结构力学一—第十一章矩阵位移法 海南大学土木建筑工程学院 第十一章矩阵位移法 11.1概述 随着计算机在各领域的不断深入应用，结构力 学这门学科也得到了进一步的发展，出现了计算机 化的结构力学（即计算结构力学）这个新的分支。 计算机辅助设计(CAD)中使用到的诸多结构 分析软件都以有限单元法（简称有限元法)为理论 依据，有限元法是一种近几十年发展起来的新方法， 从数学角度来说，它是求解偏微分方程定解问题的 数值分析方法之一；从力学角度来说，它是求取基 于变分原理的近似解的方法之一；而从我们最熟识 的工程结构的角度来说，它是结构力学的矩阵分析 方法在连续介质力学中的合理应用。由此可见
2 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 11.1 概述 随着计算机在各领域的不断深入应用，结构力 学这门学科也得到了进一步的发展，出现了计算机 化的结构力学（即计算结构力学）这个新的分支。 计算机辅助设计（CAD）中使用到的诸多结构 分析软件都以有限单元法（简称有限元法）为理论 依据，有限元法是一种近几十年发展起来的新方法， 从数学角度来说，它是求解偏微分方程定解问题的 数值分析方法之一；从力学角度来说，它是求取基 于变分原理的近似解的方法之一；而从我们最熟识 的工程结构的角度来说，它是结构力学的矩阵分析 方法在连续介质力学中的合理应用。由此可见 第十一章 矩阵位移法
结构力学一第十一章矩阵位移法 洛南大学士木建筑工程学院 学好结构力学的矩阵分析方法，可以为我们后续深 入学习有限元法打好基础。 结构力学的矩阵分析方法是将矩阵数学的理论 引入结构力学而得，即在进行结构矩阵分析时，仍 旧沿用传统结构力学的基本假定、基本原理和基本 方法，而在公式和各种表达式的表述方法上使用矩 阵形式。矩阵化的表述方式具有简洁、规范、易于 排错的优点，因而容易转化成计算机程序，方便计 算机软件的开发。 将力法和位移法同矩阵数学相结合，产生出矩 阵力法和矩阵位移法。相对于力法而言，位移法具 有基本结构唯一和可以求解静定结构两大优势，这 3
3 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 学好结构力学的矩阵分析方法，可以为我们后续深 入学习有限元法打好基础。 结构力学的矩阵分析方法是将矩阵数学的理论 引入结构力学而得，即在进行结构矩阵分析时，仍 旧沿用传统结构力学的基本假定、基本原理和基本 方法，而在公式和各种表达式的表述方法上使用矩 阵形式。矩阵化的表述方式具有简洁、规范、易于 排错的优点，因而容易转化成计算机程序，方便计 算机软件的开发。 将力法和位移法同矩阵数学相结合，产生出矩 阵力法和矩阵位移法。相对于力法而言，位移法具 有基本结构唯一和可以求解静定结构两大优势，这
结构力学一—第十一章矩阵位移法 海南大学士木建筑工程学院 些特点使得矩阵位移法更适用于进行结构分析软件 的开发。因此，本章将重点介绍平面杆件结构的矩 阵位移法。 矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： (1)结构离散化 将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这
4 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 些特点使得矩阵位移法更适用于进行结构分析软件 的开发。因此，本章将重点介绍平面杆件结构的矩 阵位移法。 矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： （1）结构离散化 将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这
结构力学一第十一章矩阵位移法 南大学土木建筑工程学院 步骤； (2)单元分析 单元分析的任务是获取单元杆端力与单元杆端 位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。这相当于位 移法中获得形常数和转角位移方程的步骤。单元杆 端位移一旦求得，单元杆端力即可通过单元刚度方 程求得。 (3)整体分析 整体分析是将单元刚度矩阵按照刚度集成规则 直接形成结构刚度矩阵，并建立整体结构的刚度方 程。这相当于位移法中建立典型方程的步骤。整体 分析将打散的单元重新集成为结构，进而引入结构 的边界条件（力平衡边界条件和变形协调边界条件)
5 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 一步骤； （2）单元分析 单元分析的任务是获取单元杆端力与单元杆端 位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。这相当于位 移法中获得形常数和转角位移方程的步骤。单元杆 端位移一旦求得，单元杆端力即可通过单元刚度方 程求得。 （3）整体分析 整体分析是将单元刚度矩阵按照刚度集成规则 直接形成结构刚度矩阵，并建立整体结构的刚度方 程。这相当于位移法中建立典型方程的步骤。整体 分析将打散的单元重新集成为结构，进而引入结构 的边界条件（力平衡边界条件和变形协调边界条件）
结构力学一—第十一章矩阵位移法 海南大学土木建筑工程学院 为求解结构刚度方程做好准备。 求解结构刚度方程得到各结点位移后，只需再 返回单元分析，即可求出各单元杆端力，进而绘出 结构内力图。 11.2杆件结构的离散化 11.2.1单元与结点的划分和编码 由若干根杆件组成的结构称为杆件结构。使用 矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散” 为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。为方 便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位 移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折 点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料 改变 6
6 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 为求解结构刚度方程做好准备。 求解结构刚度方程得到各结点位移后，只需再 返回单元分析，即可求出各单元杆端力，进而绘出 结构内力图。 11.2 杆件结构的离散化 11.2.1 单元与结点的划分和编码 由若干根杆件组成的结构称为杆件结构。使用 矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散” 为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。为方 便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位 移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折 点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料 改变
结构力学—第十一章矩阵位移法 治南大学土木建筑工程学院 点等成为连接各个单元的结点。只要确定了杆件结 构中的全部结点，结构中各结点间的所有单元也就 随之确定了。 确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。 ELE13 6 02 ⑤⑥ ⑧ 2 ④ ① ② ⑥ (a) (b)
7 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 点等成为连接各个单元的结点。只要确定了杆件结 构中的全部结点，结构中各结点间的所有单元也就 随之确定了。 确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。 EI2 EI1 E1 I 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 5 4 3 8 7 4 3 2 2 1 1 E2 I 5 6 (a) (b)
结构力学一第十一章矩阵位移法 W 海南大学土木建筑工程学院 11.2.2两种直角坐标系 结构离散化后，杆件单元的方向千差万别。在 作整体分析时，需要在结点处建立平衡方程，为此 又需要一个统一的计算基准坐标系。因此，这里引 入两套直角坐标系来建立后续需要研究的力和位移 等物理量之间的关系。 (1)单元坐标系 单元坐标系（又称局部坐标系)是单元分析时 使用的坐标系，它只与具体的某一单元相对应。对 结构中任意单元©，本章约定其坐标系用x-表示； 坐标系原点取为该单元一端的端结点（称为始结 点或始端)；由原点指向另一端结点j(称为末结 点或末端)的方向，为杆轴x坐标正向，记作x©；
8 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 11.2.2 两种直角坐标系 结构离散化后，杆件单元的方向千差万别。在 作整体分析时，需要在结点处建立平衡方程，为此 又需要一个统一的计算基准坐标系。因此，这里引 入两套直角坐标系来建立后续需要研究的力和位移 等物理量之间的关系。 （1）单元坐标系 单元坐标系（又称局部坐标系）是单元分析时 使用的坐标系，它只与具体的某一单元相对应。对 结构中任意单元 e ，本章约定其坐标系用 表示； 坐标系原点取为该单元一端的端结点i（称为始结 点或始端）；由原点指向另一端结点j（称为末结 点或末端）的方向，为杆轴 坐标正向，记作 ； x y − x ( ) e x
结构力学—第十一章矩阵位移法 治南大学土木建筑工程学院 以轴沿顺时针方向旋转90°为坐标轴)正向，记 作，如下图所示。 (2) v(I (2)整体坐标系 整体坐标系（又称结构坐标系）是整体分析时 使用的坐标系，它不和任何单元直接相关。设置整 9
9 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 以轴沿顺时针方向旋转90°为坐标轴 正向，记 作 ，如下图所示。 y ( ) e y 3 x (a) (b) 1 2 y x 1 2 3 y x (1) (1) x (2) (2) y O y 2 1 1 O 2 （2）整体坐标系 整体坐标系（又称结构坐标系）是整体分析时 使用的坐标系，它不和任何单元直接相关。设置整
结构力学一第十一章矩阵位移法 海南大学士木建筑工程学院 体坐标系的目的是使各物理量在进行整体分析时有 统一的衡量尺度。本章约定整体坐标系使用xy表 示，X轴正方向水平向右，以x轴沿顺时针方向旋转 90°为y轴正向，即y轴正方向竖直向下，整体坐标 系原点可取为任意点。 Fe③ 2) ① 立() 10
10 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 体坐标系的目的是使各物理量在进行整体分析时有 统一的衡量尺度。本章约定整体坐标系使用x-y表 示，x轴正方向水平向右，以x轴沿顺时针方向旋转 90°为y轴正向，即y轴正方向竖直向下，整体坐标 系原点可取为任意点。 3 x (a) (b) 1 2 y x 1 2 3 y x (1) (1) x (2) (2) y O y 2 1 1 O 2
结构力学一—第十一章矩阵位移法 W 南大学士木建筑工程学院 为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单 元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明脉 轴的正向即可，如图（b)所示。 2) (a) (b) 11
11 结构力学—第十一章 矩阵位移法 土木建筑工程学院 为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单 元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明 轴的正向即可，如图（b）所示。 3 x (a) (b) 1 2 y x 1 2 3 y x (1) (1) x (2) (2) y O y 2 1 1 O 2 x