数学分析专题研究试题 中央电大教育学院赵坚 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.设A,B是任意两个集合，则有()成立 A.AA0B B.ACAB C.AAUB D.ACA-B 2.设A,B是两个集合，RcA×B,则有()， A.RCA B.RCB C.Dom(R)CB D.Ran(R)CB 3.设A={a},则有(). A.{a}∈AB.{acAC.acAD.A-a=Φ 4.已知函数y=f(x)在(0,1)内可导，且f'(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)上(). A.有界B.无界C.间断D.连续 5.f(x)是[-10,10]上的既奇又偶的函数，则(). A.f(x)=1 B.f(x)=0 C.f(x)=x D.f(x)=-x 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.已知B={甲、乙}，则B的幂集2B= 2.设R为X中的关系，若R是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 3.若集合A能与其任意真子集A之间建立一个双射，则集合A是 4.己知f(x)=cos(1+n(1+x2),则f'(x)= 5.函数f(x)定义在(a,b)内，若x1,x2∈(a,b),a∈(0,1)，有 则称 f(x)是下凸函数. 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.解方程/=x,求) 2.设fx,y)=(1+Vx2+2),求f'(x)
1 数学分析专题研究试题 中央电大教育学院 赵坚 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．设 A, B 是任意两个集合，则有（ ）成立. A． A A B B． A A B C． A A B D． A A − B 2．设 A, B 是两个集合， R A B ，则有（ ）. A． R A B． R B C． Dom(R) B D．Ran(R) B 3．设 A = {a} ，则有（ ）. A．{a} A B．{a} A C． a A D． A− a =Φ 4．已知函数 y = f (x) 在 (0,1) 内可导，且 f (x) 在 (0,1) 内连续，则 f (x) 在 (0,1) 上（ ）. A．有界 B．无界 C．间断 D．连续 5． f (x) 是 [−10,10] 上的既奇又偶的函数，则（ ）. A． f (x) = 1 B． f (x) = 0 C． f (x) = x D． f (x) = −x 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．已知 B = {甲、乙}，则 B 的幂集 2 = _________________________________ B . 2．设 R 为 X 中的关系，若 R 是反身的、对称的、传递的，则称关系 R 是 . 3．若集合 A 能与其任意真子集 A1 之间建立一个双射，则集合 A 是 . 4．已知 ( ) cos(1 ln(1 )) 2 f x = + + x ，则 f (x) = __________________ . 5．函数 f (x) 定义在 (a,b) 内，若 , ( , ), (0,1) x1 x2 a b ，有 ，则称 f (x) 是下凸函数. 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解方程 f x x x = + − ) e 1 e 1 ( ，求 f (x) . 2．设 ( , ) ln(1 2) 2 f x y = + x + ，求 f (x)
四、证明题（每小题15分，共30分） 1.设y=f(x)是从[0,1]到[0,1的连续函数，则存在点x。∈[0，]，使f(x。)=x,其中n 是一个非零自然数： 2.设A,B,C为三角形的三内角时，求证 B·C1 2 28 参考答案： 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.A:2.C:3.B:4.D:5.B. 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.{中，甲，{亿，甲，乙}2.等价关系；3.无限集：4.f'(x)=-sin(1+(1+x2) 2x 1+x2 5.f(cx1+(1-a)x2)≤g(x)+(1-)f(x2) 三、计算题（每小题15分，共30分） 1.解令1=e-1 e*-1=e*.t+t,te(-1,1), e*+l e(0-)=1+1,于是x=h}+ - 10分 故f)=n+x，x(-l, 15分 1-x 4.解f'(x)= 2x 15分 1+V√x2+22Wx2+2 四、证明题（每小题15分，共30分） 1.证明：若f(0)=0或f(1)=1,则x。可取为0或1. 否则有f(0)>0且f(I)0,p1)=f(1)-1<0 10分 由连续函数的介值定理知，至少有一点x∈(0,1)，使p(x)=0,即∫(x,)=x015分 2
2 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1．设 y = f (x) 是从 [0,1] 到 [0,1] 的连续函数，则存在点 [0,1] x0 ，使 n f x x 0 0 ( ) = ，其中 n 是一个非零自然数. 2．设 A, B,C 为三角形的三内角时，求证 8 1 2 sin 2 sin 2 sin A B C . 参考答案： 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．A；2.C；3.B；4.D；5.B. 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．{Φ,{甲},{乙},{甲,乙}} 2.等价关系；3.无限集；4. 2 2 1 2 ( ) sin(1 ln(1 )) x x f x x + = − + + ； 5. ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x . 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解 令 e 1 e 1 + − = x x t ，则 t t x x e −1 = e + ，t (−1,1) ， t t x e (1− ) = 1+ ，于是 t t x − + = 1 1 ln 10 分 故 x x f x − + = 1 1 ( ) ln ， x (−1,1) 15 分 4．解 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 + + + = x x x f x 15 分 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1.证明：若 f (0) = 0 或 f (1) = 1 ，则 0 x 可取为 0 或 1. 否则有 f (0) 0 且 f (1) 1, 设 n (x) = f (x) − x ， (x) 是 [0,1] 上 的 连 续函 数， 且 (0) = f (0) 0，(1) = f (1) −1 0 10 分 由连续函数的介值定理知，至少有一点 (0,1) x0 ，使 (x0 ) = 0 ，即 n f x x 0 0 （ ) = 15 分
2.证明已知s血x在(0，受内是上凸函数，故有 写m子4n分+m1m最提59 A B =n4+B+G0-月 10分 6 15分 2
3 2．证明 已知 sin x 在 ) 2 (0, 内是上凸函数，故有 ] 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ] sin[ 2 sin 2 sin 2 [sin 3 1 A B C A B C + + + + 2 1 ( ) 6 1 = sin A + B + C = 10 分 故有 8 1 ) 2 1 )} ( 2 sin 2 sin 2 (sin 3 1 { 2 sin 2 sin 2 sin 3 3 + + = A B C A B C 15 分
数学分析专题研究(07春)模拟试题参考答案 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.A:2.C:3.B:4.D:5.B. 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.{中，甲，{亿}，甲，乙}2.等价关系；3.无限集：4.f'(x)=-sn(1+n(1+x2) 2x 1+x2 5.f(cx,+(1-)x2)≤a(x)+(1-a)f(x2) 三、计算题（每小题15分，共30分） C则e-1=e1*,feew. 1.解令1=e-l e0-)=1+1,于是x=n1+ 10分 1-t 故f)=h}+x，xe(-lD 15分 1-x 2x 4.解f'(x)= 15分 1+√x2+22Wx2+2 四、证明题（每小题15分，共30分） 1.证明：若f(0)=0或f(1)=1,则xo可取为0或1. 否则有f(0)>0且f(I)0,p1)=f1)-1<0 10分 由连续函数的介值定理知，至少有一点x,∈(0,1)，使p(x)=0,即f(x)=x015分 2.证明已知血x在(0孕)内是上凸函数，故有 -Sin- 1A.1B:IC] “2 +1sm片+号2+9 B 2 =smg4+B+C)-月 10分 6 B 1 .B C 故有sin A.sin A 三·sn兰≤{-(sm7 -Sin- 15分 222 2 +sms8 “2 21
4 数学分析专题研究（07 春）模拟试题参考答案 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1．A；2.C；3.B；4.D；5.B. 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1．{Φ,{甲},{乙},{甲,乙}} 2.等价关系；3.无限集；4. 2 2 1 2 ( ) sin(1 ln(1 )) x x f x x + = − + + ； 5. ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x . 三、计算题（每小题 15 分，共 30 分） 1．解 令 e 1 e 1 + − = x x t ，则 t t x x e −1 = e + ，t (−1,1) ， t t x e (1− ) = 1+ ，于是 t t x − + = 1 1 ln 10 分 故 x x f x − + = 1 1 ( ) ln ， x (−1,1) 15 分 4．解 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 + + + = x x x f x 15 分 四、证明题（每小题 15 分，共 30 分） 1.证明：若 f (0) = 0 或 f (1) = 1 ，则 0 x 可取为 0 或 1. 否则有 f (0) 0 且 f (1) 1, 设 n (x) = f (x) − x ， (x) 是 [0,1] 上 的 连 续函 数， 且 (0) = f (0) 0，(1) = f (1) −1 0 10 分 由连续函数的介值定理知，至少有一点 (0,1) x0 ，使 (x0 ) = 0 ，即 n f x x 0 0 （ ) = 15 分 2．证明 已知 sin x 在 ) 2 (0, 内是上凸函数，故有 ] 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ] sin[ 2 sin 2 sin 2 [sin 3 1 A B C A B C + + + + 2 1 ( ) 6 1 = sin A + B + C = 10 分 故有 8 1 ) 2 1 )} ( 2 sin 2 sin 2 (sin 3 1 { 2 sin 2 sin 2 sin 3 3 + + = A B C A B C 15 分