试卷代号： 座位号 中央广播电视大学学年度第学期期末考试 数学与应用数学应用概率统计试题B卷 年 月 题号 三 四 总分 分数 一、 填空题（每空格3分，共30分） 1.设A、B为两个随机事件，“A、B都不发生”用事件运算关系可表述为 2.已知事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.6以及条件概率 PBA=O.8,则和事件AUB的概率P(AUB)为 3.设离散型随机变量X服从参数为(>0)的普阿松分布，已知P(X=1)=P(X=2), 则九=一 4.设X1~N4,),X2~N(2,引X1与X2独立，则(X1-2)服从参 数为 一一一和一一一的一一一分布。（每空1分，共3分） 5.设X与Y是两个相互独立的随机变量，D()人D(Y)分别为其方差，则 D(X+Y)=: 6.若随机变量X服从正态分布N(4,σ2)，则其概率密度函数p(x)= 7.设DX)=25,DY)=36,X与Y的相关系数p=0.4,则DX-Y) 为 8.设0是未知参数是日的一个估计，如果对任意0，均有E,()=0成立，则称6是0 的 估计： 9.设随机变量X~N(L,22),X1,X2,,Xn为取自X的简单随机样本，则统计量
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学与应用数学应用概率统计试题 B 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、 填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1．设 A、B 为两个随机事件，“ A、B 都不发生”用事件运算关系可表述为 ； 2．已 知事件 A 的概 率 P(A) = 0.5 ，事件 B 的概率 P(B) = 0.6 以及条 件概率 P(B A) = 0.8 ，则和事件 A B 的概率 P(A B) 为 ； 3．设离散型随机变量 X 服从参数为 (＞0) 的普阿松分布，已知 P(X =1) = P(X = 2) ， 则 = ； 4．设 ( ) 2 1 1 1 X ~ N , ， ( ) 2 2 2 2 X ~ N , ， X1 与 X2 独立，则 ( ) 1 2 2 1 X − X 服从参 数为 ———和———的———分布。（每空 1 分，共 3 分） 5．设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量， D(X )、D(Y) 分别为其方差，则 D(X + Y) = ； 6．若随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N ，则其概率密度函数 p(x) = ； 7 ． 设 D(X) = 25,D(Y) = 36 ， X 与 Y 的 相 关 系 数 = 0.4 ， 则 D(X −Y) 为 ； 8．设 ˆ 是未知参数是 的一个估计，如果对任意 ，均有 ) = ˆ E ( 成立，则称 ˆ 是 的 估计； 9．设随机变量 X N X X Xn ~ (1,2 ), , , , 1 2 2 为取自 X 的简单随机样本，则统计量
了-1服从参数为一的正态分布： 21n 10.设总体X服从正态分布N0,。2),X1,X2,,X2n是来自总体X的容量为2n的 样本，则统计量 Y=- X1+X2+…+XN 三服从 的分布。 X71+X22+…+X 二、判断题：若对回答“对”：若错回答“错”。（每小题2分，共20分） 1.X1,X2,,Xn是取自总体N(4,o2)的样本，则京=1夕X,服从N0,)分布：() n 2:若A与B相互独立，则AB=中，则P(A+B)=PA)+PB) () 3.设2={x|-o<x<+o},A=|0≤x<2},B={x|1≤x<3},则AB表示 {x|-o≤x<0Uxl1≤x<+o} 4.若事件A与B相互独立，则A与B一定互斥： () 5.设X1,X2,…,Xn为总体X的随机样本，若g（X1,X2,…,Xn)为一统计量， 则g（X1,X2,…,Xn)必为一连续函数： ( ) 6.设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A={甲胜乙负}，则A为{甲负乙胜}： () 7.已知二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度分别为fx(x),fr(y),则(X,Y)的联合 概 率 密 度 为 f(x.y)=fx(x)fy(v) ( ) 8. 若A、B为两个事件，则必有ABAB=B: 9.设随机变量X和Y的方差存在且不为零，若D(X+Y)=D(X)+D(Y)成立，则X
n X 2/ −1 服从参数为 的正态分布； 10.设总体 X 服从正态分布 ( ) 2 N 0, ， X1 X2 X2n , , , 是来自总体 X 的容量为 2n 的 样本，则统计量 2 2 2 2 2 1 1 2 n n n N n X X X X X X Y + + + + + + = + + 服从 的分布。 二、判断题：若对回答“对”；若错回答“错”。（每小题 2 分，共 20 分） 1．X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 N(0,1) 分布；（ ） 2．；若 A 与 B 相互独立，则 AB = ，则 P(A+ B) = P(A)+ P(B) （ ） 3．设 = x | −＜x＜+ ， A = x | 0 x＜2， B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | − x＜0x |1 x＜+ ； （ ） 4 ． 若 事 件 A 与 B 相 互 独 立 ， 则 A 与 B 一 定 互 斥 ； （ ） 5．设 X X Xn , , , 1 2 为总体 X 的随机样本，若 g （ X X Xn , , , 1 2 ）为一统计量， 则 g （ X X Xn , , , 1 2 ） 必 为 一 连 续 函 数 ； （ ） 6．设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件 A ={甲胜乙负}，则 A 为{甲负乙胜}； （ ） 7．已知二维随机变量 (X,Y) 的边缘概率密度分别为 f (x) f (y) X ， Y ，则 (X,Y) 的联合 概率密度为 f (x y) f (x)f (y) = X Y , ； （ ） 8 ． 若 A、B 为 两 个 事 件 ， 则 必 有 AB AB = B ； （ ） 9．设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不为零，若 D(X + Y) = D(X ) + D(Y) 成立，则 X
和 Y 定 相 关 () 10.设X~N(4,)，X,X2,X;来自于总体X的样本， n-x++ 1 X3是μ的无 5 偏 估 计 量 () 三、计算题（每小题7分，共35分） 1.设随机变量X的概率分布律为： 1 3 10 求Y=X2的概率分布律。 2.设在某一规定的时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个 连续型的随机变量，其概率密度为 x,0≤x≤1500 15002 f(x)= (x-3000),1500<x≤3000 15002 0,其他 求E(X)。 3.已知随机变量X的概率密度为px)=AH,-0<x<+oo,试求(1)常数A: (2)P0<X<1 4.设(5，n)的密度函数为px,y)= ∫Cxy2,0<x<1,0<y<1 求常数C,并 其他 判断5与n是否相互独立？ 5.设X1,X2,,Xn是取自正态总体N(0,σ2)的一个简单随机样本，其中σ2是待估 计的参数，用最大似然估计来估计。2
和 Y 一定相关； （ ） 10. 设 X ~ N(, 1) ， 1 2 3 X , X , X 来自于总体 X 的样本， 1 2 3 5 1 5 2 5 2 ˆ = X + X + X 是 的无 偏 估 计 量 ； （ ） 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1．设随机变量 X 的概率分布律为： X - 2 - 1 0 1 3 pk 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 求 2 Y = X 的概率分布律。 2．设在某一规定的时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间 X （以分计）是一个 连续型的随机变量，其概率密度为 ( ) − − = ，其他 ， ， 0 3000 1500 3000 1500 1 0 1500 1500 1 ( ) 2 2 x x x x f x 求 E(X )。 3．已知随机变量 X 的概率密度为 = − + − p x Ae x x ( ) , ，试求（1）常数 A ； （2） P0 X 1 4．设（ , ）的密度函数为 其他 , 0 1, 0 1 0, ( , ) 2 = Cxy x y p x y ，求常数 C ，并 判断 与 是否相互独立？ 5．设 X X Xn , , , 1 2 是取自正态总体 (0, ) 2 N 的一个简单随机样本，其中 2 是待估 计的参数，用最大似然估计来估计 2
四、证明题(15分) 某人向平面靶射击，假设靶心位于坐标原点。若弹着点的坐标(X,Y)服从二维正态分 布 -x2+y2 )以=1 2no?e 2 试证明弹着点到靶心距离Z的概率密度为 2)- ,z>0 0,2≤0 参考答案： 一、填空题（每空格3分，共30分） 1.AB 2.0.7 3.2 4.4-, +0立，正态 2 2 5.D(X)+D(Y) (x-4} 1 6. e 2a2 GN2π 7.37 8.无偏 9.(0,1) 10.tn
四、证明题（15 分） 某人向平面靶射击，假设靶心位于坐标原点。若弹着点的坐标 (X,Y) 服从二维正态分 布 ( ) 2 2 2 2 2 1 , x y f x y e + − = 试证明弹着点到靶心距离 Z 的概率密度为 ( ) = − 0 0 0 2 2 2 2 z e z z f z z Z ， ， 参考答案： 一、填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1． AB 2. 0.7 3. 2 4. 2 1 − 2 ， 2 2 2 2 1 + ，正态 5. D(X ) + D(Y) 6. 2 2 2 ( ) 2 1 − − x e 7.37 8.无偏 9. (0,1) 10. t(n)
二、判断题（每小题2分，共20分） 1.错 2.错 3.错 4.错 5.错 6.错 7.错 8.错 9.错 10.对 三、计算题（每小题7分，共35分） 1.解：由于随机变量X的概率分布律为： 0 1 3 2 个 1 1 1 56 5 15 30 故Y=X2的可能取值为：0,1,4,9。 (1分) 对应的概率分别为： PY=0)=PX2=0)=PX=0)= 1 (1分) PY=)=PX2=)=PX=-I)+PX=)=L+1=7 615=30 (1分) PW=4=PX2=4)=PX=-2)+PX=2)=5 1 1 +0= (1分) PY=9)=P(X2=9)=P(X=-3)+P(X=3)=0+ 1111 (1分) 3030 最后列成概率分布表为： Y 0 1 4 9 11 5 305 30
二、判断题（每小题 2 分，共 20 分） 1．错 2. 错 3. 错 4. 错 5. 错 6. 错 7. 错 8. 错 9. 错 10.对 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1．解：由于随机变量 X 的概率分布律为： X - 2 - 1 0 1 3 pk 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 故 2 Y = X 的可能取值为：0，1，4，9。 （1 分） 对应的概率分别为： 5 1 ( 0) ( 0) ( 0) 2 P Y = = P X = = P X = = ； （1 分） 30 7 15 1 6 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = ； （1 分） 5 1 0 5 1 ( 4) ( 4) ( 2) ( 2) 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = ； （1 分） 30 11 30 11 ( 9) ( 9) ( 3) ( 3) 0 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = 。 （1 分） 最后列成概率分布表为： Y 0 1 4 9 pk 5 1 30 7 5 1 30 11
(2分) 注：此题若没有求解过程，而直接列出上述概率分布表也不扣分。 1500 3000 2·解： 1500 5分 =1500 2分 注：此题列出计算式子最重要，答对给5分：计算结果正确给2分。 3.解： (1)由于px)t=Aek=2Ae=l 即 2,本所以pn=e, (3分) (4分) 4解：因为1=贰Cy=号，所以C=6: (3分) 取g(x)=6x,(0<x<1) hy)=y2,(0<y<1) ，则 有 p(x,y)=g(x)h(y),p(x,y)可分离变量，故5与n相互独立。 (4分) 注：在验证与n是否相互独立时，也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求 积分得到两个边缘密度函数。 i=1 bo2r 2o2 2分 ∑x hd2）=-nero2 2分 2o2 求最大值时，不妨将。2看成一个变量。由
（2 分） 注：此题若没有求解过程，而直接列出上述概率分布表也不扣分。 2 ． 解 ： ( ) dx x xdx x E X x f x dx = = + − − + − 3000 1500 2 1500 0 2 2 3000 1500 1 1500 ( ) 5 分 =1500 2 分 注：此题列出计算式子最重要，答对给 5 分；计算结果正确给 2 分。 3． 解： （1）由于 ( ) 2 1 0 = = = + − + − − + − p x dx Ae dx A e dx x x 即 2A=1，A= 2 1 ，所以 x p x e − = 2 1 ( ) ； （3 分） （2） 2 1 2 1 {0 1} 1 1 0 − − − = = e P X e dx x ； （4 分） 4．解：因为 6 1 1 0 1 0 2 C = Cxy dxdy = ，所以 C = 6 ； （3 分） 取 g(x) = 6x, (0 x 1) ； ( ) , (0 1) 2 h y = y y ，则有 p(x, y) = g(x) h( y), p(x, y) 可 分 离 变 量 ， 故 与 相 互 独 立 。 （4 分） 注：在验证 与 是否相互独立时，也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求 积分得到两个边缘密度函数。 5．解：似然函数 ( ) ( ) = − = 2 1 2 2 2 2 2 exp 2 1 n i i n X L 2 分 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 ln 2 2 ln = = − − n i Xi n L 2 分 求最大值时，不妨将 2 看成一个变量。由
anie?)n +1 =0 -2分 dg2】 2.2 2o4 。2-1x好 1分 n i=1 四、证明题(15分) 证明：依题意，Z=√X2+Y2,先求Z的分布函数。 当z≤0时，Fz(2)=0: 1分 当z>0时， x2+y2 F0=收sPr2+rs小id e 202dxdy 5分 x2+y2≤： 2π ofe2a2pdp=1-e2a 4分 00 因此 F2e)={1-e2o2,:>0 1分 0,z≤0 对z求导，得Z的概率密度 fz(E)= 。e o2,2>0 4分 0,z≤0
( ) ( ) 0 2 2 ln 4 1 2 2 2 2 = − + = = n i Xi n d d L -2 分 得 = = n i Xi n 1 2 1 2 1 分 四、证明题（15 分） 证明：依题意， 2 2 Z = X +Y ，先求 Z 的分布函数。 当 z 0 时， FZ (z) = 0 ； 1 分 当 z 0 时， F (z) PZ z P X Y z e dxdy x y z x y Z + + − = = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 分 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 1 2 1 z z d e d e − − = = − 4 分 因此 ( ) = − − 0 0. 1 0 2 2 2 z F z e z z Z ， ， ； 1 分 对 z 求导，得 Z 的概率密度 ( ) = − 0 0 0 2 2 2 2 z e z z f z z Z ， ， 4 分