第六章控制系统的校正 单变量线性系统的综合方法很多，但基本上可归纳为两大类，即根轨迹综合法 和频率响应综合法。本章介绍应用这两类方法进行综合、校正的基本思路和具体方 法，以及综合校正的一般过程。 6.1概述 前面几章讨论的几种控制系统的分析方法，是在系统结构和参数己知的前提下 分析系统的静、动态性能及其与参数之间的关系，一般称这个过程为系统分析。本 章则是讨论系统分析的逆问题，即控制系统的设计问题。它是根据对系统的要求， 选择合适的控制方案与系统结构，计算参数和选择元器件，通过仿真和实验研究， 建立起能满足要求的实用系统。这样一项复杂的工作，既要考虑技术要求，又要考 虑经济性、可靠性、安装工艺、使用维修等多方面要求。这里只限于讨论其中的技 术部分，即从控制观点出发，用数学方法寻找一个能满足技术要求的控制系统。通 常把这项工作称为系统的综合 控制系统可划分为广义对象（或受控系统）和控制器两大部分。广义对象（包括受 控对象、执行机构、阀门，以及检测装置等)是系统的基本部分，它们在设计过程中 往往是已知不变的，通常称为系统的“原有部分”或“固有部分”、“不可变部分”。 一般来说，仅由这部分构成系统，系统的性能较差：难以满足对系统提出的技术要 求，甚至是不稳定的，必须引入附加装置进行校正，这样的附加装置叫做校正装置 或补偿装置。控制器的核心组成部分是校正装置，因此综合的主要任务就在于设计 控制器。可以说，综合的中心是校正。综合的具体任务是选择校正方式，确定系统 结构和校正装置的类型以及计算参数等，这些工作的出发点和归宿点都是满足对系 统技术性能的要求，这些要求在单变量系统中往往都是以性能指标的形式给出。 一、性能指标 工程上，对单变量系统常用性能指标来衡量控制系统的优劣。在设计控制系统 时，对不同的控制系统提出不同的性能指标，或对同一控制系统提出不同形式的性 能指标。控制系统的经典设计方法习惯于在频域里进行，因此常用频率域性能指标。 然而时域指标具有直观，便于量测等优点。因而在许多场合下采用时域性能指标。 性能指标的提法虽然很多，但大体上可归纳为三大类，即稳态指标，时域动态 指标和频域动态指标，这些内容在第三章和第五章里已作过介绍，下面只作简单的 归纳。 1 稳态指标 稳态指标是衡量系统稳态精度的指标。控制系统稳态精度的表征一一稳态误差 e,一般用以下三种误差系数来表示 (I)稳态位置误差系数K,表示系统跟踪单位阶跃输入时系统稳态误差的大 小
97 第六章 控制系统的校正 单变量线性系统的综合方法很多，但基本上可归纳为两大类，即根轨迹综合法 和频率响应综合法。本章介绍应用这两类方法进行综合、校正的基本思路和具体方 法，以及综合校正的一般过程。 6.1 概 述 前面几章讨论的几种控制系统的分析方法，是在系统结构和参数已知的前提下， 分析系统的静、动态性能及其与参数之间的关系，一般称这个过程为系统分析。本 章则是讨论系统分析的逆问题，即控制系统的设计问题。它是根据对系统的要求， 选择合适的控制方案与系统结构，计算参数和选择元器件，通过仿真和实验研究， 建立起能满足要求的实用系统。这样一项复杂的工作，既要考虑技术要求，又要考 虑经济性、可靠性、安装工艺、使用维修等多方面要求。这里只限于讨论其中的技 术部分，即从控制观点出发，用数学方法寻找一个能满足技术要求的控制系统。通 常把这项工作称为系统的综合。 控制系统可划分为广义对象(或受控系统)和控制器两大部分。广义对象(包括受 控对象、执行机构、阀门，以及检测装置等)是系统的基本部分，它们在设计过程中 往往是已知不变的，通常称为系统的“原有部分”或“固有部分”、“不可变部分”。 一般来说，仅由这部分构成系统，系统的性能较差；难以满足对系统提出的技术要 求，甚至是不稳定的，必须引入附加装置进行校正，这样的附加装置叫做校正装置 或补偿装置。控制器的核心组成部分是校正装置，因此综合的主要任务就在于设计 控制器。可以说，综合的中心是校正。综合的具体任务是选择校正方式，确定系统 结构和校正装置的类型以及计算参数等，这些工作的出发点和归宿点都是满足对系 统技术性能的要求，这些要求在单变量系统中往往都是以性能指标的形式给出。 一、 性能指标 工程上，对单变量系统常用性能指标来衡量控制系统的优劣。在设计控制系统 时，对不同的控制系统提出不同的性能指标，或对同一控制系统提出不同形式的性 能指标。控制系统的经典设计方法习惯于在频域里进行，因此常用频率域性能指标。 然而时域指标具有直观，便于量测等优点。因而在许多场合下采用时域性能指标。 性能指标的提法虽然很多，但大体上可归纳为三大类，即稳态指标，时域动态 指标和频域动态指标，这些内容在第三章和第五章里已作过介绍，下面只作简单的 归纳。 1． 稳态指标 稳态指标是衡量系统稳态精度的指标。控制系统稳态精度的表征——稳态误差 ss e ，一般用以下三种误差系数来表示： (1) 稳态位置误差系数 KP ，表示系统跟踪单位阶跃输入时系统稳态误差的大 小
(②)稳态速度误差系数K,表示系统跟踪单位速度输入时系统稳态误差的大 小。 (③)稳态加速度误差系数K。,表示系统跟踪单位加速度输入时系统稳态误差 的大小。 2.时域动态指标 时域动态指标通常为上升时间1，、峰值时间1p、调节时间1，、超调量O,%等。 3.频域动态指标 频域动态指标分开环频域指标和闭环频域指标两种。开环频域指标指相位裕量 y,幅值裕量K。和剪切频率0等。闭环频域指标指谐振峰值M,谐振频率⊙， 和频带宽度0，等。 二、系统的校正 根据控制的任务确定系统的固有部分，并组成控制系统。系统固有部分各元部 件中，只有放大器的放大系数可以调整。在大多数情况下，仅调整系统的放大系数 不能使系统满足给定的性能指标要求。增大系统的放大系数，在某些情况下可以改 善系统的稳态性能，但是系统的动态性能将变坏，甚至有可能不稳定。对于稳态性 能和动态性能都有一定要求的大部分控制系统来说，必须引入其他装置，以改变系 统结构，才有可能使系统全面地满足性能指标的要求。为使系统满足性能指标而引 入的附加装置，称为校正装置，其传递函数用G(s)表示。校正装置G(s)与系统 固有部分的联接方式，称为系统的校正方案。在控制系统中，校正方案基本上分为 3种。校正装置与原系统在前向通道串联联接，称为串联校正，如图6一1所示。由 原系统的某一元件引出反馈信号构成局部负反馈回路，校正装置设置在这一局部反 馈通道上，如图6一2所示，则称为反馈校正。如第一章和第三章所述对干扰和输入 进行补偿的复合控制，称为前馈校正。 G.(s) 图6-1(a)串联校正 图6-1(b)反馈校正
98 (2) 稳态速度误差系数 KV ，表示系统跟踪单位速度输入时系统稳态误差的大 小。 (3) 稳态加速度误差系数 Ka ，表示系统跟踪单位加速度输入时系统稳态误差 的大小。 2． 时域动态指标 时域动态指标通常为上升时间 r t 、峰值时间 P t 、调节时间 s t 、超调量 P % 等。 3． 频域动态指标 频域动态指标分开环频域指标和闭环频域指标两种。开环频域指标指相位裕量 ，幅值 裕量 Kg 和剪切频率 c 等。闭环频域指标指谐振峰值 Mr ，谐振频率 r 和频带宽度 b 等。 二、系统的校正 根据控制的任务确定系统的固有部分，并组成控制系统。系统固有部分各元部 件中，只有放大器的放大系数可以调整。在大多数情况下，仅调整系统的放大系数 不能使系统满足给定的性能指标要求。增大系统的放大系数，在某些情况下可以改 善系统的稳态性能，但是系统的动态性能将变坏，甚至有可能不稳定。对于稳态性 能和动态性能都有一定要求的大部分控制系统来说，必须引入其他装置，以改变系 统结构，才有可能使系统全面地满足性能指标的要求。为使系统满足性能指标而引 入的附加装置，称为校正装置，其传递函数用 G (s) c 表示。校正装置 G (s) c 与系统 固有部分的联接方式，称为系统的校正方案。在控制系统中，校正方案基本上分为 3 种。校正装置与原系统在前向通道串联联接，称为串联校正，如图 6—1 所示。由 原系统的某一元件引出反馈信号构成局部负反馈回路，校正装置设置在这一局部反 馈通道上，如图 6—2 所示，则称为反馈校正。如第一章和第三章所述对干扰和输入 进行补偿的复合控制，称为前馈校正。 图 6-1 (a) 串联校正 图 6-1 (b) 反馈校正 G (s) c H(s) R(s) C(s) G (s) k ( ) 1 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 2 G s G (s) c
6.2串联校正装置的特点和作用 本章主要针对单输入单输出线性定常系统的串联校正、反馈校正和前馈校正，分 别讨论超前校正装置、滞后校正装置和滞后一超前校正装置的设计问题，确定合适 的校正装置传递函数，以改善系统的根轨迹或颜率特性，使系统达到所要求的性能 指标。 1超前校正 ①传递函数 G.)=Ka+1 01 ②特点和作用 .滯后校正是通过其低频积分特性来改普系统的品质： b.滞后校正是通过降低系统的截止频率®。（剪切频率）来增大相位裕量，因此 它虽然可以减小暂态响应的超调量，但却降低了系统的快速性： ℃.滞后校正可以改善系统的稳态精度： d.滑后校正适用于暂态性能指标已经满足、但需提高稳态精度的系统。 3.滞后一超前校正 传递函数 G.(6)=s+02s+1) (s+X合s+) 式中 _工>1= 这种校正兼有滞后、超前两种校正的优点。超前校正部分可以提高系统的相角 99
99 6.2 串联校正装置的特点和作用 本章主要针对单输入单输出线性定常系统的串联校正、反馈校正和前馈校正，分 别讨论超前校正装置、滞后校正装置和滞后一超前校正装置的设计问题，确定合适 的校正装置传递函数，以改善系统的根轨迹或频率特性，使系统达到所要求的性能 指标。 1.超前校正 ①传递函数 1 1 ( ) + + = Ts Ts Gc s Kc 0 1 最大超前角 + − = − 1 1 sin 1 m 最大超前角对应的频率 T m 1 = ②特点和作用 a.超前校正是通过其相位超前特性来改善系统的品质； b.超前校正增大了系统的相位裕量和截止频率 c （剪切频率），从而减小暂态 响应的超调量，提高其快速性； c.超前校正对提高稳态精度作用不大； d.超前校正适用于稳态精度已经满足、但暂态性能不满足要求的系统。 2.滞后校正 ①传递函数 1 1 ( ) + + = Ts Ts Gc s Kc 1 ②特点和作用 a.滯后校正是通过其低频积分特性来改善系统的品质； b.滯后校正是通过降低系统的截止频率 c （剪切频率）来增大相位裕量，因此， 它虽然可以减小暂态响应的超调量，但却降低了系统的快速性； c.滯后校正可以改善系统的稳态精度； d.滯后校正适用于暂态性能指标已经满足、但需提高稳态精度的系统。 3.滞后—超前校正 传递函数 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( ) 2 1 1 2 + + + + = s T T s T s T s G s c 式中 ' 1 2 2 2 1 ' 1 1 T T T T T T = = = 这种校正兼有滞后、超前两种校正的优点。超前校正部分可以提高系统的相角
裕度，增加系统的稳定性，改善系统的暂态性能：滞后校正部分可以改善系统的稳 态性能。 6.3串联校正装置的设计步豫 串联校正装置的设计方法并没有一成不变的格式，设计者往往需要经过反复循 环的过程才能得到最佳方案，而且其解又不是唯一的。但为了便于初学者能较快地 初步掌握设计系统的方法，给出表61设计步骤作为参考。 表6.1 设计方 颜率法 法 校正装置 (1)根据要求的稳态误差或误差系数，确定开环增益K值： (2)利用己知的K值，绘制校正前系统的开环对数频率特性，并确定 相位裕量，和短值裕量： (3)由给定的相位裕量y计算出需要超前校正装置产生的最大超前相允 超 Pm=y-1+6,一般取6=50~10°： (4)根据最大超前相角求出a值，即a=(1-sin)/1+sin): (5)计算校正装置在m处的10g(1/)。在校正前系统的对数幅频 正 特性图上找出幅值为-10g(1/a)处的频率，这个频率G,(s)的om即 是的也是校正后系统的开环剪切频率0：，根据确定的值，求出超前 校正装置的转折频率1/T=o心√a,a=o/Na (6)由上述的K和a,确定G,(s)的增益K。=K/a ()绘制校正后的对数烦率特性】 并验算相位裕量和幅值裕量是否满足 要求，若不满足，需增大G值，从步骤(3)重新进行设计。 (1)提给定的稳态芳或误若系数，确定开环增若值. (2)利用K值，绘制未校正系统的开环对数频率特性，并确定相位裕 量y,和幅值裕量： (3)由给定的相位裕量y的要求，在校正前的开环对数相频特性曲线上 找出这样一个频率，要求在该频率处的相角为p=-180°+y+6,选 择这一频率作为校正后系统的剪切频率：。￡是为了补偿由滞后校正 后 装置在0：处所产生的滞后角，通常取￡=5°~15°： 校 (4)确定未校正系统在新@。处的幅值衰减到0dB时所需的衰减量，并 正 令其等于-20gVB,据此，求出B值： (5)选择校正装置的一个转折频率【G(s)的零 点/T=(/5~110)o,则另一个转折频G(s)的极点为BT (6)由上述的K和B,确定G.(s)的增益K。=K/B )绘制正后的对率性】 并验算相位裕量和幅值裕量是否满足 要求，若不满足，则应改变T值，重新进行设计。 100
100 裕度，增加系统的稳定性，改善系统的暂态性能；滞后校正部分可以改善系统的稳 态性能。 6.3 串联校正装置的设计步骤 串联校正装置的设计方法并没有一成不变的格式，设计者往往需要经过反复循 环的过程才能得到最佳方案，而且其解又不是唯一的。但为了便于初学者能较快地 初步掌握设计系统的方法，给出表 6-1 设计步骤作为参考。 表 6-1 设计方 法 校正装置 频 率 法 超 前 校 正 （1）根据要求的稳态误差或误差系数，确定开环增益 K 值； （2）利用已知的 K 值，绘制校正前系统的开环对数频率特性，并确定 相位裕量 1 和幅值裕量； （3）由给定的相位裕量 计算出需要超前校正装置产生的最大超前相角 m = - 1 + ，一般取 o = 5 ～ o 10 ； （4）根据最大超前相角求出 值，即 (1 sin ) (1 sin ) = − m + m ； （5）计算校正装置在 m 处的 10 lg(1 ) 。在校正前系统的对数幅频 特性图上找出幅值为 −10 lg(1 ) 处的频率，这个频率 G (s) c 的 m 即 是的也是校正后系统的开环剪切频率 c ，根据确定的 c 值，求出超前 校正装置的转折频率 1 T =c ，1 T =c （6）由上述的 K 和 ，确定 G (s) c 的增益 Kc = K （7）绘制校正后的对数频率特性，并验算相位裕量和幅值裕量是否满足 要求，若不满足，需增大 值，从步骤（3）重新进行设计。 滯 后 校 正 （1）根据给定的稳态误差或误差系数，确定开环增益 K 值； （2）利用 K 值，绘制未校正系统的开环对数频率特性，并确定相位裕 量 1 和幅值裕量； （3）由给定的相位裕量 的要求，在校正前的开环对数相频特性曲线上 找出这样一个频率，要求在该频率处的相角为 = − + + o 180 ，选 择这一频率作为校正后系统的剪切频率 c 。 是为了补偿由滯后校正 装置在 c 处所产生的滞后角，通常取 o = 5 ～ o 15 ； （4）确定未校正系统在新 c 处的幅值衰减到 0dB 时所需的衰减量，并 令其等于 − 20 lg 1 ，据此，求出 值； （ 5 ） 选 择 校 正 装 置 的 一 个 转 折 频 率 [ G (s) c 的 零 点] T c 1 = (1 5 ~1 10) ，则另一个转折频率[ G (s) c 的极点]为 1 T ； （6）由上述的 K 和 ，确定 G (s) c 的增益 Kc = K （7）绘制校正后的对数频率特性，并验算相位裕量和幅值裕量是否满足 要求，若不满足，则应改变 T 值，重新进行设计
典型例题分析： 例6-1山设有一单位反馈控制系统，其开环传递函数为 G(s)=s(s+2) 要求稳态速度误差系数K,=20/s),相位裕量不小于50°，增益裕量不小于10dB, 试设计一串联超前校正装置，使系统满足要求的性能指标。 解：1.在设计时，应先根据要求的K,值求出应调整的放大系数K 超前校正装置的传递函数为G.(⊙)=K,a+ 1+75 则校正后系统的开环传递函数为G(s)G(s)。令 4K G,()=KGS)=s5+2 其中K=K.a 4K 因为K,=回G,份=细5+22水=20，放可求得K=10. 这样未校正系统的频率特性为G,U@)Fjo1+0.5@ 20 2.画出末校正系统的伯德图，如图6-2的虚线所示。 令A(o)=lG4Uo=1,即 20 =1,则o=o。=6.3ad/s) 01+(0.5w)2 1=180°+p(0.)=180°-90°-g10.5×6.3=174 令p()=∠Go)=-90°-g0.50=-180°，则o=0g=o(rads),于是增 益裕量为+r(dB 这说明末校正系统的相位裕量为17°，不满足系统要求，虽然幅值裕量已满足 要求。仍需进行校正装置的设计。 0
101 典型例题分析： [例 6-1] 设有一单位反馈控制系统，其开环传递函数为 ( 2) 4 ( ) + = s s G s 要求稳态速度误差系数 K 20(1 s) v = ，相位裕量不小于 0 50 ，增益裕量不小于 10dB ， 试设计一串联超前校正装置，使系统满足要求的性能指标。 解：1．在设计时，应先根据要求的 KV 值求出应调整的放大系数 K 超前校正装置的传递函数为 Ts Ts Gc s Kc + + = 1 1 ( ) 则校正后系统的开环传递函数为 G (s)G(s) c 。令 ( 2) 4 ( ) ( ) + = = s s K G s KG s k 其中 K = Kc 因为 2 20 ( 2) 4 lim ( ) lim 0 0 = = + = = → → K s s K K sG s s s k s V ，故可求得 K =10 。 这样未校正系统的频率特性为 (1 0.5 ) 20 ( ) j j G j k + = 2．画出末校正系统的伯德图，如图 6-2 的虚线所示。 令 A() = Gk ( j) =1 ，即 1 1 (0.5 ) 20 2 = + ，则 6.3(rad s) =c = 0 0 0 1 0 1 =180 + ( ) =180 − 90 − 0.5 6.3 =17 − c tg 令 0 1 0 ( ) = ( ) = −90 − 0.5 = −180 − Gk j tg ，则 (rad s) =g = ，于是增 益裕量为 + (dB) 这说明末校正系统的相位裕量为 0 17 ，不满足系统要求，虽然幅值裕量已满足 要求。仍需进行校正装置的设计
40L(o) 100 GG G -40 90 p(o) 09 1 10 -90 G GG -180 17代500 图62校正前、后系统的伯德图 3.根据题意，至少要求超前相角为50°-17°=33°。考虑到串联超前校正装置 后幅频特性的剪切频率o。要向右移，将使原有的17°还要减小，因此还需增加约5 的超前相角，故共需增加超前相角pm=33°+5°=38°。 4.a=1-sn0=024 1+sinm 5.再用作图法求@。，因为-10g。=-10g417=-62d6),所以在未校正 的对数幅频特性曲线L(o回)~0上找出与-6.2(dB)所对应的频率 o.=0。=9(ads),这个频率就是校正后系统的剪切频率a。于是再计算T 7=0a=441, 1-02=184 aT a 故可得超前校正装置的传递函数为 G.(6)=K.(+44 1+0227s +18=K.a4+00s4 其中K。=K/a=10/0.24=41.7 6.校正后系统的开环传递函数为 102
102 0 -40 -20 40 20 c 1 2 10 100 L() " c Gc GGc Gk 1 2 10 100 o 17 o 50 o 0 o − 90 o −180 o 90 Gc Gk GGc () 图 6-2 校正前、后系统的伯德图 3．根据题意，至少要求超前相角为 0 0 0 50 −17 = 33 。考虑到串联超前校正装置 后幅频特性的剪切频率 c 要向右移，将使原有的 0 17 还要减小，因此还需增加约 0 5 的超前相角，故共需增加超前相角 0 0 0 m = 33 + 5 = 38 。 4． 0.24 1 sin 1 sin = + − = m m 5．再用作图法求 m ，因为 10lg 4.17 6.2( ) 1 −10lg = − = − dB ，所以在未校正 的对数幅频特性曲线 L() ~ 上找出 与 − 6.2(dB) 所对应的频率 9( ) '' rad s m = c = ，这个频率就是校正后系统的剪切频率 '' c 。于是再计算 T 4.41 1 = c = T ， 18.4 1 = = c T 故可得超前校正装置的传递函数为 ) 1 0.054 1 0.227 ) ( 18.4 4.41 ( ) ( s s K s s Gc s Kc c + + = + + = 其中 Kc = K =10 0.24 = 41.7 6．校正后系统的开环传递函数为
Gs)G.=4x417x5+44.201+0.275 s(s+2)s+18.4s1+0.5s)1+0.054s) 7.校验 因=9，通过计算可校验y y=180°+g0.27×9-900-g×9-g-0.054×9=500 图6-2的实线为校正后系统的伯德图，点划线是校正装置的伯德图。从图6-2 可以看出，校正后系统的剪切频率o从0。=6.3(rad/s)增加到o。=9(rads),即增 加了系统的频带带宽和反应速度。校正后相位裕量增加到S0°，增益裕量为+c(dB), 故校正后的系统满足了希望的性能指标。 应当指出，有些情况采用串联超前校正是无效的。串联超前校正受以下两个因 素的限制。 ()闭环带宽要求。若原系统不稳定，为了获得要求的相角裕度，超前网络应 具有很大的相角超前量，这样，超前网络的α值必须选得很小，从而造成己校正系 统带宽过大，使通过系统的高频噪声电平很高，很可能使系统失控。 (2)如果原系统在剪切频率附近相角迅速减小，一般不宜采用串联超前校正 因为随者剪切频率向©轴右方移动，原系统相角将迅速下降，尽管串联超前网络提 供超前角，而校正后系统相角裕度的改善不大，很难产生足够的相角裕量。 在上述情况下，可采取其他方法对系统进行校正。 [例6-2]设单位反馈系统的开环传递函数 1 G5)=s02s+10.5s+0 要求的性能指标为：K,=201/s,相角裕量不低于35°，增益裕量不低于10B, 试求串联滞后校正装置的传递函数。 解：1.根据稳态指标要求求出K值 K 由于G.⊙)=02s+10.5s+ 其中K=KB Ky =lim sG (s)=K=20(l/s) 103
103 (1 0.5 )(1 0.054 ) 20(1 0.227 ) 18.4 4.41 ( 2) 4 41.7 ( ) ( ) s s s s s s s s G s G s c + + + = + + + = 7．校验 因 9 '' c = ，通过计算可校验 '' '' 0 1 0 1 1 0 9 0.054 9 50 2 1 =180 + 0.227 9 − 90 − − = − − − tg tg tg 图 6-2 的实线为校正后系统的伯德图，点划线是校正装置的伯德图。从图 6-2 可以看出，校正后系统的剪切频率 '' c 从 6.3(rad s) c = 增加到 9( ) '' rad s c = ，即增 加了系统的频带带宽和反应速度。校正后相位裕量增加到 0 50 ，增益裕量为 + (dB) ， 故校正后的系统满足了希望的性能指标。 应当指出，有些情况采用串联超前校正是无效的。串联超前校正受以下两个因 素的限 制。 (1) 闭环带宽要求。若原系统不稳定，为了获得要求的相角裕度，超前网络应 具有很大的相角超前量，这样，超前网络的 值必须选得很小，从而造成已校正系 统带宽过大，使通过系统的高频噪声电平很高，很可能使系统失控。 (2) 如果原系统在剪切频率附近相角迅速减小，一般不宜采用串联超前校正。 因为随着剪切频率向 轴右方移动，原系统相角将迅速下降，尽管串联超前网络提 供超前角，而校正后系统相角裕度的改善不大，很难产生足够的相角裕量。 在上述情况下，可采取其他方法对系统进行校正。 [例 6-2] 设单位反馈系统的开环传递函数 (0.2 1)(0.5 1) 1 ( ) + + = s s s G s 要求的性能指标为： K s v = 201 ，相角裕量不低于 0 35 ，增益裕量不低于 10dB ， 试求串联滞后校正装置的传递函数。 解：1．根据稳态指标要求求出 K 值。 由于 (0.2 1)(0.5 1) ( ) + + = s s s K G s k 其中 K = Kc lim ( ) 20(1 ) 0 K sG s K s k s V = = = →
这样未校正系统的频率特性为G,(s)= 20 j01+j0.2o1+j0.5o) 2.未校正系统的伯德图见图6-3，求出相角裕量为-30.6°，增益裕量为-10dB 这表明满足稳态性能指标后系统不稳定，因此要对系统进行校正。 3.性能指标要求y≥35°，取y=35°，为补偿滞后校正装置的相角滞后，相角 裕量应按35°+12°=47°计算，要获得47的相角裕量，相角应为 -180°+47°=-1330。选择使相角为-133°的频率为校正后系统的开环剪切频率， 由图上求得p(o=1.16)=-133°，即选择o”=1.16(rads). L(o) G 0.1 G。 (w) 2510 35 -270 图6-3滞后校正装置校正前后系统的对数特性 4.选择o2=1.16(ads),即校正后系统伯德图在0=oc处应为0dB。由图6-3 可求出原系统伯德图在0=0处为24.73dB,因此，滞后校正装置必须产生的幅值 衰减为-24.73dB,由此可求出校正装置参数 104
104 这样未校正系统的频率特性为 (1 0.2 )(1 0.5 ) 20 ( ) j j j G s k + + = 2．未校正系统的伯德图见图 6-3，求出相角裕量为 0 − 30.6 ，增益裕量为−10dB 。 这表明满足稳态性能指标后系统不稳定，因此要对系统进行校正。 3．性能指标要求 0 35 ，取 0 = 35 ，为补偿滞后校正装置的相角滞后，相角 裕量应按 0 0 0 35 +12 = 47 计算，要获得 0 47 的相角裕量，相角应为 0 0 0 −180 + 47 = −133 。选择使相角为 0 −133 的频率为校正后系统的开环剪切频率， 由图上求得 0 ( =1.16) = −133 ，即选择 1.16( ) '' rad s c = 。 L() 0 60 -20 40 20 c 0.01 " c Gc GGc Gk 1 10 0.1 2 5 o − 30.6 o 35 o 0 o − 90 o −180 o − 270 Gk GGc () 0.1 1 10 0.01 2 5 Gc 图 6-3 滞后校正装置校正前后系统的对数特性 4．选择 1.16( ) '' rad s c = ，即校正后系统伯德图在 " =c 处应为 0dB 。由图 6-3 可求出原系统伯德图在 " =c 处为 24.73dB ，因此，滞后校正装置必须产生的幅值 衰减为 − 24.73dB ，由此可求出校正装置参数
20gB=-24.73(db) B=0.058 5由而一兮回可求得7，为使游后校正装置的时间常数了不过分大， 取厅-兮求出T:4。这样，滞后位正装置的传函为 G.)=s+-43s+1 T5+174.325+i 则校正后系统的开环传递函数为： 20(4.3s+1) G.(6G.()=s0.2s+1W0.5s+17432s+d 6.由上述的K和B,确定G.(s)的增益K=K/B=20/0.058=344.83 7.作出校正后系统的伯德图，见图6-3，检验校正后系统是否满足性能指标要 求。 由图6-3可求出校正后系统相角裕量为y=35°，增益裕量K。=12db,且 K。=K=20,说明校正后系统的稳态、动态性能均满足指标的要求。 当系统的暂态性能和稳态性能都不满足性能指标的要求时可以采用滞后一超前 校正。其中，利用超前校正部分提高系统的相角裕度，增加系统的稳定性，改善系 统的暂态性能；利用滞后校正部分来改善系统的稳态性能。 6.4应用MATLAB进行校正设计 采用计算机对控制系统进行辅助设计的优点之一是可以对系统的整体模型进行 描述与分析。本节将初步介绍控制系统计算机辅助设计方法，主要内容有闭环系统 的时域与频域分析方法和依照系统性能指标的要求进行系统补偿的方法。 在下面要介绍的程序中，被控对象传递函数G(S)用g、dg表示：补偿器K(s) 传递函数由k、dk表示。希望的相角与增益穿越频率由dpm与wgc表示。在每段 程序开始还定义了其它相关的符号。 1、比例、积分与微分(PID)控制方法 PD控制系统的开环增益为 (K+Kos+K)Gs) 105
105 0.058 20 lg 24.73( ) = = − db 5．由 '' ) 10 1 ~ 5 1 ( 1 c T = 可求得 T 。为使滞后校正装置的时间常数 T 不过分大， 取 '' 5 1 1 c T = ，求出 T = 74.32 。这样，滞后校正装置的传递函数为： 74.32 1 4.3 1 1 1 ( ) 1 1 + + = + + = s s T s T s G s c 则校正后系统的开环传递函数为： (0.2 1)(0.5 1)(74.32 1) 20(4.3 1) ( ) ( ) + + + + = s s s s s G s G s c k 6．由上述的 K 和 ，确定 G (s) c 的增益 Kc = K = 20 0.058 = 344.83 7．作出校正后系统的伯德图，见图 6-3，检验校正后系统是否满足性能指标要 求。 由图 6-3 可求出校正后系统相角裕量为 0 = 35 ，增益裕量 Kg ＝12db，且 Kv = K = 20 ，说明校正后系统的稳态、动态性能均满足指标的要求。 当系统的暂态性能和稳态性能都不满足性能指标的要求时可以采用滞后—超前 校正。其中，利用超前校正部分提高系统的相角裕度，增加系统的稳定性，改善系 统的暂态性能；利用滞后校正部分来改善系统的稳态性能。 6.4 应用 MATLAB 进行校正设计 采用计算机对控制系统进行辅助设计的优点之一是可以对系统的整体模型进行 描述与分析。本节将初步介绍控制系统计算机辅助设计方法，主要内容有闭环系统 的时域与频域分析方法和依照系统性能指标的要求进行系统补偿的方法。 在下面要介绍的程序中，被控对象传递函数 G(s) 用 ng、dg 表示；补偿器 K(s) 传递函数由 nk、dk 表示。希望的相角与增益穿越频率由 dpm 与 wgc 表示。在每段 程序开始还定义了其它相关的符号。 1、比例、积分与微分(PID)控制方法 PID 控制系统的开环增益为 ( ) ( ) 1 G s s K K K s P + D +
如果G(s)是n型系统，补偿后的系统则为+1型系统。误差常数K等于稳 态误差e.的倒数。 K.=s"K:G(s)o=1 对于给定的稳态误差指标，由上面等式可以求得K,的值。由时域指标，如超调 量和过渡过程时间，可以确定闭环阻尼系数和自然振荡频率。我们已经知道闭环自 然振荡频率对应开环剪切频率0。，而希望的相角裕量y可以由闭环阻尼系数求出。 因此，在o=0.处，补偿的系统增益应为1，相角p(@)=-180°+y。由上述 分析结果（且K,己知）可以写出 (K++KG.)le j0. 又可以导出 leje(o.) iK=R+jX Kr+jo.Ko-G(jo.)"0. 由此可以看出，Kp=R，K。=X/o 上述过程可使用下列MATLAB语言程序求解。 解析的PID/PD程序。该程序需要预先确定ng、dg、wgc(即为o。)、dpm(即 为y)和ki等几个参数。其MATLAB程序清单如下： functilon[kp,kd,nk,dk]=pid(ng,dg,ki,dpm,wgc) ngv=polyval(ng,j*wgc):dgv=polyval(dg,j*wgc): g=ngv dgv thetar=(dpm-180)*pi/180: ejtheta=cos(thetar)j*sin(thetar): eqn=(ejtheta/g)j*(ki wgc) x=imag(eqn): r-real(eqn): kp=r
106 如果 G(s) 是 n 型系统，补偿后的系统则为 n+1 型系统。误差常数 Kn+1 等于稳 态误差 ss e 的倒数。 ss s n n e K s K G s 1 ( ) | +1 = 1 =0 = 对于给定的稳态误差指标，由上面等式可以求得 K1 的值。由时域指标，如超调 量和过渡过程时间，可以确定闭环阻尼系数和自然振荡频率。我们已经知道闭环自 然振荡频率对应开环剪切频率 c ，而希望的相角裕量 可以由闭环阻尼系数求出。 因此，在 =c 处，补偿的系统增益应为 1，相角 = − + 0 ( c ) 180 。 由上述 分析结果(且 K1 己知)可以写出 1 ( ) ( ) ( ) 1 c j c c P c D G j e j K K j K + + = 又可以导出 R jX jK G j e K j K c c j P c D c + = + = + 1 ( ) ( ) 1 由此可以看出， KP = R ， K D X c = / 上述过程可使用下列 MATLAB 语言程序求解。 解析的 PID/PD 程序。该程序需要预先确定 ng、dg、wgc（即为 c ）、dpm（即 为 ）和 ki 等几个参数。其 MATLAB 程序清单如下： functilon[kp，kd，nk，dk]＝pid(ng，dg，ki，dpm，wgc) ngv＝po1yval(ng，j*wgc)； dgv＝polyval(dg，j*wgc)； g＝ngv／dgv ； thetar＝(dpm—180)*pi／180； ejtheta=cos(thetar)十 j*sin(thetar)； eqn=(ejtheta／g)十 j*(ki／wgc) x=imag(eqn)； r＝real(eqn)； kp＝r