第一章半导体中的电子状态 例题 第一章半导体中的电子状态 例1.证明对于能带中的电子,K状态和K状态的电子速度大小相等方向相反。即: v(k)=-v(-k),并解释为什么无外场时,晶体总电流等于零 思路与解:K状态电子的速度为 v(k) I aE(k). aE(k). aE(K 同理,一K状态电子的速度则为 v(-k)=1,aE(k), aE(k) aE(k)ky ak k 从一维情况容易看出: aE(k) aE(k) 同理有: aE(k) aE(k) dE(k) aE(k) 将式(3)(4)(5)代入式(2)后得: v(-k)=-1OE(k);0E(k);∂E(k) (6) 利用(1)式即得:v(-k)=-v(k) 因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关,即: E(k)=E(-k)故电子占有k状态和k状态的几率相同,且 v(k)=-(-k),故这两个状态上的电子电流相互抵消,晶体中总电流为零。 评析:该题从晶体中作共有化运动电子的平均漂移速度与能量E的关系以及相同能量状 态电子占有的机率相同出发,证明K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相 反,以及无电场时,晶体总电流为零 例2.已知一维晶体的电子能带可写成: E(k) cos 2ka 式中,a为晶格常数。试求: (1)能带的宽度 (2)能带底部和顶部电子的有效质量。 路与解:(1)由)关系得ma(2sm2和-3sn6rka) m(3 sin 2ka-- sin 2T ka) (1)
第一章 半导体中的电子状态 例题： 第一章 半导体中的电子状态 例 1. 证明:对于能带中的电子，K 状态和-K 状态的电子速度大小相等,方向相反。即： v(k)= －v(－k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。 思路与解：K 状态电子的速度为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x y z E k E k E k v k i j k h k k k = + + （1） 同理，－K 状态电子的速度则为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x y z E k E k E k v k i j k h k k k − − − − = + + （2） 从一维情况容易看出： ( ) ( ) x x E k E k k k − = − （3） 同理有： ( ) ( ) y y E k E k k k − = − （4） ( ) ( ) z z E k E k k k − = − （5） 将式（3）（4）（5）代入式（2）后得： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x y z E k E k E k v k i j k h k k k − = − + + （6） 利用（1）式即得：v(－k)= －v(k) 因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，即： E(k)=E(－k)故电子占有 k 状态和-k 状态的几率相同，且 v(k)=－v(－k)，故这两个状态上的电子电流相互抵消，晶体中总电流为零。 评析：该题从晶体中作共有化运动电子的平均漂移速度与能量 E 的关系以及相同能量状 态电子占有的机率相同出发，证明 K 状态和-K 状态的电子速度大小相等，方向相 反，以及无电场时，晶体总电流为零。 例 2. 已知一维晶体的电子能带可写成： 2 2 7 1 ( ) ( cos 2 cos6 ) 8 8 h E k ka ka m a = − + 式中，a 为晶格常数。试求： （1） 能带的宽度； （2） 能带底部和顶部电子的有效质量。 思路与解：（1）由 E(k)关系得： 2 2 3 (2sin 2 sin 6 ) 4 dE h ka ka dk m a = − ＝ 2 3 1 (3sin 2 sin 2 ) 4 h ka ka m a − （1）
d'e th (18sin arka cos 2ka COS 27T 0 sin2 zka cOS2丌ka=±( 12 cos 2ka 12时,代入(2)得: d e th 0 12V122V12 对应F(k)的极小值。 时,代入(2)得 d-e h I h 12V122V12 对应E(k)的极大值 根据上述结果,求得Em和Em即可求得能带宽度。 h2711|11 h27 ma m h E 11 =2( 故:能带宽度 12 92 (3)能带底部和顶部电子的有效质量: d-e (mn)带底 =4.18m h v12 m dE (mn)顶=[ )项]=[( 4.18m 12 评:本题根据能带宽度为能带顶和能带底的能量之差,即能量最大值和最小值之差。 习题 1什么叫本征激发?温度越高,本征激发的载流子越多,为什么?试定性说明之 2.试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因 3试指出空穴的主要特征 4简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。 5某一维晶体的电子能带为 E(k)=E[1-0. 1 cos(ka)-03sin(ka)] 其中E0=3eV,晶格常数a=5×10-1m。求:
2 2 2 2 2 1 (18sin 2 cos 2 cos 2 ) 2 d E h ka ka ka dk m = − （2） 令 0 dE dk = 得： 2 1 sin 2 12 ka = 1 2 11 cos 2 ( ) 12 = ka 当 11 cos 2 12 ka = 时，代入（2）得： 2 2 2 2 2 2 1 11 1 11 11 (18 ) 0 12 12 2 12 12 d E h h dk m m = − = 对应 E(k)的极小值。 当 11 cos 2 12 ka = − 时，代入（2）得： 2 2 2 2 2 2 1 11 1 11 11 ( 18 ) 0 12 12 2 12 12 d E h h dk m m = − + = − 对应 E(k)的极大值。 根据上述结果，求得 Emin 和 Emax 即可求得能带宽度。 2 2 3 3 2 2 min 2 2 7 11 11 7 11 [ ( ) ] [ ( ) ] 8 8 12 8 12 h h E m a m a = − = − 2 3 2 max 2 7 11 ( ) 8 12 o h E m a = + 故：能带宽度 3 2 2 max min 2 11 2( ) 12 h E E E m a = − = （3） 能带底部和顶部电子的有效质量： 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 11 12 ( ) [ ( ) ] [ ] 4 4.18 12 11 n d E k m m m h dk h m − − 带底 底 = = = = 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 11 12 ( ) [ ( ) ] [ ] 4 4.18 12 11 n o d E k m m m h dk h m − − 顶 = = = = 顶 （－ ） － － 评析：本题根据能带宽度为能带顶和能带底的能量之差，即能量最大值和最小值之差。 习题： 1.什么叫本征激发？温度越高，本征激发的载流子越多，为什么？试定性说明之。 2.试定性说明 Ge、Si 的禁带宽度具有负温度系数的原因。 3.试指出空穴的主要特征。 4.简述 Ge、Si 和 GaAs 的能带结构的主要特征。 5.某一维晶体的电子能带为 E k E ka ka ( ) 1 0.1cos( ) 0.3sin( ) = − − o 其中 E0=3eV，晶格常数 a=5×10-11m。求：
(1)能带宽度 (2)能带底和能带顶的有效质量
（1） 能带宽度； （2） 能带底和能带顶的有效质量