非线性动量交易策略:理论和基于中国商品 期货市场的应用 李辰旭乔坤元高彬馨 摘要动量效应是近年来量化金融的热门研究内容,但这方面的理论和应用研究在新兴的中国 金融市场相对匮乏。本文针对中国期货市场系统地建立动量效应模型,分析了多个隐藏因子 的影响,从而提出新的交易策略。借助2012年中国期货市场全部商品期货合约的数据,我 们考察了动量效应存在的范围,并通过进一步搜索参数空间发现相比于传统方法,非线性策 略能够显著提高平均收益,而新提出的模型能在此基础上进一步增加收益和夏普比率,这- 改善在长、短持有时间的情况下均得到了验证。此外,我们还发现大部分行业确实遵循整体 市场的动量效应,但个别行业出现了动量反转的现象。 关键词动量效应;非线性:隐藏因子;商品期货 引言 传统的投资方法,如基本面分析,主要是人们根据投资经验总结出的实验性 结果,代表的意义模糊不清,人们看法的不同会直接影响投资的期望收益。投资 者的经验在当中扮演重要的角色,但即便是最有经验的投资者,由于缺乏具体量 化的标准,也无法保证投资的可靠性。相比之下,量化投资方法通过分析市场中 股票和各类金融衍生品的价格,根据金融理论客观科学的对金融市场进行建模: 只要数学模型依然适用,量化投资方法所带来的风险就是可以预先估计和计量 的。因此,量化投资方法克服了大部分传统依赖经验的投资过程中不可避免的人 为因素,可以快速高效而又系统深刻的对多个行业、多个公司进行分析。随着量 化投资的理论和技术日趋成熟,使用数值方法分析价格信息、拟定投资策略的方 李辰旭,北京大学光华管理学院助理教授;乔坤元,上海新金融研究院青年研究员,北京大学光华管理学 院;高彬馨,哥伦比亚大学。通讯作者及地址:李辰旭,北京市海淀区北京大学光华管理学院,邮编100871 E-mal:cxli@gsm.pku.edu.cn。本文获得北京大学光华管理学院,北京大学统计科学中心,北京大学数量经 济与数理金融教育部重点实验室,国家自然科学基金资助项目“渐近展开方法在金融计量与金融工程中的 应用”(11201009)的资助,在此一并表示感谢。我们感谢匿名审稿专家和编辑老师对本文提出的宝贵意见 当然,文责自负
1 非线性动量交易策略：理论和基于中国商品 期货市场的应用 李辰旭 乔坤元 高彬馨 * 摘要动量效应是近年来量化金融的热门研究内容，但这方面的理论和应用研究在新兴的中国 金融市场相对匮乏。本文针对中国期货市场系统地建立动量效应模型，分析了多个隐藏因子 的影响，从而提出新的交易策略。借助 2012 年中国期货市场全部商品期货合约的数据，我 们考察了动量效应存在的范围，并通过进一步搜索参数空间发现相比于传统方法，非线性策 略能够显著提高平均收益，而新提出的模型能在此基础上进一步增加收益和夏普比率，这一 改善在长、短持有时间的情况下均得到了验证。此外，我们还发现大部分行业确实遵循整体 市场的动量效应，但个别行业出现了动量反转的现象。 关键词动量效应；非线性；隐藏因子；商品期货 一、引 言 传统的投资方法，如基本面分析，主要是人们根据投资经验总结出的实验性 结果，代表的意义模糊不清，人们看法的不同会直接影响投资的期望收益。投资 者的经验在当中扮演重要的角色，但即便是最有经验的投资者，由于缺乏具体量 化的标准，也无法保证投资的可靠性。相比之下，量化投资方法通过分析市场中 股票和各类金融衍生品的价格，根据金融理论客观科学的对金融市场进行建模： 只要数学模型依然适用，量化投资方法所带来的风险就是可以预先估计和计量 的。因此，量化投资方法克服了大部分传统依赖经验的投资过程中不可避免的人 为因素，可以快速高效而又系统深刻的对多个行业、多个公司进行分析。随着量 化投资的理论和技术日趋成熟，使用数值方法分析价格信息、拟定投资策略的方 * 李辰旭，北京大学光华管理学院助理教授; 乔坤元，上海新金融研究院青年研究员，北京大学光华管理学 院; 高彬馨，哥伦比亚大学。通讯作者及地址：李辰旭，北京市海淀区北京大学光华管理学院，邮编 100871； E-mail: cxli@gsm.pku.edu.cn。本文获得北京大学光华管理学院，北京大学统计科学中心，北京大学数量经 济与数理金融教育部重点实验室，国家自然科学基金资助项目“渐近展开方法在金融计量与金融工程中的 应用”(11201009)的资助，在此一并表示感谢。我们感谢匿名审稿专家和编辑老师对本文提出的宝贵意见， 当然，文责自负
法越来越受到学术界和实物界的重视。 本文将量化交易策略的研究拓展至动量效应,将全新的非线性动量交易策略 应用于中国期货市场,借助2012年全部商品期货的数据全面、准确的考察了动 量效应存在的范围,并使用2013年商品期货的数据进行样本外检验,得到了稳 健和普适的结论。 我们的研究与两支文献紧密相关。第一支主要讨论了动量效应及其应用。 Jegadeesh和 Titman(1993)提出的动量( Momentum)策略一直是量化投资方法 中的热点领域,利用金融产品的价格在一定时间内的惯性,首先估计出变化趋势, 之后按照既定的算法进行相应的投资,如果价格呈现上升趋势则买入,否则卖出 与此同时,采用线性动量策略可以使得收益具有正的偏度,也即有更大可能性获 得收益而不是亏损,这也同时具有一定的理论意义。根据以往的文献,可以看出 动量效应的存在范围取决于不同的市场环境和时段的选择(Chan等,1996; Rouwenhorst,1998:Hon和 Tonks,2003; Cooper等,2004)。Chan等(1996) 的研究表明,美国股市动量效应的存在区间为6个月, Cooper等(2004)得到 了类似的结论,并且指出对于2至3年的长期投资而言,动量效应反转,而对于 更长期的投资期限不存在动量效应。与此同时,他还说明动量效应的显著性取决 于时段的选择和历史趋势的统计区间。美国以外的股票市场也存在动量效应, Rouwenhorst(1998)指出欧洲股市存在长达20年的动量效应,而Hon与 Tonks (2003)则说明于英国股市的动量效应仅对于6个月的历史价格有效,并且只在 1977-1996的数据中表现显著。 与相对发达的美国和欧洲金融市场不同,新兴的中国金融市场还不够成熟, 存在较多的套利空间,一些国际市场上通用的结论在中国市场并不适用。在此情
2 法越来越受到学术界和实物界的重视。 本文将量化交易策略的研究拓展至动量效应，将全新的非线性动量交易策略 应用于中国期货市场，借助 2012 年全部商品期货的数据全面、准确的考察了动 量效应存在的范围，并使用 2013 年商品期货的数据进行样本外检验，得到了稳 健和普适的结论。 我们的研究与两支文献紧密相关。第一支主要讨论了动量效应及其应用。 Jegadeesh 和 Titman（1993）提出的动量（Momentum）策略一直是量化投资方法 中的热点领域，利用金融产品的价格在一定时间内的惯性，首先估计出变化趋势， 之后按照既定的算法进行相应的投资，如果价格呈现上升趋势则买入，否则卖出。 与此同时，采用线性动量策略可以使得收益具有正的偏度，也即有更大可能性获 得收益而不是亏损，这也同时具有一定的理论意义。根据以往的文献，可以看出 动量效应的存在范围取决于不同的市场环境和时段的选择（Chan 等，1996； Rouwenhorst，1998；Hon 和 Tonks，2003；Cooper 等，2004）。Chan 等（1996） 的研究表明，美国股市动量效应的存在区间为 6 个月，Cooper 等（2004）得到 了类似的结论，并且指出对于 2 至 3 年的长期投资而言，动量效应反转，而对于 更长期的投资期限不存在动量效应。与此同时，他还说明动量效应的显著性取决 于时段的选择和历史趋势的统计区间。美国以外的股票市场也存在动量效应， Rouwenhorst（1998）指出欧洲股市存在长达 20 年的动量效应，而 Hon 与 Tonks （2003）则说明于英国股市的动量效应仅对于 6 个月的历史价格有效，并且只在 1977-1996 的数据中表现显著。 与相对发达的美国和欧洲金融市场不同，新兴的中国金融市场还不够成熟， 存在较多的套利空间，一些国际市场上通用的结论在中国市场并不适用。在此情
况下,以动量策略为代表的量化投资方法可以客观、准确和高效的搜索套利机会, 具有巨大的潜能,也受到了研究者和交易者的广泛关注。文献对于使用动量策略 是否会带来超额收益持两种不同的观点,一派观点认为动量效应并不存在。王永 宏和赵学军(2001)使用 Jegadeesh与 Titman(1993)的研究方法,构建的“贏 家组合”与“输家组合”检验上市时间早于1993年的股票的动量效应,发现两 个组合都不能在持有期中稳定的保持之前的运行趋势,出现了不同程度的趋势反 转现象,说明动量策略在中国股市并不能获得超额收益,投资者过度反应的非理 性行为使得股票价格趋势难以持久,而罗洪浪和王浣尘(2004)使用195至2002 年中国股市的数据也得到了同样的结论。朱战宇等(2003)检验了1995年至2001 年的股市的动量效应,认为期限长度超过一个月的动量策略都不能获得显著的超 额收益。与此相对,近年来,随着量化理论的深入发展,另一种观点则认为使用 动量策略可以在中国市场上获利。周琳杰(2002)认为动量策略在中国股市中有 效,并硏究了中国股市中动量策略的观察期、持有期时间长度与动量策略收益之 间的关系,发现观察期和持有期的长度越短,相应的动量策略的收益就越高。刘 煜辉等(2003)研究了49种动量策略在1995-2002年沪深股市中的应用效果, 并发现其中41种都能显著的増加收益。肖峻等(2006)证明了在股市的低成交 量股票中存在显著的中期动量效应,而 Naughton等(2008)对上证A股的研究 也指出动量效应确实在一定程度上存在,然而实验结果表明其持续时间与国际市 场差别很大。 与上述方法不同,我们没有采用传统的先观察价格运动趋势、再建立投资组 合考察持有期收益的方法,而是对动量交易策略进行严谨的建模,使用量化分析 的方法剔除更多人为构造的因素,从而更加高效和系统的对多个行业、多个公司
3 况下，以动量策略为代表的量化投资方法可以客观、准确和高效的搜索套利机会， 具有巨大的潜能，也受到了研究者和交易者的广泛关注。文献对于使用动量策略 是否会带来超额收益持两种不同的观点，一派观点认为动量效应并不存在。王永 宏和赵学军（2001）使用 Jegadeesh 与 Titman（1993）的研究方法，构建的“赢 家组合”与“输家组合”检验上市时间早于 1993 年的股票的动量效应，发现两 个组合都不能在持有期中稳定的保持之前的运行趋势，出现了不同程度的趋势反 转现象，说明动量策略在中国股市并不能获得超额收益，投资者过度反应的非理 性行为使得股票价格趋势难以持久，而罗洪浪和王浣尘（2004）使用 1995 至 2002 年中国股市的数据也得到了同样的结论。朱战宇等（2003）检验了 1995 年至 2001 年的股市的动量效应，认为期限长度超过一个月的动量策略都不能获得显著的超 额收益。与此相对，近年来，随着量化理论的深入发展，另一种观点则认为使用 动量策略可以在中国市场上获利。周琳杰（2002）认为动量策略在中国股市中有 效，并研究了中国股市中动量策略的观察期、持有期时间长度与动量策略收益之 间的关系，发现观察期和持有期的长度越短，相应的动量策略的收益就越高。刘 煜辉等（2003）研究了 49 种动量策略在 1995-2002 年沪深股市中的应用效果， 并发现其中 41 种都能显著的增加收益。肖峻等（2006）证明了在股市的低成交 量股票中存在显著的中期动量效应，而 Naughton 等（2008）对上证 A 股的研究 也指出动量效应确实在一定程度上存在，然而实验结果表明其持续时间与国际市 场差别很大。 与上述方法不同，我们没有采用传统的先观察价格运动趋势、再建立投资组 合考察持有期收益的方法，而是对动量交易策略进行严谨的建模，使用量化分析 的方法剔除更多人为构造的因素，从而更加高效和系统的对多个行业、多个公司
进行系统的分析。与此同时,我们将理论模型应用于实际的商品期货市场数据中, 通过模拟交易深入发掘动量效应在各个行业、各个观察期和持有期的存在性,不 但具有理论上的创新,对于实际应用也具有指导意义。 与这一支文献不同,另一支文献丰富了动量交易策略本身,将线性动量交易 策略推广到非线性交易动量策略,新提出的模型也同样使得收益产生正的偏度, 并且优于传统的线性动量模型。 Martin和Bana(2012)指出平滑的非线性模型 相对于两点阶段跳跃模型具有更优的夏普比率和峰度,并且指出过度抑制的模型 有可能会导致相反效果。这一研究结果具有一定理论意义的同时,缺乏足够的经 验数据的支持,本文进一步拓展了理论模型、放松了假设,使得模型的应用更加 广泛,并且借助中国期货市场的数据对非线性动量策略进行检验。中国的期货市 场与股票市场不同。一方面,期货市场相对欧美市场还不够成熟,另一方面,由 于期货价格的灵敏特性,期货市场的动量效应就更加短暂而且复杂。在美国期货 市场中, Miffre和 Rallis(2007)指出动量效应在相对较短时间(1到3个月) 内确实存在,因此对期货市场进行研究可以更好的检验动量交易策略。另一方面, 针对中国期货市场动量效应的研究目前还是一片空白,并且期货市场比股票市场 的反应更加灵敏,因此本文的研究也补充了以往的文献,为中国金融市场的行为 提供了进一步的证据。研究表明,中国商品期货市场的动量效应确实存在。而且 采用非线性方法相比较于传统的线性动量交易策略可以显著地增加收益。 本文在前人工作的基础上,完善并且改进了期货市场的动量效应模型,考虑 了其他影响因子对模型的作用,将汇率、利率等已知变量添加进模型中。本文通 过实际数据的仿真模拟,找到了期货市场中动量效应的存在区间,发现动量效应 在观测间隔为80分钟到3小时,持有时间为1天以上,指数移动平滑取20到
4 进行系统的分析。与此同时，我们将理论模型应用于实际的商品期货市场数据中， 通过模拟交易深入发掘动量效应在各个行业、各个观察期和持有期的存在性，不 但具有理论上的创新，对于实际应用也具有指导意义。 与这一支文献不同，另一支文献丰富了动量交易策略本身，将线性动量交易 策略推广到非线性交易动量策略，新提出的模型也同样使得收益产生正的偏度， 并且优于传统的线性动量模型。Martin 和 Bana（2012）指出平滑的非线性模型 相对于两点阶段跳跃模型具有更优的夏普比率和峰度，并且指出过度抑制的模型 有可能会导致相反效果。这一研究结果具有一定理论意义的同时，缺乏足够的经 验数据的支持，本文进一步拓展了理论模型、放松了假设，使得模型的应用更加 广泛，并且借助中国期货市场的数据对非线性动量策略进行检验。中国的期货市 场与股票市场不同。一方面，期货市场相对欧美市场还不够成熟，另一方面，由 于期货价格的灵敏特性，期货市场的动量效应就更加短暂而且复杂。在美国期货 市场中，Miffre 和 Rallis（2007）指出动量效应在相对较短时间（1 到 3 个月） 内确实存在，因此对期货市场进行研究可以更好的检验动量交易策略。另一方面， 针对中国期货市场动量效应的研究目前还是一片空白，并且期货市场比股票市场 的反应更加灵敏，因此本文的研究也补充了以往的文献，为中国金融市场的行为 提供了进一步的证据。研究表明，中国商品期货市场的动量效应确实存在。而且 采用非线性方法相比较于传统的线性动量交易策略可以显著地增加收益。 本文在前人工作的基础上，完善并且改进了期货市场的动量效应模型，考虑 了其他影响因子对模型的作用，将汇率、利率等已知变量添加进模型中。本文通 过实际数据的仿真模拟，找到了期货市场中动量效应的存在区间，发现动量效应 在观测间隔为 80 分钟到 3 小时，持有时间为 1 天以上，指数移动平滑取 20 到
40周期时非常明显。与此同时,我们进一步通过对参数空间的探索,证明了所 提出的非线性动量策略相比于传统方法具有显著的优势。此外,本文提出的多因 子模型相比较于传统的动量策略也具有显著的提髙。在单独考虑非线性因素的条 件下,可以将年化平均收益从持有50天时的3.4%提高到6%,并且将夏普比率从 0.15提高到0.25。本文提出的多因子模型可以进一步将平均收益和夏普比率分 别提高到6.3%和0.34。在短持有时间(2天)的条件下,更是能够将平均收益 从0.06%提高到0.82%,对应的年化收益高达100%。虽然该策略仅在短期内有效, 但是收益依然十分可观。以上的收益提高在长持有时间和短持有时间条件下,都 经过了Z检验的验证。与此同时,本文对于多个行业的分别研究表明,动量效应 在各个行业普遍存在,而且大部分行业具有相似的动量效应,和宏观市场保持 致。然而少数行业,比如铜(Cu)和焦煤(JM),则呈现出独特的性质。我们的 结论通过了2013年数据的样本外测试得以验证,说明在没有显著增加运算时间 的前提下,新提出的交易策略能为量化投资者和投资机构带来更多的收益。 本文之后的部分安排如下。第二部分介绍非线性动量交易策略的模型和参数 的选取,第三部分给出数据、估计方法和实证结果,最后一部分总结全文并给出 对于投资者的启示。 二、模型 金融产品的价格波动在时间上的相关性是一直以来广泛争议的话题。主要的 解释有时间上的迟滞效应、反应过激以及反应不足。实际来看,一定的利好或者 利空消息放出之后,由于信号传播的速度以及投资者对信息获取能力的差异,这 消息并不能瞬时表现在市场价格波动上。另一方面,由于不同投资者对于信号 的反应速度不同、投资时的反应过激和反应不足,市场消息的实际作用会在一定
5 40 周期时非常明显。与此同时，我们进一步通过对参数空间的探索，证明了所 提出的非线性动量策略相比于传统方法具有显著的优势。此外，本文提出的多因 子模型相比较于传统的动量策略也具有显著的提高。在单独考虑非线性因素的条 件下，可以将年化平均收益从持有 50 天时的 3.4%提高到 6%，并且将夏普比率从 0.15 提高到 0.25。本文提出的多因子模型可以进一步将平均收益和夏普比率分 别提高到 6.3%和 0.34。在短持有时间（2 天）的条件下，更是能够将平均收益 从 0.06%提高到 0.82%，对应的年化收益高达 100%。虽然该策略仅在短期内有效， 但是收益依然十分可观。以上的收益提高在长持有时间和短持有时间条件下，都 经过了 Z 检验的验证。与此同时，本文对于多个行业的分别研究表明，动量效应 在各个行业普遍存在，而且大部分行业具有相似的动量效应，和宏观市场保持一 致。然而少数行业，比如铜（Cu）和焦煤（JM），则呈现出独特的性质。我们的 结论通过了 2013 年数据的样本外测试得以验证，说明在没有显著增加运算时间 的前提下，新提出的交易策略能为量化投资者和投资机构带来更多的收益。 本文之后的部分安排如下。第二部分介绍非线性动量交易策略的模型和参数 的选取，第三部分给出数据、估计方法和实证结果，最后一部分总结全文并给出 对于投资者的启示。 二、模 型 金融产品的价格波动在时间上的相关性是一直以来广泛争议的话题。主要的 解释有时间上的迟滞效应、反应过激以及反应不足。实际来看，一定的利好或者 利空消息放出之后，由于信号传播的速度以及投资者对信息获取能力的差异，这 一消息并不能瞬时表现在市场价格波动上。另一方面，由于不同投资者对于信号 的反应速度不同、投资时的反应过激和反应不足，市场消息的实际作用会在一定
的时间范围内逐渐展现出来。这一时间范围一般来说并不是很长(几小时到几 天),但是对于紧张激烈的期货市场来说,有可能产生一定的套利机会。从价格 波动的表现上来看,这一现象的反应就是“动量效应”:价格在一定时间范围内 倾向于维持之前的走势。据此理论,追涨杀跌有很大可能获取利润。 (一)模型设定 本文在理论上的推导完善和改进 Martin和Bana(2012)中的模型,拓展了 模型的适用范围。我们基于对交易风险水平的考虑,全部使用经过单位风险调整 的统计量进行处理,并且假定:(1)观测周期,交易在等时间间隔t的若干离散 的时间点进行,例如每2个小时进行一次观测,并且在每次观测同时改变头寸 Δ的持有量进行投资。我们用角标n代表第n次观测的相应结果。需要注意的 是,不同观测周期t的选取在实际应用中代表了不同时间尺度的投资策略。(2) 持有时间7:对于第n个观测周期金融产品的收益为△n(-),在持有时间为 T时,按照量化投资策略所能够获得的收益为:z=∑A,(Xm-Xn),与观测周 期同样,持有时间T同样代表了投资的时间尺度。 基于以上考量,对于资产X在观测周期n和n+1之间的价格波动,用表示第 n个时间点的波动率,定义单位风险投资回报Lm为:Cm3,,少我们使用 单位风险统计量的目的是为了让L标准化,不再具有方差的变化维度。进一步, 为了衡量金融产品价格的时间迟滞效应(动量效应),在公式(1.1)中,我们定义 其动量指标V为金融产品单位风险价格变化的线性组合和平均 n=∑a
6 的时间范围内逐渐展现出来。这一时间范围一般来说并不是很长（几小时到几 天），但是对于紧张激烈的期货市场来说，有可能产生一定的套利机会。从价格 波动的表现上来看，这一现象的反应就是“动量效应”：价格在一定时间范围内 倾向于维持之前的走势。据此理论，追涨杀跌有很大可能获取利润。 (一) 模型设定 本文在理论上的推导完善和改进 Martin 和 Bana（2012）中的模型，拓展了 模型的适用范围。我们基于对交易风险水平的考虑，全部使用经过单位风险调整 的统计量进行处理，并且假定：（1）观测周期，交易在等时间间隔 t 的若干离散 的时间点进行，例如每 2 个小时进行一次观测，并且在每次观测同时改变头寸 Δ 的持有量进行投资。我们用角标 n 代表第 n 次观测的相应结果。需要注意的 是，不同观测周期 t 的选取在实际应用中代表了不同时间尺度的投资策略。（2） 持有时间 T：对于第 n 个观测周期金融产品的收益为 Δn(Xn+1-Xn)，在持有时间为 T 时，按照量化投资策略所能够获得的收益为： / 1 0 ( ) T t nn n n π X X + = =∆ − ∑ ，与观测周 期同样，持有时间 T 同样代表了投资的时间尺度。 基于以上考量，对于资产 X 在观测周期 n 和 n+1 之间的价格波动，用表示第 n 个时间点的波动率,定义单位风险投资回报 Un+1为： 1 1 ˆ n n n n X X U σ + + − = 。我们使用 单位风险统计量的目的是为了让 Un标准化，不再具有方差的变化维度。进一步， 为了衡量金融产品价格的时间迟滞效应（动量效应），在公式(1.1)中，我们定义 其动量指标 Vn为金融产品单位风险价格变化的线性组合和平均： 0 n i ni i V aU ∞ − = = ∑ (1.1)
这里使用单位风险价格的原因是,对于波动率很大的时间点,其价格的变化 其实并不能够良好的反映出价格趋势的变化,而具有强烈的随机性。因而通过波 动率进行标准化处理可以使得对于动量的估计更加准确合理。动量指标的大小代 表了金融产品价格变化的趋势,因而对于量化投资决定持有头寸的多少具有重要 意义。另外,第n-i时刻的单位风险价格波动会对于第n时刻产生权重为a的 影响。方程所依据的金融内涵是:距离当前时间点越久远的价格波动对于当前时 间点的影响越小,并且一般认为服从指数分布,从而a对应于指数移动平均。 而还有一种解释认为当前的价格波动并不能够瞬间影响到动量,而是逐渐的体现 出来。这一思路对应于双重指数滑动平均。 假如市场确实存在动量效应和价格波动的时间正自相关性,那么正的动量指 标就代表了下一阶段价格有更大的可能性和期望会上升,负的动量指标就代表了 价格有更大的可能会下跌。 与此同时,本文假设,动量指标的变化来源于一系列环境因素中的隐变量的 影响,例如汇率、利率的变化等,由于影响种类繁多,而且有些隐变量(例如政 策的推出、大事件的发生)难以量化,这些隐变量的作用难以全部精确确定,用 ln表示,基于此假设,本文采用公式(1.2)代表的模型: y l为第nH1个时间点金融产品受到环境中隐变量的影响。动量指标V和V 是价格变化趋势的表征量。本文认为下一时间的动量指标由当前的动量指标受到 隐变量的线性影响所得到。如果能够对于各个隐变量的影响有一定的认识,那么 就能够相应的对于动量指标的变化进行预测,从而刻画出价格变化的趋势,并且 进一步实现价格预测
7 这里使用单位风险价格的原因是，对于波动率很大的时间点，其价格的变化 其实并不能够良好的反映出价格趋势的变化，而具有强烈的随机性。因而通过波 动率进行标准化处理可以使得对于动量的估计更加准确合理。动量指标的大小代 表了金融产品价格变化的趋势，因而对于量化投资决定持有头寸的多少具有重要 意义。另外，第 n-i 时刻的单位风险价格波动会对于第 n 时刻产生权重为 ai的 影响。方程所依据的金融内涵是：距离当前时间点越久远的价格波动对于当前时 间点的影响越小，并且一般认为服从指数分布，从而 ai 对应于指数移动平均。 而还有一种解释认为当前的价格波动并不能够瞬间影响到动量，而是逐渐的体现 出来。这一思路对应于双重指数滑动平均。 假如市场确实存在动量效应和价格波动的时间正自相关性，那么正的动量指 标就代表了下一阶段价格有更大的可能性和期望会上升，负的动量指标就代表了 价格有更大的可能会下跌。 与此同时，本文假设，动量指标的变化来源于一系列环境因素中的隐变量的 影响，例如汇率、利率的变化等，由于影响种类繁多，而且有些隐变量（例如政 策的推出、大事件的发生）难以量化，这些隐变量的作用难以全部精确确定，用 In+1表示，基于此假设，本文采用公式(1.2)代表的模型： V VI n nn + + 1 1 = + (1.2) In+1为第 n+1 个时间点金融产品受到环境中隐变量的影响。动量指标 Vn和 Vn+1 是价格变化趋势的表征量。本文认为下一时间的动量指标由当前的动量指标受到 隐变量的线性影响所得到。如果能够对于各个隐变量的影响有一定的认识，那么 就能够相应的对于动量指标的变化进行预测，从而刻画出价格变化的趋势，并且 进一步实现价格预测
(二)参数估计 Vn表达式的意义在于,将动量的变化与实际影响的因子结合起来,认为动 量的变化实际是由于一系列隐变量的联合作用,而信息的不完整和不可知性导致 了这些隐变量不能被全部精确建模,很大程度上只能假设为随机干扰。这里相邻 两观测周期动量指标V和Vn的关系中,实际含有下一阶段价格变化,因而可以 通过对于其进一步计算,对于价格的变化进行理论预测。从该假设出发,得到: ln=an-∑(an-ann,可以得到关于未来价格波动的预测 (a 型,也即下一时间的单位风险价格变化由两部分决定 首先是价格变化的趋势:如果没有外界影响,这一趋势应当保持不变,这一趋势 由之前时刻单位风险价格变化的线性组合所确定;另一部分是隐变量影响la1s 这两方面的共同作用的线性累加,确定出新的价格变化。假如本文定义: a’F(aa)/a,以及。=l//a。那么方程就变成了 Un+1=2a, Umn-i+I (1.3) 方程(1.3)表明,未来的价格波动取决于之前一定时间的价格波动的线性组 合以及当前时段的市场消息影响。基于这一结论,价格下一步的变化来源于Im 的随机性 假如对于隐变量的影响。毫无头绪那么就只能假定其服从均值为0的分 布,根据动量指标来厘定投资方案。这样的缺陷在于,隐变量的波动会带来额外 的风险,甚至严重影晌响价格的准确预估。事实上,我们对于价格的隐变量影响 。其实并不是一无所知,比如,汇率、利率会对价格产生影响是可以通过实
8 (二) 参数估计 Vn+1 表达式的意义在于，将动量的变化与实际影响的因子结合起来，认为动 量的变化实际是由于一系列隐变量的联合作用，而信息的不完整和不可知性导致 了这些隐变量不能被全部精确建模，很大程度上只能假设为随机干扰。这里相邻 两观测周期动量指标 Vn和 Vn+1的关系中，实际含有下一阶段价格变化，因而可以 通过对于其进一步计算，对于价格的变化进行理论预测。从该假设出发，得到： 1 01 1 0 ( ) n n i i ni i I aU a a U ∞ + + + − = = −− ∑ ，可以得到关于未来价格波动的预测： 1 0 1 1 0 0 ( ) i i ni i n n aaU I U a a ∞ + − = + + + − = ∑ ，也即下一时间的单位风险价格变化由两部分决定。 首先是价格变化的趋势：如果没有外界影响，这一趋势应当保持不变，这一趋势 由之前时刻单位风险价格变化的线性组合所确定；另一部分是隐变量影响 In+1。 这两方面的共同作用的线性累加，确定出新的价格变化。假如本文定义： a’i=(ai-ai+1)/a0，以及 I’n=In/a0。那么方程就变成了： ' 1 1 0 ' n i ni n i U aU I ∞ + −+ = = + ∑ (1.3) 方程(1.3)表明，未来的价格波动取决于之前一定时间的价格波动的线性组 合以及当前时段的市场消息影响。基于这一结论，价格下一步的变化来源于 I’n+1 的随机性。 假如对于隐变量的影响 I’n+1毫无头绪那么就只能假定其服从均值为 0 的分 布，根据动量指标来厘定投资方案。这样的缺陷在于，隐变量的波动会带来额外 的风险，甚至严重影响价格的准确预估。事实上，我们对于价格的隐变量影响 I’n+1 其实并不是一无所知，比如，汇率、利率会对价格产生影响是可以通过实
际市场数据相对精确的建模的,那么,如果在投资过程中及早将这些影响考虑进 去就能够进一步提高决策的准确性。基于此原理,本文对。进行展开,认为 各个隐变量的影响服从线性性质: ln=∑月P+N 方程(1.4)中P为第j个已知隐变量的影响,本文认为全部隐变量的影响是 它们的线性累加,线性系数B可以通过数据拟合得到,具体来说,针对某一只 期货(或者股票),通过多元回归方法(其中M是残差),利用一定时间内(例 如100个观测间隔内)的P、、和a,可以确定上述方程中的各个线性系数B 从而对于之后的价格波动利用新的P进行预测。这样,假如准备投资一个金融 产品,只需要对其进行一定时间的观测,一方面计算出动量值,另一方面根据动 量预测的差值回归计算出各个因子对于价格波动的影响。在之后的投资过程中, 就可以利用计算出的影响系数进行预测:∑P=Um-∑aUn-Nn。而同时 也需要注意到,无法对于全部市场信息进行精确建模,存在大量的信息无法及时 获取和精确衡量。故而,与已知信息相对的,价格还受到不可知因素M的影响 从而导致价格波动的不确定性 基于这些假设,价格的变化可以表示为:Um=∑BP+∑a"Un+Nm。也 就是说,新的价格波动由过去的价格波动的组合(动量效应)、已知因素影响的 线性叠加和未知因素的影响来共同决定。其中,动量效应和已知因素的影响可以 通过观测和计算得到,它们可以被用来进行投资策略的厘定 关于线性系数a’的选取,本文考虑两种不同方案:单重指数移动平均和双 重指数移动平均。对于参数为p的单重指数移动平均,定义:a’:=(1-)p,也
9 际市场数据相对精确的建模的，那么，如果在投资过程中及早将这些影响考虑进 去就能够进一步提高决策的准确性。基于此原理，本文对 I’n+1 进行展开,认为 各个隐变量的影响服从线性性质： ' 1 1 K n jj n j I PN + β = = + ∑ (1.4) 方程(1.4)中 Pj为第 j 个已知隐变量的影响，本文认为全部隐变量的影响是 它们的线性累加，线性系数 βj可以通过数据拟合得到，具体来说，针对某一只 期货（或者股票），通过多元回归方法（其中 Nn 是残差），利用一定时间内（例 如 100 个观测间隔内）的 Pj、Xi、和 ai，可以确定上述方程中的各个线性系数 βj， 从而对于之后的价格波动利用新的 Pj 进行预测。这样，假如准备投资一个金融 产品，只需要对其进行一定时间的观测，一方面计算出动量值，另一方面根据动 量预测的差值回归计算出各个因子对于价格波动的影响。在之后的投资过程中， 就可以利用计算出的影响系数进行预测： 1 1 0 ' K j j n i ni n j i β P U aU N ∞ + − = = ∑ ∑ =− − 。而同时 也需要注意到，无法对于全部市场信息进行精确建模，存在大量的信息无法及时 获取和精确衡量。故而，与已知信息相对的，价格还受到不可知因素 Nn的影响， 从而导致价格波动的不确定性。 基于这些假设，价格的变化可以表示为： 1 1 1 0 ' K n j j i ni n j i U P aU N β ∞ + − + = = =+ + ∑ ∑ 。也 就是说，新的价格波动由过去的价格波动的组合（动量效应）、已知因素影响的 线性叠加和未知因素的影响来共同决定。其中，动量效应和已知因素的影响可以 通过观测和计算得到，它们可以被用来进行投资策略的厘定。 关于线性系数 a’i的选取，本文考虑两种不同方案：单重指数移动平均和双 重指数移动平均。对于参数为 p 的单重指数移动平均，定义：a’i=(1-p)p i ，也
即a呈指数形式衰减。同时依照一般习惯,定义指数移动平均的特征长度 №=(1+p)/(1-),它可以用来衡量动量对于历史数据的参考长度。在单重指数移 动平均下,本文有在理论上非常统一的结果,a’;与a具有同样的形式。事实上, 假定a=(1-p)p则:a'=(a-a)/ah=(1-p)p=a 从形式上来看,当价格波动对于动量的影响为指数性衰减时,在投资策略中 相应时段的权重也呈现出指数性衰减。这在实际应用中也很容易理解。消息一经 放出,就会有大量投资者获取这一信息,而到当前时段越久远的消息,影响就越 小 另一方面,与 Mifare和Rall's(2007)的工作相对应,本文也尝试使用双 重指数移动平均方法。也就是说,在投资策略中,取a为两次指数移动平滑之 后的结果。从计算上来看,假定两次指数移动平滑的衰减强度为、P,此时, a'=(1-n)(1-)(1p2)/(m-)。 同样的,定义特征长度:M=(1+)/(1-n)、M=(1+m2)/1-m2)。 对于这里的a’,可以看到,其最大值并不是在i=0时取到,而是在 i=logw(loga)-1附近取到。这样也就是假定,之前当前时刻对于动量的影响 不是最高。而是认为之前某一时刻对于动量的影响最大。 这两种方法的区别在于,单重指数移动平均下,当前时间占据最大的权重, 而时间越久远,权重就越低。双重指数平均则不然,当前时间不再权重最高,而 是之前某时刻具有最大的权重:认为当前时刻所实际对应的动量不能短时间内体 现出来,而是有一定的“延迟”。在之后的实验过程中,本文对于两种方式都进 行了尝试,得到了相似的结果
10 即 ai 呈指数形式衰减。同时依照一般习惯，定义指数移动平均的特征长度 Np=(1+p)/(1-p)，它可以用来衡量动量对于历史数据的参考长度。在单重指数移 动平均下，本文有在理论上非常统一的结果，a’i与 ai具有同样的形式。事实上， 假定 ai=(1-p)p i 则：a’i=(ai-ai+1)/a0=(1-p)p i =ai。 从形式上来看，当价格波动对于动量的影响为指数性衰减时，在投资策略中 相应时段的权重也呈现出指数性衰减。这在实际应用中也很容易理解。消息一经 放出，就会有大量投资者获取这一信息，而到当前时段越久远的消息，影响就越 小。 另一方面，与 Miffre 和 Rallis（2007）的工作相对应，本文也尝试使用双 重指数移动平均方法。也就是说，在投资策略中，取 ai 为两次指数移动平滑之 后的结果。从计算上来看，假定两次指数移动平滑的衰减强度为 p1、p2，此时， a’i=(1-p1)(1-p2)(p j 1-p j 2)/(p1-p2)。 同样的，定义特征长度：Np1=(1+p1)/(1-p1)、Np2=(1+p2)/(1-p2)。 对于这里的 a’i，可以看到，其最大值并不是在 i=0 时取到，而是在 i=logp1/p2(logp2p1)-1 附近取到。这样也就是假定，之前当前时刻对于动量的影响 不是最高。而是认为之前某一时刻对于动量的影响最大。 这两种方法的区别在于，单重指数移动平均下，当前时间占据最大的权重， 而时间越久远，权重就越低。双重指数平均则不然，当前时间不再权重最高，而 是之前某时刻具有最大的权重：认为当前时刻所实际对应的动量不能短时间内体 现出来，而是有一定的“延迟”。在之后的实验过程中，本文对于两种方式都进 行了尝试，得到了相似的结果