第13章拉普拉斯变换 13-1拉普拉斯变换的定义 13-2拉普拉斯变换的性质 13-3拉普拉斯反变换 13-4运算电路 13-5应用拉普拉斯变换分析电路
13-1 拉普拉斯变换的定义 第13章 拉普拉斯变换 13-2 拉普拉斯变换的性质 13-3 拉普拉斯反变换 13-4 运算电路 13-5 应用拉普拉斯变换分析电路
§13-1拉普拉斯变换的定义 对于一阶电路、二阶电路,根据基尔霍夫定律和元件 的VCR列出微分方程,根据换路后动态元件的初值求解微分 方程。对于含有多个动态元件的复杂电路,用经典的微分 方程法来求解比较困难(各阶导数在t=0时刻的值难以确 定)。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法,可将时 域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解 时域拉氏变换频域 微分 代数□→求解 拉氏逆变换时域 方程 方程 解 优点:不需要确定积分常数,适用 于高阶复杂的动态电路
§13-1 拉普拉斯变换的定义 对于一阶电路、二阶电路，根据基尔霍夫定律和元件 的VCR列出微分方程，根据换路后动态元件的初值求解微分 方程。对于含有多个动态元件的复杂电路，用经典的微分 方程法来求解比较困难（各阶导数在t=0+时刻的值难以确 定）。拉氏变换法是一种数学上的积分变换方法，可将时 域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。 时域 微分 方程 频域 代数 方程 拉氏变换 拉氏逆变换 求解 时域 解 优点：不需要确定积分常数，适用 于高阶复杂的动态电路
相量法:正弦量i1+i2=i 正弦运算简化 为复数运算 相量i,+i,=i 拉氏变换定义:一个定义在0,∞)区间的函 数f),它的拉氏变换定义为: + F(S)=f(t)e -tdt 式中:S=+j(复数) f(称为原函数,是t的函数。 F(s)称为象函数,是s的函数
相量法： i + i = i 正弦量 1 2 正弦运算简化 为复数运算 拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函 数 f(t)，它的拉氏变换定义为： 0 F( S ) f (t )e dt st + − − = 式中：s = + j (复数) f(t) 称为原函数，是t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。 • • • I + I = I 1 2 相量
F(S)= f(t)e sdt 拉氏变换存在条件:对于一个函数f(,若存在正的有限值 M和c,使得对于所有t满足: f(t≤Me 则f(的拉氏变换F(S)总存在 0积分下限从0开始,称为0拉氏变换。 0←积分下限从0开始,称为0拉氏变换 积分下限从0开始,可以计及=0时f所包含的冲激
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足： 0 F( S ) f (t )e dt st + − − = Mect f (t ) 则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。 积分下限从0− 开始，称为0− 拉氏变换。 积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。 + − 0 0 0 积分下限从0− 开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激
拉氏反变换:如果F(s)已知,由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反 变换,它定义为: f(1)=,-F(S 2 记作:f(t)=L[F(s) 特殊情况:当=0,s=jo,且积分下限为-∞时 拉氏变换就是傅立叶变换 F(j)=f(t)emr正变换 一0 傅立叶变换 f(t)= F(j0)eld反变换 2丌
= = − + − − 反变换 正变换 2 1 f (t ) F ( j )e d F ( j ) f (t )e d t j t j j j t 傅立叶变换 拉氏反变换：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的变换称为拉氏反 变换，它定义为： F( S )e ds j f (t ) st j j + − = 2 1 特殊情况：当 =0，s=j，且积分下限为－∞时， 拉氏变换就是傅立叶变换 ( ) [ ( )] 1 f t L F s − 记作： =
例13-1求以下函数的象函数。 (1)指数函数 Lle=e"e"dt s-a)t 0 5-a (2)单位阶跃函数 L()1(h=me"h=-1en=1 当a=0时e“(1)=E(t) (3)单位冲激函数 L6()-r()ct=6(l=1
(2)单位阶跃函数 (1)指数函数 s a e s a L e e e dt a t a t s t s a t − = − = = − − − − − 1 0 1 [ ] ( ) 0 s e s L t t e dt e dt s t s t s t 1 0 1 [ ( )] ( ) 0 0 = = = = − − − − − − + a 0 e (t) (t) at = = 当 时 − (3)单位冲激函数 [ ( )] ( ) ( ) 1 0 0 0 0 = = = + − − − − L t t e dt t e dt s t s 例13-1 求以下函数的象函数
§13-2拉普拉斯变换的基本性质 线性 若L!f1()=F1(S),L/2()=F2(S) A Lafi(t)+bf2(0]=aF(S)+bF(S) 证:可f()+bf2()lr =f1()et+ 0 bf,(t)e dt =aF(S)+bF,(s)
§ 13-2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性 [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 若L f1 t = F1 S L f2 t = F2 S ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 0 2 0 1 0 1 2 aF S bF S af t e dt bf t e dt af t bf t e dt s t s t s t = + = + + − − − 证 ： [ ( ) ( )] 1 2 则 L af t + bf t ( ) ( ) = aF1 S + bF2 S
例132若:1)()= sin(at) 2)∫(t)=k(1-e") 上述函数的定义域为[0,∞],求其象函数 AF 1LIsin(a)]=LI(e/or-e Jax ) 2i 2iS-jo S+jo S+a 2)LK(1-e)=LK-LKe“ K k sS+a S(s+a)
2 2 ] 1 1 [ 2 1 ( )] 2 1 1) [sin( )] [ + = + − − = = − − S j S j S j e e j L t L 解 ： j t j t 例13-2 若： 2) ( ) (1 ) 1) ( ) sin( ) at f t k e f t t − = − = 上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。 ( ) 2) [ (1 )] [ ] [ ] s s a Ka s a K s K L K e L K L Ke a t a t + = + = − − = − − −
二、导数性质 uav = uv- vau 1.时域导数性质 u=es, dv=df(t) 设:Lf(t=F(S,则: d(n1=SF(S)-f(0) :mf(ta"=le“u() dt sPSt f(oo f(2(s)d =SF(S)-f(0)
二 、导数性质 1. 时域导数性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ = − − SF S f dt df t L ( ) (0 ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − − − − − − = − − − = = − − − SF S f e f t e f t s dt e dt e df t dt df t s t s t 证 ： s t s t 设：L[ f (t)] = F(S), 则： u e ,dv df (t ) udv uv vdu st = = = − −
例13-3应用导数性质求下列函数的象函数: 1)f(t)=c0s(Of); 2)f(t)=(t) AF: 1)Lcos(at)=LL(sin(at)) (S 0) 2 0S-+ s+0 2由于8(t) 女e(t),LE(D) (以)=D6(切≈n1 s--0=1
2 2 2 2 ( 0) 1 (sin( ))] 1 :1) [cos( )] [ + − = + = = s s s s t dt d 解 L t L 例13-3 应用导数性质求下列函数的象函数： 2) ( ) ( ). 1) ( ) cos( ); f t t f t t = = 0 1 1 [ ( )] [ ( )] 1 2) ( ) ( ), [ ( )] = = − = = = s t s dt d L t L s t L t dt d t 由 于