新疆大学：《自动控制理论》课程教学资源（教案讲义）第五章 频率响应法

第五章频率响应法 用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是， 用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。此外，由于高阶系统的结构和 参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统 动态性能的影响。当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出 改善系统性能的途径。 本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解 分析法评价系统性能的一种工程方法。频率特性可以由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法测定。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭 示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步 指明如何设计校正。 5.1频率特性 (1)在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比 称为系统的频率特性。 (2)频率特性与传递函数的关系为： G(j)=G(s)=j 微分方程 频率特性、微分方程与传递函数三种数学模型 之间关系如图5-1所示 传递函 (3)频率特性的表示方法 GUj)=Gljoje=A(0e=P(@)+j) ,频率特性。 其中： A(@)=G(j@)=P(@)2+Q(@) 图51频率华 性 A(o)和p(o)分别表示幅频特性和相频特性 P(o)和Q()分别表示实频特性和虚频特性。 ①幅相领率特性 又称奈奎斯特图(guis,极坐标图。它是以为参变量，以复平面的矢量表 示G(jo的一种方法。G(Uo)的幅值为A(o),相角为p(o)(从正实轴开始，逆 时针为正)。当频率0从0变化到∞时，GU)这个矢量的矢端在复平面上描绘出 的曲线就称为系统的幅相频率特性，可由A(o)和p(o)或P(@)和Q()来绘制。 ②对数颜率特性（又称伯德图，共两条曲线L(o)和(）) 将幅频特性A(o)用增益L()来表示，其关系为：L()=20lgA(),称作对 60

60 第五章 频率响应法 用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是， 用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。此外，由于高阶系统的结构和 参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统 动态性能的影响。当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出 改善系统性能的途径。 本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解 分析法评价系统性能的一种工程方法。频率特性可以由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法测定。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭 示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步 指明如何设计校正。 5.1 频率特性 （1）在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比 称为系统的频率特性。 （2）频率特性与传递函数的关系为：  s j G j G s = = ( ) ( ) 频率特性、微分方程与传递函数三种数学模型 之间关系如图 5-1 所示 （3）频率特性的表示方法 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         G j ) G(j )e A e P jQ j G j j = = = +  其中： 2 2 A() = G( j) = P() + Q() ( ) ( ) ( ) ( )      P Q = G j = arctg A() 和 () 分别表示幅频特性和相频特性, P() 和 Q() 分别表示实频特性和虚频特性。 ①幅相频率特性 又称奈奎斯特图 (Nyquist) ，极坐标图。它是以  为参变量，以复平面的矢量表 示 G( j  ) 的一种方法。 G( j  ) 的幅值为 A() ，相角为 () （从正实轴开始，逆 时针为正）。当频率  从 0 变化到∞时， G( j  ) 这个矢量的矢端在复平面上描绘出 的曲线就称为系统的幅相频率特性，可由 A() 和 () 或 P() 和 Q() 来绘制。 ②对数频率特性(又称伯德图，共两条曲线 L() 和 () ) 将幅频特性 A() 用增益 L() 来表示，其关系为： L() = 20lg A() ，称作对 系统 频率特性 微分方程 传递函数 dt d s = dt d j = s = j 图 5-1 频率特性、微分方程与传递函数 三种数学模型之间关系

数幅频特性。其横坐标为o,常用对数go分度：纵坐标为L(o,单位为dB。对 数相频特性的横坐标与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率值，纵坐标为 (),单位为度()。 对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图(Bod阳)。 5.2对数坐标图(Bode图) 5.2.1典型环节频率特性的伯德图 1.比例环节K) 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是 「L(o)=20gK p(o)=09 比例环节的伯德图如图5-1所示。 K2≥1 少-。 图5一1比例环节的伯德图 2.积分环节】 和微分环节(s) (s 积分环节的对数幅频特性和对数相频特性为 L(o)=20g 1 =20lg=-20lgo(dB) jo p(o)= 上=g0)=-90 1-1 积分环节比例环节的伯德图如图5-2所示。 61

61 数幅频特性。其横坐标为  ，常用对数 lg 分度；纵坐标为 L() ，单位为 dB 。对 数相频特性的横坐标与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，纵坐标为 () ，单位为度（o）。 对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图 (Bode) 。 5.2 对数坐标图（Bode 图） 5.2.1 典型环节频率特性的伯德图 1．比例环节(K) 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是    = = 0 ( ) 0 ( ) 20lg   L  K 比例环节的伯德图如图 5-1 所示。 图 5—1 比例环节的伯德图 2．积分环节       s 1 和微分环节(s) 积分环节的对数幅频特性和对数相频特性为        = = − = − = − = = = − −1 0 / 0) 90 1 ( 1 1 ( ) 20lg ( ) 1 20lg 1 ( ) 20lg          j tg j dB j L 积分环节比例环节的伯德图如图 5-2 所示

L(w)(dB 2v 图5一2积分环节(/s)和微分环节(s)的伯德图 微分环节(S)是积分环节(/S)的倒数，所以很容易求出它的对数幅频特性和相频 特性。它们分别是 [L(o)=20gja可l=20lgw 0(o)=/j0=g1e=900 0 3.一阶惯性环节1）】 和比例微分环节(1+TS) (1+Ts) 一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性分别为 4o)=20g|1 =-20g1+T2s2 (dB) 1+T /1 p(@)= /1+万0 =-Ig-To ()当oT>1时，（高频时），L(@)≈-20g0 62

62 图 5—2 积分环节 (1 s) 和微分环节(s)的伯德图 微分环节(s)是积分环节 (1 s) 的倒数，所以很容易求出它的对数幅频特性和相频 特性。它们分别是      = = = = = −1 0 90 0 ( ) ( ) 20lg 20lg        j tg L j 3．一阶惯性环节       1+ Ts 1 和比例微分环节 (1+Ts) 一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性分别为        = − + = = − + + = −      tg T Tj T s dB Ts L 1 2 2 1 1 ( ) 20lg 1 ( ) 1 1 ( ) 20lg (1)当 T ＜＜1 时，(低频时)， L()  0 (dB) 上式表明，一阶惯性环节的低频段是一条零分贝的渐近线，它与  轴重合，如 图 5—3 所示。 (2)当 T ＞＞1 时， (高频时)， L()  −20lg

这表明，一阶惯性环节在高频段（行<0<∞范围内是一条斜率为一20dB/ de℃，且与o轴相交于0=1/T的渐近线（见图5-3），它与低频段渐近线的交点为0= VT,这时的0称为转角频率。这里，T是模性环节十元的时间宿数。所以转角 频率)也很容易求得。求出转角频率后，就可方便的作出低频段和高频段的渐近线。 由于渐近线接近于精确曲线。因此，在一些不需要十分精确的场合，就可以用渐近 线代替精确曲线加以分折。在要求精确曲线的场合，需要对渐近线进行修正。由于 渐近线代替精确曲线的最大误差发生在转角频率处，因此可得精确值为 L(o)=-20g√1+1=-3.01(dB)≈-3(dB) 近似值为L(o)=0,所以误差为-3(dB)。 L(o) (dB) 0.1÷ 低渐近 10子 精响曲我 -10 -20 w) o.1 10 -45 90 图5一3惯性环节 +的伯德图 63

63 这表明，一阶惯性环节在高频段( T 1 ＜  ＜∞范围内是一条斜率为—20dB／ dec，且与  轴相交于  ＝1 T 的渐近线(见图 5-3)，它与低频段渐近线的交点为  ＝ 1 T ，这时的  称为转角频率。这里，T 是惯性环节 1+ Ts 1 的时间常数，所以转角 频率  也很容易求得。求出转角频率后，就可方便的作出低频段和高频段的渐近线。 由于渐近线接近于精确曲线。因此，在一些不需要十分精确的场合，就可以用渐近 线代替精确曲线加以分折。在要求精确曲线的场合，需要对渐近线进行修正。由于 渐近线代替精确曲线的最大误差发生在转角频率处，因此可得精确值为 L() = −20lg 1+1 = −3.01(dB)  −3(dB) 近似值为 L( )＝0，所以误差为-3(dB)。 图 5—3 惯性环节       1+ Ts 1 的伯德图

L()(dB -1 -3 赤寺去亭其亭华、 图5一4一阶惯性环节的对数幅额特性曲线采用渐近线时的误差值 作一阶模性环节的相频特性曲线设有近似的办法，但也可定出日=了、。 对p(o)=-45°的点斜对称的一条曲线。 比例微分环节(1+TS)的对数幅频特性和相频特性为 JL(@)=201g1+To2 (dB) o(o)=1g To 比例微分环节与一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性只相差一个“负”号， 因而比例微分环节和一阶惯性环节的伯德图对称于0轴，如图55所示。 L(),(dB) 20(d/de 0.17 10 45 0.1字 107 图5-5比例微分环节(1+Ts)的伯德图

64 图 5—4 一阶惯性环节的对数幅额特性曲线采用渐近线时的误差值 作一阶惯性环节的相频特性曲线没有近似的办法，但也可定出  ＝ T 1 、 ＝ 2T 1 、 T 2 、 T 0.1 、 T 10 等点，用曲线板把各点连接起来，如图 5—3 下图所示。它是 对 0 () = −45 的点斜对称的一条曲线。 比例微分环节 (1+ Ts) 的对数幅频特性和相频特性为     = = + −      tg T L T dB 1 2 2 ( ) ( ) 20lg 1 ( ) 比例微分环节与一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性只相差一个“负”号， 因而比例微分环节和一阶惯性环节的伯德图对称于  轴，如图 5-5 所示。 图 5-5 比例微分环节 (1+ Ts) 的伯德图

4.二阶振荡环节 02 32+255+0) 和二阶微分环节(52+250s+o) 二阶环节中参数5（阻尼比）如果大于1，则可用两个一阶惯性环节 *1和 万9中的乘积来表示。或两个一阶微分环节5+1和5+1的桑积来表示。如 1 果0<5<1，则成为二阶振荡环节或二阶微分环节。由于二阶振荡环节和二阶微分 环节互为倒数（只相差一常数®）。所以只要讨论其中的一个，就可以方便地得到另 一个的对数幅频特性和相频特性（如上两小节的积分环节对微分环节，一阶惯性环节 对比例微分环节，只要画出对称于0轴的伯德图即可)。现着重讨论常见的二阶振荡 02 环节 的伯德图的绘制方法。 s2+250ns+01 二阶振荡环节的幅相频率特性为 G(j@)- 250 式中 p(@)=-1g 所以，二阶振荡环节的对数幅频特性和相频特性为 65

65 4．二阶振荡环节         + + 2 2 2 2 n n s  s   和二阶微分环节 ( ) 2 2 2 n n s +  s + 二阶环节中参数  (阻尼比)如果大于 l，则可用两个一阶惯性环节 1 1 T1 s + 和 1 1 T2 s + 的乘积来表示。或两个一阶微分环节 T1 s +1 和 T2 s +1 的乘积来表示。如 果 0＜  ＜1，则成为二阶振荡环节或二阶微分环节。由于二阶振荡环节和二阶微分 环节互为倒数(只相差一常数 2  n )。所以只要讨论其中的一个，就可以方便地得到另 一个的对数幅频特性和相频特性(如上两小节的积分环节对微分环节，一阶惯性环节 对比例微分环节，只要画出对称于  轴的伯德图即可)。现着重讨论常见的二阶振荡 环节         + + 2 2 2 2 n n s  s   的伯德图的绘制方法。 二阶振荡环节的幅相频率特性为 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( )              j n n n n e j j G j         +         − = +        +         = 式中                       − = − − 2 1 1 2 ( ) n n tg        所以，二阶振荡环节的对数幅频特性和相频特性为

uo-e-gg】 250 p(0)=-g 依照一阶惯性环节的方法，先求出二阶振荡环节的对数幅频特性的渐近线 (1)当00，时，（高频段），L(o)≈-20g包=-40g2 0n 上式表明，高频段的渐近线为一条斜率为一40(dB/dec)的直线，它与o轴相交 于0=0n的点。 以上两条低频段和高频段的渐近线相交处频率0=0，称为二阶振荡环节的转 角频率，两条渐近线与转角频率如图5一6(a)所示。 图5一6二阶报荡环节，+20+@的伯德图

66                                  − = −         +         = − − − 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 20lg 1 2 n n n n tg L              依照一阶惯性环节的方法，先求出二阶振荡环节的对数幅频特性的渐近线。 (1) 当   n 时，(低频段)， L()  −20lg1 = 0 (dB) 上式表明，低频段的渐近线为一条零分贝的直线，它与  轴重合。 (2)当   n 时，(高频段)，         = −          − n n L     () 20lg 40lg 2 上式表明，高频段的渐近线为一条斜率为—40(dB／dec)的直线，它与  轴相交 于  =n 的点。 以上两条低频段和高频段的渐近线相交处频率  =n ，称为二阶振荡环节的转 角频率，两条渐近线与转角频率如图 5—6(a)所示。 图 5—6 二阶振荡环节 2 2 2 2 n n n s  s   + + 的伯德图

二阶振荡环节对数幅频特性的精确曲线随阻尼比5的不同而不同。因此，渐近 线的误差也随￡的不同而不同。不同￡值时的精确曲线如图5一6所示。从图中可以 看出，当5值在一定范围内时，其相应的精确曲线都有峰值。渐近线误差随5不同 而不同的误差曲线如图5一7所示。从图5一7可以看出，渐近线的误差在@=⊙.附 近为最大，并且5值越小，误差越大。当5→0时，误差将趋近于无穷大。 210 w/w 图5一7二阶振荡环节幅频特性的误差曲线 二阶振荡环节的相频特性的计算也和阻尼比ξ有关，这些相频特性曲线如图5 -6(b)所示。由图5一6(b)可以看出，它们都是以转角频率0=0n处相角为-90°的 点为斜对称。 二阶微分环节s2+250+o2(0<5<1)的对数幅频和相频特性都与二阶振 荡环节的特性对称（以0轴为对称轴） 5.延迟环节(ea) 延迟环节的幅相频率特性为 G(j@)=e-J: 6

67 二阶振荡环节对数幅频特性的精确曲线随阻尼比  的不同而不同。因此，渐近 线的误差也随  的不同而不同。不同  值时的精确曲线如图 5—6 所示。从图中可以 看出，当  值在一定范围内时，其相应的精确曲线都有峰值。渐近线误差随  不同 而不同的误差曲线如图 5—7 所示。从图 5—7 可以看出，渐近线的误差在  =n 附 近为最大，并且  值越小，误差越大。当  →0 时，误差将趋近于无穷大。 图 5—7 二阶振荡环节幅频特性的误差曲线 二阶振荡环节的相频特性的计算也和阻尼比  有关，这些相频特性曲线如图 5 —6 (b)所示。由图 5—6(b)可以看出，它们都是以转角频率  =n 处相角为 0 − 90 的 点为斜对称。 二阶微分环节 2 2 2 n n s +  s + (0    1) 的对数幅频和相频特性都与二阶振 荡环节的特性对称(以  轴为对称轴)。 5．延迟环节 ( ) s e − 延迟环节的幅相频率特性为   j G j e − ( ) =

其幅频和相频特性为 M(o)=1 p(o)=-t0 所以对数幅相频率特性为 L(o)=20g1=0 p(o)=-to(rad)=-57.3×to() 其对应的伯德图如图5一8所示。从图5一8可以看出，延迟环节的对数幅频特性 曲线为L(o)=0的直线，与0轴重合。相频特性曲线p(o)当0→∞时， p(0)-→-0。 图5-8延迟环节e-s的伯德图 5.2.2系统开环伯德图的绘制 【例5一1刂设系统的开环传递函数为 G(s)H(s)= 4(0.5s+1) s(2s+1)0.125s)2+0.05s+1 试绘制开环对数频率特性图（伯德图）。 解从系统的开环传递函数G(s)H(s)可知，系统由比例环节(4)、积分环节 、比例微分环节(0.5s+1)和二阶振荡环节 (2s+1月 1 1(0.1259)2+0.05s+1 等5个典型环节所组成，除比例环节和积分环节无转角频 68

68 其幅频和相频特性为    = − =     ( ) M ( ) 1 所以对数幅相频率特性为    = − = −  = = ( ) ( ) 57.3 ( ) ( ) 20lg1 0 0      rad L 其对应的伯德图如图 5—8 所示。从图 5—8 可以看出,延迟环节的对数幅频特性 曲线为 L() ＝0 的直线，与  轴重合。相频特性曲线 () 当  →∞时， () → −。 图 5-8 延迟环节 s e − 的伯德图 5.2.2 系统开环伯德图的绘制 [例 5—1] 设系统的开环传递函数为 (2 1)(0.125 ) 0.05 1 4(0.5 1) ( ) ( ) 2 + + + + = s s s s s G s H s 试绘制开环对数频率特性图(伯德图)。 解 从系统的开环传递函数 G(s)H(s) 可知，系统由比例环节(4)、积分环节       s 1 、惯性环节       2 +1 1 s 、比例微分环节 (0.5s +1) 和二阶振荡环节       (0.125 ) + 0.05 +1 1 2 s s 等 5 个典型环节所组成，除比例环节和积分环节无转角频

率外，其余三个典型环节的转角频率依大小排列分别为0，=0.5,02=2,0，=8。 因此，可将开环频率特性按以下次序排列来绘制伯德图 G(jo)H(jo)=4x1.1 1 (0.5j0+1)- j02j0+1 jo 8 +0.05j0+1 ①②③ ④④ ⑤ 其中环节③，④，⑤的转角频率依次为0.5,2和8。 将开环传递函数分成5个典型环节相乘后，可得开环对数幅频特性和相频特性 分别为 L(o)=L,(o)+L2(o)+L(o)+L,(o)+L(o) =20g4-20go-20gV1+(20)2+20gV1+(0.5o) +(0.05)月 上式中，二阶振荡环节（环节⑤）的参数为5=0.2,0n=8 p(o)=p(@)+p2(⊙)+p3(o)+p,(o)+p5(0) =0-90°-g20+g050-g000 各环节及开环系统的伯德图均表示在图5一9的半对数坐标系上。 将L,(o)一L,(o)叠加，即可求得开环对数幅频特性曲线，如图5一9(a)所示的 实线L(o)。 69

69 率外，其余三个典型环节的转角频率依大小排列分别为 1 = 0.5,2 = 2,3 = 8。 因此，可将开环频率特性按以下次序排列来绘制伯德图 0.05 1 8 1 (0.5 1) 2 1 1 1 ( ) ( ) 4 2  + +       +  + =          j j j j j G j H j ① ② ③ ④ ⑤ 其中环节③，④，⑤的转角频率依次为 0．5，2 和 8。 将开环传递函数分成 5 个典型环节相乘后，可得开环对数幅频特性和相频特性 分别为 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 (0.05 ) 64 20lg 1 20lg 4 20lg 20lg 1 (2 ) 20lg 1 (0.5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            +         − − = − − + + + = + + + + L L L L L L 上式中，二阶振荡环节(环节⑤)的参数为  = 0.2,n = 8 2 0 0 1 1 1 1 2 3 4 5 8 1 0.05 0 90 2 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       − = − − + − = + + + + − − −                 tg tg tg 各环节及开环系统的伯德图均表示在图 5—9 的半对数坐标系上。 将 ( ) L1  一 ( ) L5  叠加，即可求得开环对数幅频特性曲线，如图 5—9(a)所示的 实线 L()