单摆中的混沌现象 1.倍周期分岔行为 对于单摆有阻尼有驱动情形，通过前面所讨论过的单摆的相图与庞加莱截面，我们已经 可以看出单摆的倍周期分岔行为。 ∫增至1.07时出现二倍周期：从135增至1.45时，又从一倍周期过渡到二倍周期。了增 大到1.50时，出现四倍周期。 在出现倍周期行为后，逐渐过渡，最后都出现貌似无规的运动。 由于单摆的运动还是太复杂了一点，以至于它是怎样通过一系列倍周期分岔进入混沌的 细致过程，我们在这里不易看清楚。 对单摆的仔细分析发现，无论是它的分岔图，还是计算它的费根鲍姆常数，都与逻辑斯 谛映射模型所得到的结果相似。例如，单摆的一个倍周期分岔序列为∫=1.066,1.07,1.080 由此计算出的费根鲍姆常数为4牡1，在计算误差范围内是与逻辑斯谛映射的结果相符合的。 2.单摆的混沌吸引子 MT的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在1963年发现了奇怪吸引子。 洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程： dx/d=-10x+10y 4y/=28x-y-x2 (9) 位=+ 现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了 个三维吸引子，其二维投影如图10所示。总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀
1.倍周期分岔行为 对于单摆有阻尼有驱动情形，通过前面所讨论过的单摆的相图与庞加莱截面，我们已经 可以看出单摆的倍周期分岔行为。 f 增至 1.07 时出现二倍周期；从 1.35 增至 1.45 时，又从一倍周期过渡到二倍周期。f 增 大到 1.50 时，出现四倍周期。 在出现倍周期行为后，逐渐过渡，最后都出现貌似无规的运动。 由于单摆的运动还是太复杂了一点，以至于它是怎样通过一系列倍周期分岔进入混沌的 细致过程，我们在这里不易看清楚。 对单摆的仔细分析发现，无论是它的分岔图，还是计算它的费根鲍姆常数，都与逻辑斯 谛映射模型所得到的结果相似。例如，单摆的一个倍周期分岔序列为 f = 1.066,1.077,1.080， 由此计算出的费根鲍姆常数为 4±1，在计算误差范围内是与逻辑斯谛映射的结果相符合的。 2.单摆的混沌吸引子 MIT 的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在 1963 年发现了奇怪吸引子。 洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程： （9） 现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了一 个三维吸引子，其二维投影如图 10 所示。总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀
实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统 相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。 刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。 分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。图11即为单摆的混沌吸引子。由图中可 以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。 李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计 算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。 图10 图 3并非结束 这里所讲的混沌，只是混沌理论的一个小的部分，有很多内容，甚至是很重要的内容（例 如KAM定理等)只字未提。 就是对于单摆的混沌运动，我们这里也只讨论了它的某些方面。同步镇锁、伸展与折叠 等这里都未涉及，混沌在自然界中普遍存在。某种意义上可以这样说，混沌无处不在，没有 混沌，就没有复杂性，没有进货与发展，大概也不会有生命乃至宇宙 对于周围世界的复杂性的观察常会使我们想到这样一些问题： 非常简单的物理规律是如何衍生出五彩缤纷的结构的？
实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统 相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。 刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。 分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。图 11 即为单摆的混沌吸引子。由图中可 以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。 李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计 算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。 图 10 图 11 3.并非结束 这里所讲的混沌，只是混沌理论的一个小的部分，有很多内容，甚至是很重要的内容（例 如 KAM 定理等）只字未提。 就是对于单摆的混沌运动，我们这里也只讨论了它的某些方面。同步镇锁、伸展与折叠 等这里都未涉及，混沌在自然界中普遍存在。某种意义上可以这样说，混沌无处不在，没有 混沌，就没有复杂性，没有进货与发展，大概也不会有生命乃至宇宙。 对于周围世界的复杂性的观察常会使我们想到这样一些问题： 非常简单的物理规律是如何衍生出五彩缤纷的结构的？
不同规律产生的复杂结构是否具有共性？为什么会具有这些共性？ .。 对以分形和混池为标志的非线性理论的研究越来越引起大家的关注，很多人认为这将能 揭示出更多复杂性结构的共性与规律性。或许这会有助于我们对上述这些大家关心的问愿的 解答
不同规律产生的复杂结构是否具有共性？为什么会具有这些共性？ .。 对以分形和混沌为标志的非线性理论的研究越来越引起大家的关注，很多人认为这将能 揭示出更多复杂性结构的共性与规律性。或许这会有助于我们对上述这些大家关心的问题的 解答