高级微观经济学(均衡理论)讲稿整理二 (05年11月28日上课内容) 授课:Prof. Gene Chang(张欣教授) 复旦大学和 Un i versity of toledo,USA genechang@buckeye-express com 内容:一般均衡理论,一般非均衡理论,一般均衡的应用 参考教材: Hal varian《 Microeconomic Ana lys is》 Jehle and Reny Advanced Microeonomi c Theory Mas-colell, Whinston and green , Microeconomic theory 记录整理:韩丽妙,emaiI:052015041@fudan.edu.cn 帮助整理:苗瑞卿,emaiI:miaoruiging@126.com
高级微观经济学（均衡理论）讲稿整理二 （05 年 11 月 28 日上课内容） 授课：Prof. Gene Chang （张欣 教授） 复旦大学 和 University of Toledo, USA. genechang@buckeye-express.com 内容：一般均衡理论，一般非均衡理论，一般均衡的应用 参考教材：Hal Varian 《Microeconomic Analysis》 Jehle and Reny “Advanced Microeonomic Theory” Mas-Colell, Whinston and Green, “Microeconomic Theory” 记录整理：韩丽妙， email：052015041@fudan.edu.cn 帮助整理：苗瑞卿， email：miaoruiqing@126.com 1
在1.3我们讨论了为保证一般均衡的存在,消费方面必须满足的一些条件,在 1.4中我们将继续讨论为保证一般均衡的存在,在生产集方面必须满足的条件 这些条件主要是 Debreu建立的 1.4生产理论 我们研究的经济共有j=1,…,n个商品和市场。厂商k在可行的条件下有不同生产 计划选择。每个生产计划记为y4=(y,y")。若y0,则k为生产中的纯产出品 下面为了记号简洁,我们假设一个厂商生产一种商品,所以共有j=1…,n个厂商 和商品。厂商k的所有可供选择的生产计划为他的生产可能性集,或生产集。即 y:表示厂商j的生产集,y=Uy Y:表示整个经济的生产集,Y=∑y 基本假设 对任何一个厂商而言,为了保证一般均衡的存在,其生产集应该满足以下条件。 (1){0}∈Y,∈R 生产集在实数空间。原点0}属于生产集,表示所有的投入与产出都为0。这意 味着工厂可以无所作为,既不生产,也不投入 (2)y,∩R"=0},即生产集和正空间的唯一交集是{0 正空间({0}除外)不属于生产集。正空间vy≥0({0}除外)为只有产出,没 有投入的情况,不存在。“没有免费的午餐”。 (3)Y=UY是闭集。也就是说,Y和Y都是连续的 闭集意味着连续性。闭集的特性是,所有收敛的序列{y}∈的极限y也∈Y 这也是连续性的描述 (4)y和y都是凸的;
在 1.3 我们讨论了为保证一般均衡的存在，消费方面必须满足的一些条件，在 1.4 中我们将继续讨论为保证一般均衡的存在，在生产集方面必须满足的条件。 这些条件主要是 Debreu 建立的。 1.4 生产理论 我们研究的经济共有 j = 1,...,n个商品和市场。厂商k 在可行的条件下有不同生产 计划选择。每个生产计划记为 1 ( ,..., ) n k k = y y k y 。若 j k y 0，则k 为生产中的纯产出品。 k k j y 下面为了记号简洁，我们假设一个厂商生产一种商品,所以共有 j = 1,...,n 个厂商 和商品。厂商k 的所有可供选择的生产计划为他的生产可能性集，或生产集。即： Yj ：表示厂商 j 的生产集，Yj = j Uy ； Y ：表示整个经济的生产集， n j j Y Y = ∑ ； 二, 基本假设 对任何一个厂商而言，为了保证一般均衡的存在，其生产集应该满足以下条件。 (1) n }0{ j ∈∈ RY 生产集在实数空间。原点 属于生产集，表示所有的投入与产出都为 0。这意 味着工厂可以无所作为，既不生产，也不投入。 }0{ (2) = }0{ ，即生产集和正空间的唯一交集是 ； + n j I RY }0{ 正空间（ }0{ 除外）不属于生产集。正空间 0 k j ∀y ≥ （ 除外）为只有产出，没 有投入的情况，不存在。“没有免费的午餐”。 }0{ (3) 是闭集。也就是说， 和 = UYY j Y 都是连续的。 Yj 闭集意味着连续性。闭集的特性是，所有收敛的序列{ }i j ∈Yj y 的极限 j y 也 。 这也是连续性的描述。 ∈Yj (4) 和Y 都是凸的； Yj 2
含义:Vy,y∈Y,t∈[O,都有+(1-y∈Y。这里意味着生产函数是收 益恒等或收益递减的。 (5)yn-y={0 表示生产是不可逆的( irreversibility)s除了原点{0},若y1∈Y,那么-y;g,。 例如:若(2-1)∈y,那么(-21)gY 显然,若y是严格凸的,那么必满足不可逆性;若y是非严格凸的( weakly convex),当它在二维空间生产边界是一条过原点的直线时,为满足不可逆性, 该直线关于原点对称的两段不能同时属于生产集Y。如下图所示 图一,y(阴影部分)为严格凸的,必满足不可逆性; 图二,Y(阴影部分)为非严格凸的,关于原点对称的生产边界上的生产点不能同 时属于H;
含义： yy "' jjj tY ∈∀∈∀ ],1,0[,, 都有 ' " )1( j j −+ tt yy ∈Yj 。这里意味着生产函数是收 益恒等或收益递减的。 (5) =− }0{ I YY jj 表示生产是不可逆的(irreversibility)。除了原点 ,若}0{ j ∈Yj y ，那么 。 − ∉j Yj y 例如：若 ，那么 ∈− Yj )1,2( − ∉Yj )1,2( 。 显然，若 是严格凸的，那么必满足不可逆性；若 是非严格凸的(weakly convex)，当它在二维空间生产边界是一条过原点的直线时，为满足不可逆性， 该直线关于原点对称的两段不能同时属于生产集 。如下图所示： Yj Yj Yj 图一, (阴影部分)为严格凸的，必满足不可逆性； Yj 2 j y 1 j y o 图二, (阴影部分)为非严格凸的，关于原点对称的生产边界上的生产点不能同 时属于 ； Yj Yj 3
或者 (6)-R"∈Y 生产集包括负数空间。这意味着可以“免费扔弃( free disposa1)”。厂商 可以只有投入,没有产出,如下图二维空间的情况所示的第三象限。厂商也可以 不开足生产能力生产,如下图S1和S2的区间。 第三象限的所有点(阴影部分S2)在生产集内,此时所有的y4<0,即只有 投入,没有产出
2 j y 1 j y o 或者： 2 j y 1 j y o (6) j n + ∈− YR 生产集包括负数空间。这意味着可以“免费扔弃(free disposal)”。厂商 可以只有投入，没有产出，如下图二维空间的情况所示的第三象限。厂商也可以 不开足生产能力生产，如下图 S1 和 S2 的区间。 第三象限的所有点（阴影部分 S2）在生产集内，此时所有的 ，即只有 投入，没有产出。 k j y < 0 4
由于Y,是严格凸的,结合(4)不难证明S1,S2区域(如上图所示)也在生产集内 简要图示证明如下: 如上图所示,y∈S2,Vy∈S1,则由于Y是凸集,所以y与y连线上的点都 在y内,依此类推,可知S1内的点都在生产集内;同理可证S2内的点也都在生 产集内。 生产函数的凹凸性 以前在学厂商理论的时候,多用生产函数的方式来讨论生产技术的特性。现 在我们回顾一下生产函数,然后讨论生产函数和生产集和一般均衡的关系 1,生产函数的凹凸性与一般均衡的存在
S1 S3 2 j y 1 j y o S2 由于 是严格凸的，结合(4)不难证明 S1,S2 区域（如上图所示）也在生产集内； Yj 简要图示证明如下： ' j y − " j y − S1 S3 2 j y 1 j y o S2 如上图所示， ，则由于 是凸集，所以 与 连线上的点都 在 内，依此类推，可知 S1 内的点都在生产集内；同理可证 S2 内的点也都在生 产集内。 1,2 ' " SySy j j ∈∀∈∀ − − Yj ' j y − " j y − Yj 三, 生产函数的凹凸性 以前在学厂商理论的时候，多用生产函数的方式来讨论生产技术的特性。现 在我们回顾一下生产函数，然后讨论生产函数和生产集和一般均衡的关系。 1，生产函数的凹凸性与一般均衡的存在 5
首先注意,函数的凹凸性和集合的凸性是不同的概念,虽然它们有关联。生产函 数一般写成y=f(x)。x为投入,是个向量。f(x)为产出,是个单值。在生产集 内,是给定投入能达到的最大产出。数学表达为f(x)=max{:(z,-x)∈Y}。 我们先看生产函数的特性。我们下面用单个投入的简单生产函数图示 (1)生产函数是严格凹的( strictly concave) f(x)= B y=f(x) 此时厂商为实现成本最小化,会在生产函数y=f(x)的斜率等于处生产,投 P 入为x,产量为y。我们可以确定一个单一的产出点 (2)生产函数是非严格凹的( weakly concave) y=f(x) 除了前面讨论过的生产函数严格凹的情况,这里允许规模报酬恒等的情况存在, 如上图所示。在规模报酬恒等的情况下,函数的斜率∫(x)是个常量。产出由价 格和斜率的关系决定。有下列三种情况
首先注意，函数的凹凸性和集合的凸性是不同的概念，虽然它们有关联。生产函 数一般写成 y = f ( ) x 。x 为投入,是个向量。 f ( ) x 为产出，是个单值。在生产集 内， 是给定投入能达到的最大产出。数学表达为 f ( ) max{ : ( , ) } x x = zz Y − ∈ 。 我们先看生产函数的特性。我们下面用单个投入的简单生产函数图示。 (1)生产函数是严格凹的(strictly concave) * x * y '( ) x y p f x p = x y 0 = xfy )( 此时厂商为实现成本最小化，会在生产函数 = xfy )( 的斜率等于 y x p p 处生产，投 入为 ，产量为 。我们可以确定一个单一的产出点。 * x * y (2)生产函数是非严格凹的(weakly concave) x y o = xfy )( 除了前面讨论过的生产函数严格凹的情况，这里允许规模报酬恒等的情况存在， 如上图所示。在规模报酬恒等的情况下，函数的斜率 f '( ) x 是个常量。产出由价 格和斜率的关系决定。有下列三种情况。 6
当价格等于斜率∫(x)时,y=∫(x)上的任何点都满足成本最小化的条 P 件,产出可以是从0到无穷大。所以不能确定特定的产量。如果一般均衡存在 它的均衡价格必须等于斜率∫(x)。 当价格P小于斜率∫(x)时,即x的边际产出恒大于P,生产越多利润越 P 大,此时产出趋向+∞。这种情况下一般均衡不存在。 当竺大于斜率∫(x)时,生产会造成亏损,此时厂商产量为0 P (3)生产函数是凸的( convex) y=f(x) 这是规模报酬递增,生产越多利润越高,所以产出会趋于+∞; 总结(1)(2)(3)可知,只有当生产函数y=f(x)是严格凹的时候,才可能保证有 单一的最优生产点,继而保证一般均衡的存在。在非严格凹的情况下也可能,但 有更多的限制条件。接下来我们从生产集的凹凸性入手来讨论一般均衡的存在 条件。 2,生产集的凹凸性与一般均衡的存在 经济学文献中经常讲到,“技术是凸性的”。这里有两种定义。比较广泛使用的 定义是指生产集Y是凸集。这也是我们用的定义。也有人将“凸性技术”定义为 “投入要素集是凸集”。其中投入要素集V,={x:∫(x)≥}。这这两种定义实 际是不同的 通过图一,图二可比较这两种定义的区别 图一:Y是凸集,投入要素集V也是凸集。这里意味着生产函数是凹的,例如规 模报酬递减的情况
当价格 y x p p 等于斜率 f '( ) x 时， = xfy )( 上的任何点都满足成本最小化的条 件，产出可以是从 0 到无穷大。所以不能确定特定的产量。如果一般均衡存在， 它的均衡价格必须等于斜率 f '( ) x 。 当价格 y x p p 小于斜率 f '( ) x 时，即 x 的边际产出恒大于 y x p p ，生产越多利润越 大，此时产出趋向 。这种情况下一般均衡不存在。 ∞+ 当 y x p p 大于斜率 f '( ) x 时，生产会造成亏损，此时厂商产量为 0； (3)生产函数是凸的(convex) x y o = xfy )( 这是规模报酬递增，生产越多利润越高，所以产出会趋于+ ∞ ； 总结(1)(2)(3)可知，只有当生产函数 y = f ( ) x 是严格凹的时候，才可能保证有 单一的最优生产点，继而保证一般均衡的存在。在非严格凹的情况下也可能，但 有更多的限制条件。 接下来我们从生产集的凹凸性入手来讨论一般均衡的存在 条件。 2，生产集的凹凸性与一般均衡的存在 经济学文献中经常讲到，“技术是凸性的”。 这里有两种定义。比较广泛使用的 定义是指生产集Y 是凸集。这也是我们用的定义。也有人将“凸性技术”定义为 “投入要素集是凸集”。其中投入要素集V ,V f = {: () } x x ≥ y 。这这两种定义实 际是不同的。 通过图一，图二可比较这两种定义的区别。 图一：Y 是凸集，投入要素集V 也是凸集。这里意味着生产函数是凹的，例如规 模报酬递减的情况。 7
图二:Y不是凸集,投入要素集V是凸集。这时的生产函数是拟凹的,例如规模 报酬递增的情况。 所以定义一比定义二的要求更严格 推论( Proposition) 若厂商j的生产集y是严格凸的,那么y对应的生产函数是严格凹的 若厂商j的生产集Y,是凸的,那么Y对应的生产函数是凹的; 在给出该推论的证明之前,我们先定义生产函数( Production function)f(x): 定义:生产函数f(x)=max{z:(z,-x)∈Y},其中,y=(z,-x)∈Y,z∈R,x为
0 1 − x y V 2 − x 图二：Y 不是凸集，投入要素集V 是凸集。这时的生产函数是拟凹的，例如规模 报酬递增的情况。 1 − x y V 2 − x 0 所以定义一比定义二的要求更严格。 推论(Proposition): 若厂商 j 的生产集 是严格凸的，那么 对应的生产函数是严格凹的； Yj Yj 若厂商 j 的生产集 是凸的，那么 对应的生产函数是凹的； Yj Yj 在给出该推论的证明之前，我们先定义生产函数(Production function) f ( ) x : 定义：生产函数 f ( ) max{ : ( , ) } x = − zz Y x ∈ ，其中， y x = (, ) z Y − ∈ ，z ， x 为 投入。 ∈ R 8
证明(用反证法) 假设f(x)不是一个凹函数,那么f(x)上必可找到不同的两点y与y, y'=(二,-x)∈Y 其中某个t∈[O,],有2+(1-1)z>f[(-x)+(1-1)(-x)] 所以,+(1-1)z>max{z:[z,l(-x)+(1-1)(-x)]}, 所以[+(1-1)2,(-x)+(1-0(-x)]=Ny,+(1-1)ygY, 这与Y是凸集矛盾 所以假设不成立;得证f(x)是凹函数 第二章,一般均衡理论( Theory of Genera1 Equilibrium) 般均衡涉及的部门和变量和他们之间的关系如下图所示 消费者 商品 利润(x) 市场 市场 厂商 家庭在预算约束下实现效用最大化,即
证明（用反证法）： 假设 f ( ) x 不是一个凹函数，那么 上必可找到不同的两点 与 ， ， ； )( − xf ' j y " j y ' ' y x ' (, ) = −∈ z Y " " "' y x = −∈ (, ) z Y 其中某个 ，有 t ∈ ]1,0[ ， '" ' tz t z f t t +− > − +− − (1 ) [ ( ) (1 )( ) ] x x " " tz t z t t +− − +− − 1 ) , ( ) (1 )( ) ] x x ' " (1 ) j j t + − 所以， ， ' " ' tz t z z z t t +− > − +− − (1 ) max{ : [ , ( ) (1 )( ) ]} x x 所以[ ( = ' "' " y t y ∉Y ， 这与Y 是凸集矛盾， 所以假设不成立；得证 是凹函数。 f x)( 第二章，一般均衡理论(Theory of General Equilibrium) 一般均衡涉及的部门和变量和他们之间的关系如下图所示： 消费者 商品 市场 厂商 要素 市场 d x s x d F d F 利润 (π ) 家庭在预算约束下实现效用最大化，即 9
Max u(x) stpx=I=wF+丌 厂商实现利润最大化,即 Max(px -wF) 其中,p:商品的价格向量 x:商品的消费向量; I:家庭的总收入 w:要素价格向量 要素向量 丌:厂商转移给家庭的转移利润 2.1单纯交换经济的一般均衡条件 为了方便分析,我们先研究单纯交换经济。在单纯交换经济中,消费者将自己所 有的商品和其他消费者交换。他们同时是供应方和需求方。由于各部门和变量之 间的依赖, 我们可将一般均衡简化如下: 商品市场 消费者 一般均衡的定义 i:消费者i,i=1,2…… e,:消费者i的禀赋; l(x):消费者i的偏好{} x2(ppe):消费者i在价格向量p和禀赋e,约束下的需求
u( ) s.t Max == + I π x px wF 厂商实现利润最大化，即 Max − wFpx )( 其中，p：商品的价格向量； x ：商品的消费向量； I ：家庭的总收入； w ：要素价格向量； F ：要素向量； π ：厂商转移给家庭的转移利润； 2.1 单纯交换经济的一般均衡条件 为了方便分析，我们先研究单纯交换经济。在单纯交换经济中，消费者将自己所 有的商品和其他消费者交换。他们同时是供应方和需求方。由于各部门和变量之 间的依赖， 我们可将一般均衡简化如下： d x s x 商品市场 消费者 一， 一般均衡的定义 i ：消费者 ，i=1,2……n; i i e ：消费者i 的禀赋； ( ) i u x ：消费者i 的偏好{ }; i f ),( i d i pepx :消费者i 在价格向量 和禀赋 约束下的需求； p i e 10