高级微观经济学第二部分:一般均衡理论 课堂讲稿 (05年11月21日上课内容) 授课:Prof. Gene Chang(张欣教授) 复旦大学和 Uni versity of toledo,USA genechang@buckeye-express com 内容:一般均衡理论,一般非均衡理论,一般均衡的应用 参考教材: Hal var ian《 Microeconomic Ana lys is》 Jehle and reny Advanced microeonom ic theory Mas-colell, Whinston and green ,Microeconomic theory 记录整理:韩丽妙,emaiI:052015041@fudan.edu.cn 帮助整理:苗瑞卿,emaiI:mlaoruigIng@126.com
高级微观经济学第二部分：一般均衡理论 课堂讲稿 （05 年 11 月 21 日上课内容） 授课：Prof. Gene Chang （张欣 教授） 复旦大学 和 University of Toledo, USA. genechang@buckeye-express.com 内容：一般均衡理论，一般非均衡理论，一般均衡的应用 参考教材：Hal Varian 《Microeconomic Analysis》 Jehle and Reny “Advanced Microeonomic Theory” Mas-Colell, Whinston and Green, “Microeconomic Theory” 记录整理：韩丽妙， email：052015041@fudan.edu.cn 帮助整理：苗瑞卿， email：miaoruiqing@126.com 1
1.引言( Introduct ion) 1.1局部均衡( Partial Equilibrium)与一般均衡( General uilibrium) 、局部均衡( Partial Equilibrium) 只考虑一个市场( single market)的情况(假设其他市场不变),对部门j 而言,当对该部们的产品x的需求x(P)与该产品的供给x(P)相等时,即 x(p,)=x2(p,)时,这个市场就达到了均衡; 这种单个市场达到的均衡状态称为“局部均衡”( Partial Equi l ibr ium) 那么是不是所有的市场能同时达到均衡呢?这就涉及到“一般均衡”( General Equilibrium)的概念了 、一般均衡( General Equilibrium) 般均衡( General Equi libr ium)是指所有市场同时达到均衡的状态; 假设有n个市场,p为价格向量,在任何一个市场j(j=1,2,……n)中, 都满足x(p)=x/(P)时,即x(p)=x'(p)时,这种状态就称为一般均衡。 对单个市场而言,市场的力量会使结果向均衡移动;但当存在多个市场的时 候,各市场之间有一定的关联性,当某个市场的价格变动时,消费者也会改变在 其他市场的消费量,从而对其他市场的供求关系也产生影响,即所谓“溢出效应” ( Spillover effect);那么,现在的问题就在于:这些市场能否同时达到均衡 呢(即一般均衡的存在性)?一般均衡的存在条件又是什么?这正是本课程要讨 论的内容。 1.2数理基础 在深入学习本课程之前,我们先对本课程要用到的数学概念和符号表示进行 简要说明 集合论( Set Theory) 1,集合的表示 集合A={x| description of !注意一分清集合A的元素是什么; 试比较A1={y|f(x)t}与A2={x|f(x)>t} 图解: 图一:表示A1={y|f(x)t}(粗线部分所示)
I. 引言（Introduction） 1.1 局 部 均 衡 （ Partial Equilibrium ） 与 一 般 均 衡 （ General Equilibrium） 一、局部均衡（Partial Equilibrium） 只考虑一个市场（single market）的情况（假设其他市场不变），对部门 j 而言，当对该部们的产品 ( ) d j j x p ( ) s j j x p j x 的需求 与该产品的供给 相等时，即 ( ) d j j x p = ( ) s j j x p 时，这个市场就达到了均衡； 这种单个市场达到的均衡状态称为“局部均衡”（Partial Equilibrium）； 那么是不是所有的市场能同时达到均衡呢？这就涉及到“一般均衡”（General Equilibrium）的概念了。 二、一般均衡（General Equilibrium） 一般均衡（General Equilibrium）是指所有市场同时达到均衡的状态； 假设有n 个市场，p 为价格向量，在任何一个市场 j （ j ＝1，2，……n ）中， 都满足 时，即 pxpx )()( 时，这种状态就称为一般均衡。 d s )( pp )( = s j d j = xx 对单个市场而言，市场的力量会使结果向均衡移动；但当存在多个市场的时 候，各市场之间有一定的关联性，当某个市场的价格变动时，消费者也会改变在 其他市场的消费量，从而对其他市场的供求关系也产生影响，即所谓“溢出效应” （Spillover Effect）；那么，现在的问题就在于：这些市场能否同时达到均衡 呢（即一般均衡的存在性）？一般均衡的存在条件又是什么？这正是本课程要讨 论的内容。 1.2 数理基础 在深入学习本课程之前，我们先对本课程要用到的数学概念和符号表示进行 简要说明。 一， 集合论（Set Theory） 1， 集合的表示 集合 ＝{x|description of x} A ！注意—分清集合 A 的元素是什么； 试比较 A1={y|f(x)>t}与 A2={x|f(x)>t}; 图解： 图一：表示 A1={y|f(x)>t}(粗线部分所示) 2
y=f(x) 图二:表示A2={x|f(x)>t}(粗线部分所示) y=f(x) 2,集合的关系 (1)包含:AcB;AcB (2)交集:A∩B; (3)并集:A∪UB; (4)差集:A\B; (5)补集( complement):A; (6)和集:A+B 7)不相交:若A∩B=⑧,则称集合A与B不相交( disjoint) ,符号说明( Logic) 彐:存在(exit); y:任意( for al1l, for any); ∧:与(and); 或(or)
t x y o = xfy )( 图二：表示 A2={x|f(x)>t}(粗线部分所示) t x y o = xfy )( 2， 集合的关系 （1） 包含： ； A B ⊆ A B ⊂ （2） 交集： ； I BA （3） 并集： ； U BA （4） 差集： ； \ BA （5） 补集(complement)： ； c A （6） 和集: A + B； （7） 不相交：若 ，则称集 A B I = ∅ 合A与B 不相交（disjoint）; 二， 符号说明（Logic） ∃：存在（exit）； ∀ ：任意（for all, for any）； ∧：与（and）； ∨ ：或（or）； 3
n:非(not); →:推论得到(if…then…, imply;A→B: If a is true, B must be true.); 台:等价于( if and only if) 逆否定理( Law of Contra- positive):A B 三,二元关系的性质 设R为定义在集合X上的二元关系,R可能满足的性质有 1,完备性( completeness) x,y∈X,必有xRy成立,或者yRx成立,或者两者同时成立; 2,自反性( Reflexive俄y) Vx∈H,必有xRx成立 3,对称性( Symmetric) vx,y∈X, xRy e yRx; 4,传递性( Transitiveness) vx,y,z∈X, xRy and yR→xR 5,反对称性( Antisymmetric) x,y∈X, xRy and yRx ox~y 补充一定义 我们称同时满足(1)完备性(2)自反性(3)传递性的二元关系是先序的 (pre- order ing);若一个二元关系同时满足(1)完备性(2)自反性(3)传递性以及 (4)反对称性,那么称这个二元关系是全序的 total order ing Definition: A binary relation is called total pre-order ing if it is (1) complete, (2) reflective, and (3) transitive. It is called total order ing if it is (,(2),(3) and antisymmetric 1.3一般均衡的存在对消费方面的要求 ,市场构成
¬：非（not）； ⇒：推论得到（if…then…，imply；A⇒B: If A is true, B must be true.）； ⇔ ：等价于（if and only if）； 逆否定理（Law of Contra－positive）: ⇒ ⇔ ¬ ⇒ ¬ABBA ； 三， 二元关系的性质 设 R 为定义在集合 X 上的二元关系，R 可能满足的性质有： 1， 完备性(Completeness) ,必有 成立，或者 成立,或者两者同时成立； , ∈∀ Xyx xRy yRx 2， 自反性(Reflexiv 俄 y) 必有 成立； ∈∀ Xx , xRx 3， 对称性（Symmetric） ， , ∈∀ Xyx ⇔ yRxxRy ； 4， 传递性(Transitiveness) ∈∀ Xzyx ,,, and xRy yRz ⇒ xRz 5， 反对称性(AntiSymmetric) , and , ∈∀ Xyx xRy yRx ⇔ x～y ！补充—定义： 我 们 称 同 时 满 足 (1) 完 备 性 (2) 自 反 性 (3) 传 递 性 的 二 元 关 系 是 先 序 的 （pre-ordering）；若一个二元关系同时满足(1)完备性(2)自反性(3)传递性以及 (4)反对称性，那么称这个二元关系是全序的(total ordering) Definition： A binary relation is called total pre-ordering if it is (1) complete, (2) reflective, and (3) transitive. It is called total ordering if it is (1),(2), (3) and antisymmetric. 1．3 一般均衡的存在对消费方面的要求 一，市场构成 4
家庭 商品 利润() 要素 市场 市场 厂商 家庭在预算约束下实现效用最大化,即 Max uo stpx=I=wF+丌 厂商实现利润最大化,即 Max (px -wF) 其中,p:商品的价格向量 x:商品的消费向量; I:家庭的总收入 w:要素价格; F:要素向量 丌:厂商转移给家庭的转移利润 偏好 1,符号说明 消费束( Consumption Bundles)x=(x1,x2……,xn),x∈R"(即x为非 负向量) 消费集( Consumption Set)X:所有可能的消费束的集合,即x=Ux; 弱优于( Weakly preferred to)x:若xxy,则x至少和y一样好; 严格优于( Strictly preferred to)>:若x>y,则x一定比y好 等同于( indifferent)~:若x~y,则消费者认为x与y无差异;
家庭 商品 市场 厂商 要素 市场 d x s x d F d F 利润 (π ) 家庭在预算约束下实现效用最大化，即 px I wF +== π Max s.t u() 厂商实现利润最大化，即 Max − wFpx )( 其中，p：商品的价格向量； x ：商品的消费向量； I ：家庭的总收入； w ：要素价格； F ：要素向量； π ：厂商转移给家庭的转移利润； 二，偏好 1，符号说明 n 消费束（Consumption Bundles） ＝（ ……， ）， ∈ R+ x , xx 21 xn x （即 为非 负向量）； − x 消费集（Consumption Set）X:所有可能的消费束的集合，即 X = ； U x 弱优于（Weakly preferred to） :若 ，则 至少和 x y x y ~ f 一样好； ~ f 严格优于（Strictly preferred to）f ：若 ，则 一定比 f yx x y 好； 等同于（indifferent）～：若 ，则消费者认为 ~ yx x 与y 无差异； 5
2,偏好的弱优于(x),严格优于(>),无差异(或等同于)(~)的性质与关 系 >.满足完备性,自反性,传递性和反对称性; >满足传递性; 满足自反性,传递性和对称性; 其中{儿U{-}=};{}∩{}=区 3,更多假设 (1)连续性 Continua1 【1】定义:wy∈X,{x:xxy}amnd{x:x<y}都是闭集,那么该偏好是连续的 {x:xy}为弱优集(记为WPS),{:x<y}为弱非优集(记为WPS), WPS WLPS IC 例:如上图所示,曲线IC表示偏好相对应的一条无差异曲线( Indifferent curve), 该无差异曲线上有一点消费束(y),位于IC右上方的表示{x:xy}的 集合(用WS表示);位于IC左下方的表示{x:x<y}的集合(用WPS表示); WPS与WPLS都是闭集,因此双方向无差异曲线收敛的序列汇合重叠在无差异曲 线上,因此偏好R是连续的。 !补充一闭集的定义: 如果属于集合A的所有收敛序列的极限都属于A,那么A为闭集 即v{x}∈A,{x}为收敛序列,有lim{x}∈A,那么A为闭集。 →∝ 【2】偏好连续和效用函数连续的关系 偏好连续,对应该偏好的效用函数不一定连续。 但满足完备性、传递性、和连续性的偏好关系一定可以建立一个连续的
2，偏好的弱优于（ ），严格优于（ ），无差异（或等同于）（～）的性质与关 系 ~ f f .满足 完备性，自反性，传递性和反对称性； ~ f f 满足传递性； ～ 满足自反性，传递性和对称性； 其中 }{{~}}{ ；{ }f I{~} = ∅ ~ = fUf 3, 更多假设 (1)连续性(Continuality) yxxyxxy }:{}:{, ~ ~ 【1】定义：∀ ∈ X f and p 都是闭集，那么该偏好是连续的； {x:x f y} % 为弱优集（记为 WPS）, {x:x p y} 为弱非优集（记为 WLPS）, % 1 x 2 x IC WPS WLPS y 例：如上图所示，曲线 IC 表示偏好相对应的一条无差异曲线（Indifferent Curve）, 该无差异曲线上有一点消费束（y ），位于 IC 右上方的表示 的 集合（用 WPS 表示）；位于 IC 左下方的表示 的集合（用 WLPS 表示）； yxx }:{ ~ f yxx }:{ ~ p WPS 与 WPLS 都是闭集，因此双方向无差异曲线收敛的序列汇合重叠在无差异曲 线上，因此偏好 R 是连续的。 ！补充—闭集的定义： 如果属于集合 A 的所有收敛序列的极限都属于 A，那么 A 为闭集； { }i 即∀ ∈ x A，{ }i x lim { }i x A i ∈ → ∞ 为收敛序列，有 ，那么 A 为闭集。 【2】偏好连续和效用函数连续的关系 偏好连续，对应该偏好的效用函数不一定连续。 但满足完备性、传递性、和连续性的偏好关系一定可以建立一个连续的 6
效用函数来表示。 效用函数连续,那么该效用函数表示的偏好一定连续 例: 如图所示,虽然该曲线表示的效用函数不连续(在x0处有间断点),但是,[0-x0 表示效用不比x好的消费集合(即WPS),x右侧表示效用不比x。差的消费集 合(即WS),显然WS与WPS都是闭集,所以该效用函数表示的偏好是连续的 练习: 试判断该效用函数表示的偏好是否连续。 !补充一如何判断曲线所表示的函数的连续性? 如果值域当中的任意一个闭集(开集)所对应的曲线在定义域上的 Inverse image(你可以用“投影”的直观方法来想象)是闭集(开集), 那么这个曲线就是连续的,其对应的函数也是连续的 (2)单调性 Monotone)
效用函数来表示。 效用函数连续，那么该效用函数表示的偏好一定连续。 例： WLPS WPS 0 x u 0 x 如图所示，虽然该曲线表示的效用函数不连续（在 处有间断点），但是，[0- ] 表示效用不比 好的消费集合（即 WLPS）， 右侧表示效用不比 差的消费集 合（即 WPS），显然 WPS 与 WLPS 都是闭集，所以该效用函数表示的偏好是连续的。 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 练习： u 0 x 试判断该效用函数表示的偏好是否连续。 ！补充—如何判断曲线所表示的函数的连续性？ 如果值域当中的任意一个闭集（开集）所对应的曲线在定义域上的 Inverse image(你可以用“投影”的直观方法来想象)是闭集（开集）， 那么这个曲线就是连续的，其对应的函数也是连续的。 (2)单调性(Monotone) 7
定义:x,y∈X,若x≥y,则xxy(单调, Weakly monotone) x,y∈X,若x>y,则xxy(严格单调, Strong monotone) 例 WPS 如上图所示,无差异曲线的右上方为优于的弱优集,y>x,就有y>x, 这就是严格单调性 (2)’局部非饱和性( Local non- satiation) 局部非饱和性比单调性的假设要弱,用来替代单调性。 Debreu的一般均衡条 件,只需要局部非饱和性。 定义:x∈x,且对E>0,至少存在一个y∈X,满足|-xx; 例2: x 如上图所示,在无差异曲线上有一点x0,无差异曲线的一侧表示由于x0弱优集 WS’给定E>0,可以在wPS的邻近区域内找到一个消费束y,使y>x0,所
定义： ，若 ,yx ∈∀ X x ≥ y ，则 （单调，Weakly monotone）； yx ~ f , 若 ，则 （严格单调，Strong monotone）; ,yx ∈∀ X > yx fyx 例 1： 1 o x 0 x 2 x WPS IC 如上图所示，无差异曲线的右上方为优于 x0的弱优集，y > x，就有y f x ， 这就是严格单调性。 (2)’局部非饱和性(Local Non-satiation ) 局部非饱和性比单调性的假设要弱，用来替代单调性。Debreu 的一般均衡条 件，只需要局部非饱和性。 定义： x ∈∀ X ，且对 ε >∀ 0，至少存在一个y ∈ X ，满足 xy ∀ 0，可以在 WPS 的邻近区域内找到一个消费束y ，使 ，所 f xy 0 8
以满足局部非饱和性;但是这个消费束y可能在x0的左下方,如上图所示,表示 y代表的消费量比x为少。当yx,所以不满足单调性 不满足局部非饱和性的例子: 如上图所示无差异曲线表示的偏好。中心x处表示效用最大的消费束,向四周 依次递减;则在x0的任意小的邻域内都找不到不比x0差的消费束,所以该无差 异曲线代表的偏好不满足局部非饱和性;当然也不满足单调性。 (3)凸性( Convexity) 在经济学中,凸性是最重要的数学概念之一。对“凸性”的理解要注意两点:首 先,集合的凸性和函数的凸性是不同的概念,要分清二者的区别;第 “ convexity”在中文中译为“凸性”不可望文生义。一定要从“凸性”的定义 入手来理解, 下面给出了集合凸性的概念: 设u,v∈P.若w=tu+(1-t)v,(0<t1),则称w是u,v的凸组合( convex combination),记做[u,v] 设u,ⅴ是集合S的两个任意元素,若所有u,w的凸组合也都属于S,那么称 集合S是凸集( convex set) 凸集的交集是凸集;两个凸集的和也是凸集 如果所有的弱偏好集都是凸集,那么我们称这个偏好是凸性的。(如下图所示)
以满足局部非饱和性；但是这个消费束y 可能在 的左下方，如上图所示，表示 0 x y 代表的消费量比 为少。当 0 x y < x 时，有y f x ，所以不满足单调性。 2 x 1 x o 0 x 不满足局部非饱和性的例子： 如上图所示无差异曲线表示的偏好。中心 处表示效用最大的消费束，向四周 依次递减；则在 的任意小的邻域内都找不到不比 差的消费束，所以该无差 异曲线代表的偏好不满足局部非饱和性；当然也不满足单调性。 0 x 0 x 0 x （3）凸性(Convexity) 在经济学中，凸性是最重要的数学概念之一。对“凸性”的理解要注意两点：首 先，集合的凸性和函数的凸性是不同的概念，要分清二者的区别；第二， “convexity”在中文中译为“凸性”不可望文生义。一定要从“凸性”的定义 入手来理解， 下面给出了集合凸性的概念： 设 u, v ∈ R n . 若w=tu+(1–t)v, (0<t<1),则称w是u, v的凸组合(convex combination), 记做 [u, v] 设 u, v 是集合 S 的两个任意元素，若所有 u, v 的凸组合也都属于 S，那么称 集合 S 是凸集(convex set) 凸集的交集是凸集；两个凸集的和也是凸集。 如果所有的弱偏好集都是凸集，那么我们称这个偏好是凸性的。 (如下图所示) 9
凸性的作用是保证需求函数的连续性,进而保证均衡的存在。因为如果需 求函数不连续,那么需求曲线和供给曲线可能没有交点,也就没有均衡存在 我们可以根据无差异曲线画出对应的需求曲线如图一,图二,图三所示 在图一二三中,都将x2价格单位化为1,所以对应的预算约束线的斜率就表示 x;价格。 (为了图示简洁,这里用的是西克斯需求曲线。用马歇尔需求曲线也有同样 结论)
z y w 1 o x 2 x x WPS 凸性的作用是保证需求函数的连续性，进而保证均衡的存在。因为如果需 求函数不连续，那么需求曲线和供给曲线可能没有交点，也就没有均衡存在。 我们可以根据无差异曲线画出对应的需求曲线如图一，图二，图三所示； 在图一二三中，都将 价格单位化为 1，所以对应的预算约束线的斜率就表示 价格。 2 x x 1 （为了图示简洁，这里用的是西克斯需求曲线。用马歇尔需求曲线也有同样 结论） 10