第6章整数规划 第1整数线性规划间题的提出 第2节分支定界解法 第3节割平面解法 第4节使用 MATLAB求解整数规划问题 第5节0-1型整数线性规划 第6节指派问题 清华大学出版社
清华大学出版社 2 第6章 整数规划 ◼第1节 整数线性规划问题的提出 ◼第2节 分支定界解法 ◼第3节 割平面解法 ◼第4节 使用MATLAB求解整数规划问题 ◼第5节 0-1型整数线性规划 ◼第6节 指派问题
第1节整数线性规划问题的提出 令在前面讨论的线性规划问题中,有些最优解可能是分 数或小数,但对于某些问题,常要求解必须是整数(称 为整数解)。例如,所求解是机器的台数、完成工作的 人数或装货的车数等。 令为满足整数解的要求,初看起来,似乎只要把已得到 的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。 但这常常是不行的,因为化整后不见得是可行解;或 虽是可行解,但不一定是最优解。 令因此,对求最优整数解的问题,有必要另行研究。我 们称这样的问题为整数线性规划( integer linear programmIng),简称‖LP。 清华大学出版社
清华大学出版社 3 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分 数或小数，但对于某些问题，常要求解必须是整数(称 为整数解)。例如，所求解是机器的台数、完成工作的 人数或装货的车数等。 ❖ 为满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到 的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解；或 虽是可行解，但不一定是最优解。 ❖ 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。我 们称这样的问题为整数线性规划(integer linear programming)，简称ILP
第1节整数线性规划问题的提出 整数线性规划的分类 如果所有的变量都限制为(非负)整数,就称为纯整数线性规 划( pure integer linear programming)或称为全整数线性规划 (all integer linear programming o如果仅一部分变量限制为整数,则称为混合整数规划(mied integer linear programming 整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划,即变量的取值仅 限于0或1。本章最后讲到的指派问题就是一个0-1规划问题。 清华大学出版社
清华大学出版社 4 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 整数线性规划的分类 如果所有的变量都限制为(非负)整数，就称为纯整数线性规 划(pure integer linear programming)或称为全整数线性规划 (all integer linear programming) 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划(mixed integer linear programming)。 整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，即变量的取值仅 限于0或1。本章最后讲到的指派问题就是一个0-1规划问题
第1节整数线性规划问题的提出 令现举例说明用单纯形法求得的解不能保证是整数最优 解 令例1某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如表5-1所示。问 两种货物各托运多少箱,可使获得利润为最大? 表5-1 货物体积(m/箱)重量(00g箱)利润(10元/箱) 甲 5 2 20 4 10 托运限制「24m 1300kg 清华大学出版社
清华大学出版社 5 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 现举例说明用单纯形法求得的解不能保证是整数最优 解。 ❖ 例1 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如表5-1所示。问 两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大? 货物 体积(m3 /箱) 重量(100kg/箱) 利润(100 元/箱) 甲 乙 5 4 2 5 20 10 托运限制 24m3 1300kg 表5-1
第1节整数线性规划问题的提出 解:设x,x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数(当然 都是非负整数),这就是一个(纯)整数线性规划问题, 用数学模型可表示为: maxz=20x1+10x2① 5X1+4x2<24 2x1+5X2<13 ②③④⑤ (5.1) X1,X2≥0 x1,x,整数 该问题和线性规划问题的区别仅在于最后一个约束条件⑤ 现在我们暂不考虑这一条件,即解由①~④构成的线性规划问题 (以后我们称这样的问题为与原问题相应的线性规划问题) 清华大学出版社
清华大学出版社 6 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 解：设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数(当然 都是非负整数)，这就是一个(纯)整数线性规划问题， 用数学模型可表示为： max z =20x1+10x2 ① 5x1+4x2 ≤24 ② 2x1+5x2 ≤13 ③ (5.1) x1，x2 ≥0 ④ x1，x2整数 ⑤ 该问题和线性规划问题的区别仅在于最后一个约束条件⑤。 现在我们暂不考虑这一条件，即解由①～④构成的线性规划问题 (以后我们称这样的问题为与原问题相应的线性规划问题)
第1节整数线性规划问题的提出 令容易求得相应的线性规划问题的最优解为 x1=4.8,x2=0,max=96 z=96 C 1234567 清华大学出版社
清华大学出版社 7 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 容易求得相应的线性规划问题的最优解为 x1=4.8，x2=0，max z=96
第1节整数线性规划问题的提出 令现在来分析上述线性规划问题的最优解是否是整数规 划问题的最优解 因为x1表示的是托运甲种货物的箱数,目前得到的最优解不 是整数,所以不合条件⑤的要求 o是不是可以把所得的非整数最优解经过“化整”就可得到合 于条件⑤的整数最优解呢? 口如将x1-48,x2=0)凑整为(x1=5,x2=0),这样就破坏了条件② (关于体积的限制),因而它不是可行解 口如将(x1=48,x2=0)舍去尾数0.8,变为(x4,x2=0),这当然满 足各约束条件,因而是可行解,但不是最优解,因为当x=4, x2=0,时z80;而当x=4,x2=1(这也是可行解)时,z90 清华大学出版社
清华大学出版社 8 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 现在来分析上述线性规划问题的最优解是否是整数规 划问题的最优解 因为x1表示的是托运甲种货物的箱数，目前得到的最优解不 是整数，所以不合条件⑤的要求。 是不是可以把所得的非整数最优解经过“化整”就可得到合 于条件⑤的整数最优解呢? 如将(x1=4.8，x2=0)凑整为(x1=5，x2=0)，这样就破坏了条件② (关于体积的限制)，因而它不是可行解； 如将(x1=4.8，x2=0)舍去尾数0.8，变为(x1=4，x2=0)，这当然满 足各约束条件，因而是可行解，但不是最优解，因为当x1=4， x2=0, 时z=80；而当x1=4，x2=1(这也是可行解)时，z=90
第1节整数线性规划问题的提出 本例还可以用图解法来说明。见图5-1 01234567 图51 图中画(+)号的点表示可行的整数解。凑整得到的(5,0)点不在可行域内, 而C点又不合于条件⑤。为了满足题中要求,表示目标函数的z的等值线 必须向原点平行移动,直到第一次遇到带“+”号B点(x=4,x2=1)为止。 这样,z的等值线就由z96变到z90,它们的差值为△z=96-90=6,表示 利润的降低,这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。 清华大学出版社
清华大学出版社 9 第1节 整数线性规划问题的提出 本例还可以用图解法来说明。见图 5-1 图中画(+)号的点表示可行的整数解。凑整得到的(5，0)点不在可行域内， 而C点又不合于条件⑤。为了满足题中要求，表示目标函数的z的等值线 必须向原点平行移动，直到第一次遇到带“+”号B点(x1=4，x2=1)为止。 这样，z的等值线就由z=96变到z=90，它们的差值为Δz=96-90=6，表示 利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。 图5-1
第1节整数线性规划问题的提出 令由上例看出,将其相应的线性规划的最优解经过“化整” 来解原整数线性规划,虽是最容易想到的,但常常得不 到整数线性规划的最优解,甚至根本不是可行解。因此 有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。 清华大学出版社
清华大学出版社 10 第1节 整数线性规划问题的提出 ❖ 由上例看出，将其相应的线性规划的最优解经过“化整” 来解原整数线性规划，虽是最容易想到的，但常常得不 到整数线性规划的最优解，甚至根本不是可行解。因此 有必要对整数线性规划的解法进行专门研究
第2节分支定界解法 令在求解整数线性规划时,如果可行域是有界的,首先容 易想到的方法就是穷举所有可行的整数解,即列出图5-1 中所有标有“+〃的整数点,然后比较它们的目标函数值, 从而确定最优解。 对于规模较小的问题,变量个数很少,可行解的组合数 也较小时,这个方法是可行的,也是有效的。 o如在例1中,变量只有x和x。由条件②,x所能取的整数值为0 为 个。因此所有可能的整数组合(不都是可行的)数是3×5=15个, 穷举法还是勉强可用的。 令对于大型问题,可行的整数组合数会很大 例如在指派问题中,将n项任务指派n个人去完成,不同的指派 方案共有n!种,当n=10时,可能的指派方案数超过300万;当 n=20,超过2×108。显然,穷举法是不可取的。 清华大学出版社
清华大学出版社 11 第2节 分支定界解法 ❖ 在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先容 易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，即列出图5-1 中所有标有“+”的整数点，然后比较它们的目标函数值， 从而确定最优解。 ❖ 对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的组合数 也较小时，这个方法是可行的，也是有效的。 如在例1中，变量只有x1和x2。由条件②，x1所能取的整数值为0、 1、2、3、4共5个；由条件③，x2所能取的整数值为0、1、2共3 个。因此所有可能的整数组合(不都是可行的)数是3×5=15个， 穷举法还是勉强可用的。 ❖ 对于大型问题，可行的整数组合数会很大。 例如在指派问题中，将n项任务指派n个人去完成，不同的指派 方案共有n!种，当n=10时，可能的指派方案数超过300万；当 n=20，超过2×1018。显然，穷举法是不可取的