实验2误差传播 参考答案 采用logc格式计算2.6连续加上三个0.2、26连续加上四个0.6的结果，判断计算 结果正确与否并解释原因。 >>format long e >2.6+0.6 ans 3.200000000000000e+00 >>2.6+0.2 >>ans+0.6 ans=2.800000000000000e+00 ans 3.800000000000000e+00 ans+0.2 >ans+0.6 ans=3.000000000000000e+00 ans 4.400000000000000e+00 >>ams0.2 >>ans+0.6 as=3.200000000000001e+00 ans=5 对精确的有理小数0.2的反复加运算产生了错误的数据位数，导致结果错误 对0.6的反复加运算不仅没有丢失精度，而且最后结果是完全正确的整数5，这说助 在MATLAB中数值计算采用的是有限精度（尾数和阶码位数有限）的存储，由数字 的浮点数形式的存储引起算术运算中的舍入误差，舍入的位数是由机器精度决定的。 2. 对下列3个差分方程计算出前10个数值近似值。在每种情况下引入一个小的初始误 差。如果没有初始误差，则每个差分方程将生成序列1/2””1。编程计算每个序列， 构造如下两张表，绘制每个序列的误差序列图形。从中能得到什么结论？ a)0=0.994,5n=2rn-1,其中n=1,2 b)p0=1,1=0.497,m=2m-1-2mn-2,其中n=2,3 心)q0=1,q1=0.497,qn=qm-1-9n-2其中n=2,3, 构造表1和表2： 表1序列x=12"以及近似值.p}和{qa 0 1.0000000000000000.994000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 0.5000000000000000.497000000000000 0.497000000000000 0.497m00m0mm00m0 0.12500000000000 0.12425000000 0. 0.109 0.062500000000000 0.062125000000000 0.05687000000000 0.030625000000000 0.0312500000000000.031062500000000 0.025437500000000 -003268750m00m00 0.00781250000000 0.00776562500 0.001859375000000 0.248171875 0.0039062500000000.00382812500000 -0.002070312500000 -0.508085937500005 90.0019531250000000.001941406250000 0004035163000 .1.022042968750010
实验 2 误差传播 参考答案 1. 采用 long e 格式计算 2.6 连续加上三个 0.2、2.6 连续加上四个 0.6 的结果，判断计算 结果正确与否并解释原因。 >> format long e >> 2.6+0.6 ans = 3.200000000000000e+00 >> 2.6+0.2 ans = 2.800000000000000e+00 >> ans+0.6 ans = 3.800000000000000e+00 >> ans+0.2 ans = 3.000000000000000e+00 >> ans+0.6 ans = 4.400000000000000e+00 >> ans+0.2 ans = 3.200000000000001e+00 >> ans+0.6 ans = 5 对精确的有理小数 0.2 的反复加运算产生了错误的数据位数，导致结果错误； 对 0.6 的反复加运算不仅没有丢失精度，而且最后结果是完全正确的整数 5.这说明 在 MATLAB 中数值计算采用的是有限精度（尾数和阶码位数有限）的存储，由数字 的浮点数形式的存储引起算术运算中的舍入误差，舍入的位数是由机器精度决定的。 2. 对下列 3 个差分方程计算出前 10 个数值近似值。在每种情况下引入一个小的初始误 差。如果没有初始误差，则每个差分方程将生成序列{1 2 𝑛 ⁄ }𝑛=1 ∞ 。编程计算每个序列， 构造如下两张表，绘制每个序列的误差序列图形。从中能得到什么结论？ a) 𝑟0 = 0.994,𝑟𝑛 = 1 2 𝑟𝑛−1，其中 n =1,2,… b) 𝑝0 = 1, 𝑝1 = 0.497, 𝑝𝑛 = 3 2 𝑝𝑛−1 − 1 2 𝑝𝑛−2，其中 n =2,3,… c) 𝑞0 = 1, 𝑞1 = 0.497,𝑞𝑛 = 5 2 𝑞𝑛−1 − 𝑞𝑛−2，其中 n =2,3,… 构造表 1 和表 2： 表 1 序列{𝑥𝑛 } = {1/2 𝑛 }以及近似值{rn},{pn}和{qn} n xn rn pn qn 0 1.000000000000000 0.994000000000000 1.000000000000000 1.000000000000000 1 0.500000000000000 0.497000000000000 0.497000000000000 0.497000000000000 2 0.250000000000000 0.248500000000000 0.245500000000000 0.242500000000000 3 0.125000000000000 0.124250000000000 0.119750000000000 0.109250000000000 4 0.062500000000000 0.062125000000000 0.056875000000000 0.030625000000000 5 0.031250000000000 0.031062500000000 0.025437500000000 -0.032687500000001 6 0.015625000000000 0.015531250000000 0.009718750000000 -0.112343750000001 7 0.007812500000000 0.007765625000000 0.001859375000000 -0.248171875000003 8 0.003906250000000 0.003882812500000 -0.002070312500000 -0.508085937500005 9 0.001953125000000 0.001941406250000 -0.004035156250000 -1.022042968750010
100.0009765362300000.000970703123000-0.00501757812500-2.047021484375021 表2误差序列{x-n,{xrpm}和{xm-9m} Xa-Fn Xe-De 0006000m00 0000m000 0000m0mm 0.003000000000000 .003000000000000 0.003000000000000 0.001500000000000 0.00400000000000 0.007300000000000 0.000750000000000 0.005250000000000 0.015750000000000 0.000375000000000 0.005625000000000 0.0318750000m0000 0.0001875 0.00581250000 0.0639375000 0.0000375000000 0.005906250000000 0.1279%8750000001 0.000046875000000 0.005953125000000 0.255984375000003 0.0000m3437500000 0.005976562500000 0.511992187500005 0.00001171875000 0.0059%828125000 1.0239609375001 10 0.000005859375000 0.005994140625000 2.047998046875021 绘制：图】误差序列xn:图2误差序列{r-p:图3误差序列x-gm} 程序代码： %The propagation oferrors %Three ways to compute the sequence(1/2) The original erors are.6.0.0030.003 AP-;q=x x11;0)0.994p(1lp20.497:q11q(20.497 for=2:11 x(0-1/2*x(-1) =l2*i-1上 end for i=3:11 p0-32*p(11/2*p-2 q(0=5/2*g(i-1g(i2X end
10 0.000976562500000 0.000970703125000 -0.005017578125000 -2.047021484375021 表 2 误差序列{xn-rn},{ xn-pn}和{ xn-qn} n xn-rn xn-pn xn-qn 0 0.0060000000 0.0000000000 0.0000000000 1 0.003000000000000 0.003000000000000 0.003000000000000 2 0.001500000000000 0.004500000000000 0.007500000000000 3 0.000750000000000 0.005250000000000 0.015750000000000 4 0.000375000000000 0.005625000000000 0.031875000000000 5 0.000187500000000 0.005812500000000 0.063937500000001 6 0.000093750000000 0.005906250000000 0.127968750000001 7 0.000046875000000 0.005953125000000 0.255984375000003 8 0.000023437500000 0.005976562500000 0.511992187500005 9 0.000011718750000 0.005988281250000 1.023996093750010 10 0.000005859375000 0.005994140625000 2.047998046875021 绘制：图 1 误差序列{xn-rn}；图 2 误差序列{xn-pn}；图 3 误差序列{xn-qn}。 程序代码： % The propagation of errors % Three ways to compute the sequence {1/2^n} % The original errors are 0.006,0.003,0.003 x=zeros(11,1);r=x;p=x;q=x; x(1)=1;r(1)=0.994;p(1)=1;p(2)=0.497;q(1)=1;q(2)=0.497; for i=2:11 x(i)=1/2*x(i-1); r(i)=1/2*r(i-1); end for i=3:11 p(i)=3/2*p(i-1)-1/2*p(i-2); q(i)=5/2*q(i-1)-q(i-2); end
disp(x disp(x r p ql) el-abs(x-r).c2-abs( disp('e e3') disp(el e2 e31) subplot(22 1)plot(0:10el'd') subplot(22.2)plot(0:10.e2+) subplox(2.2.3):10.3. 从上面的计算可 看到，初始误差通常通过一系列的计算进行传播。对于任何数值计算而言 都要尽量减少初始误差，因为初始条件下的小误差对最终结果产生的影响较小。另外，不同 的计算方法导致的误差也不同，要选择合适的方法进行计算。 设a≠0，b2-4ac>0,则一元二次方程a2+bx+c=0有两种等价的求根公式如 下： i)bac =b-1B-4ac 2a 2a _2 -2n 的= +B-4ac5 b-b2-4ac 当b2》4ac即bl≈V万2一4ac时，上述两组公式总会存在“相近数相减”的运算，从 而导致精度损失。所以在这种情况下应该重新构造合适的求根公式。利用上述两组 公式，构造出求解x和？的适当公式，设计算法，编写MATLAB程序，并计算下 列二次方程的根。 a)x2-1000.001x+1=0 b)x2-1000000.000001x+1=0 用公式)、以公式i)、自编程序和Matlab自带的求多项式的根的函数roots求解上述 方程的根，比较结果。 为防止出现“相近数相减的运算，关键在于正确处理b和vD2一4之间的运算，只 要让它们同号（相加）就可以了。所以重新构造如下求根公式： xb-sign(b)-4ac 2a 程序代码： function naquadeq(a.b.c) Solve a Unary quadraticequ %Input -a,b.c are the coefficients of the equation by descending order Output -x is a vector involving the roots if (a=0)(b2-4*a*c<-0).retum.end xl=(-b-sign(b)*sqrt(b24*a*c)Y(2*a): x2-/a'xl) x=(xl.x2] 公式 公式前 自编函数 rootsi函数 a)x=1.0e+03· x=l.0e+03* x=1.0e+03· 3ns=1.0e+03
disp('x r p q') disp([x r p q]) e1=abs(x-r); e2=abs(x-p); e3=abs(x-q); disp('e1 e2 e3') disp([e1 e2 e3]) subplot(2,2,1),plot(0:10,e1,'d') subplot(2,2,2),plot(0:10,e2,'+') subplot(2,2,3),plot(0:10,e3,'*') 从上面的计算可以看到，初始误差通常通过一系列的计算进行传播。对于任何数值计算而言， 都要尽量减少初始误差，因为初始条件下的小误差对最终结果产生的影响较小。另外，不同 的计算方法导致的误差也不同，要选择合适的方法进行计算。 3. 设a ≠ 0, 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0，则一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 有两种等价的求根公式如 下： i) 2 2 1 2 4 4 , 2 2 b b ac b b ac x x a a − + − − − − = = ii) 1 2 2 2 2 2 , 4 4 c c x x b b ac b b ac − − = = + − − − 当𝑏 2 ≫ 4𝑎𝑐即|𝑏| ≈ √𝑏 2 − 4𝑎𝑐时，上述两组公式总会存在“相近数相减”的运算，从 而导致精度损失。所以在这种情况下应该重新构造合适的求根公式。利用上述两组 公式，构造出求解 x1 和 x2 的适当公式，设计算法，编写 MATLAB 程序，并计算下 列二次方程的根。 a) x 2 -1000.001x+1=0; b) x 2 -1000000.000001x+1=0 用公式 i)、公式 ii)、自编程序和 Matlab 自带的求多项式的根的函数 roots 求解上述 方程的根，比较结果。 为防止出现“相近数相减”的运算，关键在于正确处理 b 和√𝑏 2 − 4𝑎𝑐之间的运算，只 要让它们同号（相加）就可以了。所以重新构造如下求根公式： 2 1 2 1 sign( ) 4 , 2 b b b ac c x x a ax − − − = = 程序代码： function x=unaquadeq(a,b,c) % Solve a Unary quadratic equation % Input - a, b, c are the coefficients of the equation by descending order % Output - x is a vector involving the roots if (a==0)|(b^2-4*a*c<=0), return, end x1=(-b-sign(b)*sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); x2=c/(a*x1); x=[x1,x2]; 公式i) 公式ii) 自编函数 roots函数 a） x =1.0e+03 * x =1.0e+03 * x =1.0e+03 * ans =1.0e+03 *
10000050000000 1.000000000023647 1.000000000000000 1.000000000000000 0.50000150000 0.0000010000000 0.000010000000 0.0000100000 6 x-l.0e+06 =1.0e+06* x-l.0e+06 ans =1.0e+06 1.50000000000050 0.99999238556461 1.00000000000000 1.000000000000000 0.50000m0m0m150 0.000000m0001000 00000000m0m100m 000000m00m100m 可见，重新构造的函 数求根结果与r0s函数求得的结果完全一样，而公式)和公式 )的误差比较大
1.500000500000000 0.500001500000000 1.000000000023647 0.000001000000000 1.000000000000000 0.000001000000000 1.000000000000000 0.000001000000000 b） x =1.0e+06 * 1.500000000000500 0.500000000001500 x =1.0e+06 * 0.999992385564610 0.000000000001000 x =1.0e+06 * 1.000000000000000 0.000000000001000 ans =1.0e+06 * 1.000000000000000 0.000000000001000 可见，重新构造的函数求根结果与 roots 函数求得的结果完全一样，而公式 i)和公式 ii)的误差比较大
