§15-8状态方程 动态网络的分析方法,按照描述网络的微分方程 可分为输入输出法和状态变量法 汁i u t L L L y L L十 R R i=C阝 d l du LC 十 = dt< dt U/0(S)=H(S)×E(S)
( ) 2 2 u e t dt du R L dt d u LC C C C + + = §15-8 状态方程 U0(S) = H(S) E(S) 动态网络的分析方法，按照描述网络的微分方程 可分为输入输出法和状态变量 法。 R L C e(t) + - u c i L i C u o + uL - u u e(t) L + C = dt di u L L L = R u i i C L = C + dt du i C C C =
基本概念 (1)状态变量 在分析网络(或系统)时,在网络内部选一组最少数量的 特定变量X,X=X1X2……Xa,只要知道这组变量在某 时刻值X(t再知道输入e(t)就可以确定t及t以后任何时刻网 络的性状(响应),称这一组最少数目的特定变量为状态变量。 X(t0) Y(t,(t≥t0) e(),(t≥t0)
一. 基本概念 (1)状态变量 在分析网络(或系统)时，在网络内部选一组最少数量的 特定变量X，X=[X1 ,X2……Xn ] T ，只要知道这组变量在某一 时刻值X(t0 ),再知道输入e(t)就可以确定t0及t0以后任何时刻网 络的性状(响应)，称这一组最少数目的特定变量为状态变量。 ( ) 0 X t ( ),( ) 0 e t t t ( ),( ) 0 Y t t t
例 已知:R=3g L e(t)=20sin(ot+30°) cT"。Hac(0-)=3 (0_)=0A 求:i(04)u(04)iR(0+),L(0+) 解:由 R(0+)=3 c(0+)=3 i(0+)=0 可求出(0)=7 iR(0+)=1A e(0)=10V 0+) 1A
已知: R=3 i A u V e t t L C (0 ) 0 (0 ) 3 ( ) 20sin( 30 ) = = = + − − 求： (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) C + L + R + uR + i ，u ，i ， 解：由 uL (0+ ) = 7V uR (0+ ) = 3V i A i A C R (0 ) 1 (0 ) 1 = − = + + (0 ) 0 (0 ) 3 = = + + L C i u V e(0)=10V R L C e(t) + - u c i L i C u o 例 ： 可求出
同理可推广至任一时刻t1 可由 (t) L1(t1 Ll(t)求出 (t1) uc、i称为状态变量。它们的初值和激励e()起可 以确定该电路在任何时刻的性状。 由此例可知: (1)状态变量和储能元件有关; (2)有几个独立的储能元件,就有几个状态变量
同理可推 广至任一时刻 t1 可由 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 i t u t t L c e 求出 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i t i t u t u t c R L R 由此例可知： (1)状态变量和储能元件有关； (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 。 uC、iL 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可 以确定该电路在任何时刻的性状
2状态方程 对状态变量列出的一阶微分方程为状态方程。 设 为状态变量 则: IL dt R C R e() u,=L-L=e(t)-uc dt 整理得 +2 dt Rc c 状态方程 Pi u e( L
2.状态方程 对状态变量列出的一阶微分方程为状态方程。 设uc、iL为状态变量 则： dt R d c uc i L uc ic = = − C L L e t u dt di u = L = ( ) − dt RC c d uc uc i L = − + L e t dt L d i L uc ( ) = − + 整理得 R L C e(t) + - u c i L i C uo 状态方程
矩阵形式 Rc c C 0 dt rc cue e(t) +1e(t) L L 0 i dt L 特点:(联立一阶微分方程组X(0)2/“2O073 i(0)」L0 (2)左端为状态变量的一阶导数 (3)右端含状态变量和输入量 般形式:Xl=l川X+Bl X]=[ 15~2 nxn nxr dt’at’at n:状态变量个数r:输入激励数
矩阵形式： 1 ( ) 0 0 1 1 1 e t L L RC C dt d dt d i u i u L c L c + − − = [X] = [A][X]+[B][V] • = = 0 3 (0) (0) (0) L C i u X 特点： (1)联立一阶微分方程组 (2)左端为状态变量的一阶导数 (3)右端含状态变量和输入量 一般形式： n T dt dx dt dx dt dx [X] [ , , ] = 1 2 • n:状态变量个数 r：输入激励数 \ nn \ nr T X x x xn [ ] [ , , ] = 1 2 dt RC c d uc uc i L = − + L e t dt L d i L uc ( ) = − +
uc +e(t) 3输出方程 Cti R L L L R R R R e L R e 特点:(1)代数方程 0 R (2)用状态变量和输入量 表示输出量 R R 般形式:Y=CX+DHvm为输出变量数 mn mr
3.输出方程 ( ) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 e t R R u i u i u i L c R R c L + − − = 特点：(1)代数方程 (2)用状态变量和输入量 表示输出量 一般形式： [Y]=[C][X]+[D][V] R L C e(t) + - u c i L i C u o m*n m*r m为输出变量数 R u i u u i R u i u u e t C R R C L C C L C = = = − + = − + ( )
二.状态方程的列写 1直观法 基本思想: (1)线性电路以i,u为状态变量。 (2)对含有电容的支路,选择一个节点列出KCL方程, 在方程中包括c项; dt (3)对含有电感的支路,选择一个回路列出KVL方程, 在方程中包括项; dt (4)保留状态变量和输入激励,消去非状态变量
二. 状态方程的列写 1.直观法 (1) 线性电路以iL ,uc为状态变量。 (2)对含有电容的支路，选择一个节点列出KCL方程， 基本思想： 在方程中包括 项 ； dt duc (3)对含有电感的支路，选择一个回路列出KVL方程， 在方程中包括 项 ； dt diL (4)保留状态变量和输入激励，消去非状态变量
C 设ua,li,i12.为状态变量 C R C LI R LI dt LI u C lI1+I dt LI L2 L2 dt LI c +ictus L2 R R LI TLL2 消去非状态量 R L2 l1=u-(in1+i2)R1+
设uc , iL1， iL2为状态变量 C C S L u i R u dt di L = + 1 + 1 1 L R L u R i dt di L 1 2 2 2 = − 消去非状态量 ic= - (iL1 +iL2 ) iR = is +iL2 uL1= uc -(iL1 +iL2 )R1 +us L1 L2 C i i dt du −C = + C C i dt du C = 1 1 1 L L u dt di L = 2 2 2 L L u dt di L = us R 1 C L1 L 2 R 2 i s - + uC iL2 iL1 iR + - iC
=L1+l2 dt d i LI =uC-GLI+iLri+us B 2 dt uc-(i,+ucR(is+ilz L2 u C 0 C LI RI 0 dt L2 R R1+R,‖L2 R dt 2 L2
− + + − − − − − − = s s L L C L L C i u L R L L i i u L R R L R L L R L R L C C d t d i d t d i d t d u 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 L1 L2 C i i dt du −C = + C L L S L u i i R u dt di L = − 1 + 2 1 + 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 C L L S S L L u i i R u R i i dt di L = − + + − + C i uL1 R i