恒,许多学科之间都 彼此相通.发现守恒,永远是美丽的.数学的不变量,正是数学文化和社会一般文化彼此互 动的结果 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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