中央广播电视大学 试卷习题 综合练习（三）（2007秋）_工程数学

工程数学们秋锦合练习（三） 三，计算题 [110 「100 1.己知A=223B=312 证明A-B可遵，并求(A-B) 345442 1-12] 2设矩阵A= 2-35,求(1)4.(2)A L3-24 「10 [122 3设矩阵A= 011,B=21 2 ， 求A及ABA -1-1 221 「0-2 -37 [23] 4已知X=AX+B,其中A=-3 4 -7,B=58,求X 5 -8-901 1-15-12 11-235 5设电阵A= 3-1819 求阵A的积. 13-978 6求向量组%=1.-3-21刂，马=3-84，-10 %=[-2,14,2,小，么，=[-山-2,6，↓2]的铁。并求该向量组的一个极 大无关组。 7,分别说明当4，B取何值时，线性方程组 31-3x1+x1-x=1 -2%1+7x3-2x,+x,=-2 x-4x2+3x1+2x,=1 2x1-4x2+8x,+,=b 无解、有难一解、有无穷多解。在有无穷多解的情况下求出一般解. &求线性方程组

1 工程数学 07 秋综合练习（三） 三、计算题 1. 已知           =           = 4 4 2 3 1 2 1 0 0 , 3 4 5 2 2 3 1 1 0 A B ，证明 A − B 可逆，并求 1 ( ) − A − B ． 2. 设矩阵           − − − = 3 2 4 2 3 5 1 1 2 A ，求（1） A ，（2） −1 A ． 3. 设矩阵 A = B − −           =           1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 , ，求 A −1 及 A BA −1 ． 4. 已知 X = AX + B ，其中 0 2 3 2 3 3 4 7 , 5 8 5 8 9 0 1 A B     − −     = − − − =             − − − ，求 X ． 5. 设矩阵 1 1 5 1 2 1 1 2 3 5 3 1 8 1 9 1 3 9 7 8 A   − −   − =     −     − ，求矩阵 A 的秩． 6. 求向量组 1 = − − − 1, 3, 2, 1, 1 ， 2 = − − − 3, 8, 4, 1, 0 ， 3 = − −  2, 1, 4, 2, 1，4 = − − −  1, 2, 6, 1, 2 的秩，并求该向量组的一个极 大无关组． 7. 分别说明当 a , b 取何值时，线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x ax b 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 7 2 2 4 3 2 1 2 4 8 − + − = − + − + = − − + + = − + + =        无解、有唯一解、有无穷多解．在有无穷多解的情况下求出一般解． 8. 求线性方程组

1-2x1-x3+x4=-2 2x1+7x:+3红1+x4=6 9%1+4x2+无+7x,■2 5x1+12x1+5,+3x,■10 的全部解。 9.设齐次线性方程组AX■0的系数矩阵经过初等行变换。得 「2010 02-32 0000 求此齐次线性方程组的一个基陆解系和通解， 10。当入取何植时，线性方程组 「五+x1-2x-x4■-2 2x+x3+7x3+3x,=6 9x+7x2+41+x=入+1 有解，在有解的情况下求方程组的全部解。 11.假设A,B为两事件，已知P\A)=0.5,P(B)=0.6P代A)=0.4,求P八A+B) 12.一批产品分别米自甲，乙、丙三个厂家，其中50%米自甲厂、30%米自乙厂、2m米 自丙厂。己知这三个厂家的次品率分别为0,01,0,2和Q04。现从这批产品中任取一件， 求取出的产晶是合格品的概率 13。一袋中有10个球，其中3个里球7个白球。今从中依次无放回地抽取两个，求第 2次油取出的是■球的概率 14.已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为Q.03,第二道工序 的次品率为Q.01,两道工序的次品率棱此无关，求这批零件的合格率 15.设X~f八)= 2e-2rx20 求(I)P-17),(己知)=0.8413. 2)=09772.3)=0.9987) 「0123 17.设X 求I)E(X):2PXs2) 0.1030.402 18。某车间生产滚珠，己知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9个，测 得直径平均值为151画，若已如这批滚珠直径的方差为0.062，试找出滚珠直径均值的置信

2        + + + = + + + = + + + = − − + = − 5 12 5 3 10 9 4 7 2 2 7 3 6 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解． 9. 设齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵经过初等行变换，得           → → − 0 0 0 0 0 2 3 2 2 0 1 0 A  求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解． 10．当  取何值时，线性方程组      + + + = + + + + = + − − = − 9 7 4 1 2 7 3 6 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x  x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 11. 假设 A, B 为两事件，已知 P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,P(B A) = 0.4 ，求 P(A + B) ． 12. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中 50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来 自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为 0.01，0.02 和 0.04。现从这批产品中任取一件， 求取出的产品是合格品的概率. 13. 一袋中有 10 个球，其中 3 个黑球 7 个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第 2 次抽取出的是黑球的概率. 14. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为 0.03，第二道工序 的次品率为 0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率. 15. 设      = − 0 0 2e 0 ~ ( ) 2 x x X f x x ，求 (1)P(−1  X  4) ；（2） P(X  −3) ；（3） P(X  −10) . 16. 设 X ~ N(3, 4) ，试求⑴ P(5  X  9) ；⑵ P(X  7) ．（已知 (1) = 0.8413 , (2) = 0.9772 , (3) = 0.9987 ） 17. 设 0 1 2 3 ~ 0.1 0.3 0.4 0.2 X       ，求⑴ E(X ) ；⑵ P(X  2) ． 18. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出 9 个，测 得直径平均值为 15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为 2 0.06 ，试找出滚珠直径均值的置信

度为0,95的置信区间(6=196) 19.据魔料分析，某厂生产的一批砖，其抗斯强度X-N(32.5.121),今从这批转中 随机地抽取了9块，测得抗新强度（单位：kg/✉）的平均值为3L.12,问这批砖的抗断强 度是否合格(a-005.品m=196). 0,对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机 地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.0的，样本标准差为0,35，求该项技术指 标置信度为0,96的置信区间(1a(1S)=2.131), 3

3 度为 0.95 的置信区间 ( . ) u0.975 = 196 ． 19. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度 X ~ N(32.5 , 1.21) ，今从这批砖中 随机地抽取了 9 块，测得抗断强度（单位：kg／cm 2）的平均值为 31.12，问这批砖的抗断强 度是否合格（  = 0.05, u0.975 = 1.96 ）． 20. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机 地抽取了 16 件，测得该项技术指标的平均值为 31.06，样本标准差为 0.35，求该项技术指 标置信度为 0.95 的置信区间（ t 0.05 (15) = 2.131 ）．

参考解答： 「010 1.解：A-B= -103 010 -1 因为4-时= 1= =2≠0，所以A-B可递 -103 1 且(A-B)= 3211-2 3 -2 -201-2 1-1 211-12|1-12 2.解： (1)4-2-3 5=0 1 =0-1 1-I 3-2 401-200-1 (2)利川初等行变换得 [1-12100 -12 100 2 -35010 →0 -210 3-240010 1-2 -301 1-12 1 00]「1-12 0 →0-1 0 0 L00 -5 1 -1 「1-10 -9 2 21 「1 0 -2 0 11 →01 0 7 -2 -1 → 0 0 -2 -1 001 5 -1-1 0015-1-1 (-2 0 11 即A= 7 -2 -1 -1-1 3,解： 利用初等行变换得 01100]「101100 0 11010+011010 -1-110010-12101

4 参考解答： 1．解：           − − = − 1 0 3 1 1 1 0 1 0 A B ， 因为 2 0 1 3 1 1 1 0 3 1 1 1 0 1 0 =  − − = − − A − B = − ，所以 A − B 可逆 且               − − − = − 2 1 2 1 2 1 1 0 0 2 1 2 3 2 3 ( ) 1 A B 2．解： （1） 1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 2 3 2 4 2 3 5 1 1 2 = − − − = − − − = − − − A = （2）利用初等行变换得           − − − − − →           − − − 0 1 2 3 0 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 3 2 4 0 0 1 2 3 5 0 1 0 1 1 2 1 0 0 → − − − − −           → − − − − −           1 1 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 5 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 5 1 1 → − − − − − −           → − − − − −           1 1 0 9 2 2 0 1 0 7 2 1 0 0 1 5 1 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 7 2 1 0 0 1 5 1 1 即 A − = − − − − −           1 2 0 1 7 2 1 5 1 1 3．解： 利用初等行变换得 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 − − 0 1 2 1 0 1           → −          

「1011001 0110 0 011010 0 0 01 1003111 0 01 2 1 10 10 0, 3 →01 0 3 001 3」 0 01 3 2-31-3 31-31-3 「2 -1 -17 即A= 2 111 由矩阵乘法得 2-1-122101 12 21-1-11 -21[101「-100 5-1- 1 0 4,解：由方程X=AX+B,得(I-A)X=B,且 f123 1-A= 357 5810 利用初等行变换得 [1231001 「123100 35 7 0 10 0 -1 -2 -310 581000 L0-2-5 =501 「123 0 01[1204 -637 →01 2 0 +0 0 5 2 00-1 1-21」 o 01-1 2-1 「100-6 4 -1 →0105 -5 2 001 -12-1

5 →           →             1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 3 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 1 3 1 3 → − −                 → − − − −                 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 3 2 3 1 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 1 0 0 2 3 1 3 1 3 0 1 0 1 3 2 3 1 3 0 0 1 1 3 1 3 1 3 即 A − = − − − −           1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 由矩阵乘法得 A BA − = − − − −                     − −           1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 5 5 5 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 5 − −           − −           = − −           4．解：由方程 X = AX + B ，得 ( ) I A X B − = ，且 1 2 3 3 5 7 5 8 10 I A     − =       利用初等行变换得           − − − → − − −           0 2 5 5 0 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 0 5 8 10 0 0 1 3 5 7 0 1 0 1 2 3 1 0 0           − − − − →           − − → − 0 0 1 1 2 1 0 1 0 5 5 2 1 2 0 4 6 3 0 0 1 1 2 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 0           − − − − − → 0 0 1 1 2 1 0 1 0 5 5 2 1 0 0 6 4 1

[-6 4 -1 即(1-A) 5 -5 2 -12 -1 由矩阵乘法得 -6 4 -11r237 13 X=(1-A)B= 5 -5 8 -15 -23 -1 -1 0 1 8 5.解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 「1-15-1 27 -1 -1 37 1 -23 2 -7 4 3-1 8 1 9 -7 33 13-9 7 4 -148 6 [1-15 -1 2 -7 4 3 0 0 0 0 0 00 00 0 由此可知矩库的秩为2. 6.解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 1 -3-2-111 -3-2-111 3 -8-4-10 2 -3 1-42 1 0 -5 -8 -1-2-61 2 0 -5 -803 「1-3-2-1 012 2 -3 00210 -12 100 0 0 0 由此可知该向量组的铁为3，且乌，C2,乌是一个极大无美组。 7.解：将方程组的增广矩阵化为阶棉形 1-3 1-1 17 1 -31 -1 17 7 -2 0 1 0 -4 3 0-12 2 -48a b 26a+2b-2 6

6 即 1 ( ) I A − − = 6 4 1 5 5 2 1 2 1   − −   −       − − 由矩阵乘法得 1 6 4 1 2 3 8 13 ( ) 5 5 2 5 8 15 23 1 2 1 0 1 8 12 X I A B−       − −       = − = − = − −                   − − 5．解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形             − − − − − →             − − − − − 0 4 14 8 6 0 2 7 4 3 0 2 7 4 3 1 1 5 1 2 1 3 9 7 8 3 1 8 1 9 1 1 2 3 5 1 1 5 1 2 1 1 5 1 2 0 2 7 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   − −   − →         由此可知矩阵的秩为 2． 6．解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 1 3 2 1 1 3 8 4 1 0 2 1 4 2 1 1 2 6 1 2 1 3 2 1 1 0 1 2 2 3 0 5 8 0 3 0 5 8 0 3 − − − − − − − − − − −             → − − − − − − − −             1 3 2 1 1 0 1 2 2 3 0 0 2 10 12 0 0 0 0 0   − − −   − →     −     由此可知该向量组的秩为 3，且 1 2 3  ,  ,  是一个极大无关组． 7．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1 3 1 1 1 2 7 2 1 2 1 4 3 2 1 2 4 8 1 3 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 0 0 2 6 2 2 − − − − − − −             → − − − − + −             a b a b

「1-31 -1 -31 -1 17 0 10 -1 0 0 1 0 -1 02 2 0 0 02 2 0 00 6a+4 b-2 0 0 0 a-2b-2 当a-2.b*2时，方程组无解。当a≠2时，方程组有唯一解.当a=2,b-2时， 方程组有无穷多解， 在方程组有无穷多解的情况下，一般解为 馬1=1+5x =x4 (其中x:为自由来知量) x■-x 8.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 f1-2-11-21 -2 -1 1 731 0 11 10 9 417 22 10 -2 2 51253 10 022 10 -2 20 -2 -1 1 -27 10 11 -1 10 9-11 01 0 0 0 0 0 210-T0 0 0 0 0 0 8 0 此时齐次方程组化为 9 =+ 分别令无=1，工4=0，和x3=0,x4=1,得齐次方程组的一组基础解系 x-可 品品0可 令x1=0,x:=0,得非齐次方程组的一个特解

7 → − − − + −             → − − − − −             1 3 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 2 2 0 0 0 6 4 2 1 3 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 2 2 0 a b 0 0 0 a 2 b 2 … 当 a = 2, b  2 时，方程组无解。当 a  2 时，方程组有唯一解。当 a = 2, b = 2 时， 方程组有无穷多解。 在方程组有无穷多解的情况下，一般解为 x x x x x x 1 4 2 4 3 4 = 1+ 5 = = −      （其中 x 4 为自由未知量） 8．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形             − − − − − − →             − − − 0 22 10 2 20 0 22 10 2 20 0 11 5 1 10 1 2 1 1 2 5 12 5 3 10 9 4 1 7 2 2 7 3 1 6 1 2 1 1 2                 − − − →             − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 10 11 1 11 5 0 1 11 2 11 9 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 5 1 10 1 2 1 1 2 此时齐次方程组化为        = − + = − 2 3 4 1 3 4 11 1 11 5 11 9 11 1 x x x x x x 分别令 x3 =1, x4 = 0 ，和 x3 = 0, x4 =1 ，得齐次方程组的一组基础解系        = − 1 0 11 5 11 1 X1        = − 0 1 11 1 11 9 X2 令 x3 = 0, x4 = 0 ，得非齐次方程组的一个特解

x-品9可 由此得原方程组的全部解为 X=X。+kX,+kX (其中k,k为任意常数) 「2010] 「101/20 9.解：因为02-32 +01-3/21 0 00 0 0000 得一粮解： 3 (其中无，x,是自由元) 西2- 令x=2,x=0,得X,=【1320: 令x1=0,x4=1,得x2-0-10 所以，{X,X2}是方程组的一个基础解系。 方程组的通解为：X=kX+kX2,其中k,k是任意常数。 10.解：将方程组的增广矩降化为阶梯形 「11-2-1-21 1-2-1-21 217 0-111 510 97412+1 0-222 10A+19 「11-2-1-21「10 94 87 →0-1115 10 →01-11-5-10 10 00 0-1 000 01-1 由此可知当2≠1时，方程组无解。当无=1时，方程组有解。 此制齐次方程组化为 x=-9x3-4x x2=1Lx,+5x 分别令=1，X=0及x=0,无4=1，得齐次方程组的一个基出解系 xX=【91110,X2=【450 令工，=0，无：=0，得非齐次方程组的一个特解

8        = − 0 0 11 10 11 2 X0 由此得原方程组的全部解为 0 1 1 2X2 X = X + k X + k （其中 1 2 k , k 为任意常数） 9．解： 因为           → −           − 0 0 0 0 0 1 3/ 2 1 1 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0 2 3 2 2 0 1 0 得一般解：      = − = − 2 3 4 1 3 2 3 2 1 x x x x x （其中 3 4 x , x 是自由元） 令 x3 = 2, x4 = 0 ，得    X1 = −1 3 2 0 ； 令 x3 = 0, x4 =1 ，得    X2 = 0 −1 0 1 ． 所以，  X1 , X2  是方程组的一个基础解系． 方程组的通解为： X = 1 1 2X2 k X + k ，其中 1 2 k ,k 是任意常数． 10．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形           − + − − − − →           + − − − 0 2 22 10 19 0 1 11 5 10 1 1 2 1 2 9 7 4 1 1 2 1 7 3 6 1 1 2 1 2             − → − − −           − − − − − → 0 0 0 0 1 0 1 11 5 10 1 0 9 4 8 0 0 0 0 1 0 1 11 5 10 1 1 2 1 2   由此可知当  1 时，方程组无解。当  =1 时，方程组有解。 此时齐次方程组化为    = + = − − 2 3 4 1 3 4 11 5 9 4 x x x x x x 分别令 x x 3 = 1, 4 = 0 及 x x 3 = 0, 4 = 1 ，得齐次方程组的一个基础解系      = −  X1 = − 9 11 1 0 , X2 4 5 0 1 令 x x 3 = 0, 4 = 0 ，得非齐次方程组的一个特解

X。=8-1000 由此得原方程组的全部解为 X=X。+kX+k2X:(其中k,k为任意常数) 11.解：P=P0P0=0.5×04=02 PAB)=PB-PAB=0.6-0.2=0.4 P(A+B)-P(A)+P(B)-P(AB)-0.7 2.解：设如下事件： A,“产品来自甲厂一 B:“产品来白乙厂 C:“产品来自丙厂” D:“产品是合格品” 由全概公式有 P(D)=P(A)P(D A)+P(B)P(D B)+P(C)P(DC) 05×001+03×002+02×004=0019 由对立事件的关系可知 PD)=1-PD)=1-0019=0981 13.解：设知下事件： A:“第1次抽取出的是佩球“ A:“第2次抽取出的是黑球 3 显然有P代4)。由全概公式得 P(4)=P(4)P(A)+P()P(44) -3x2+7x3.3 10910910 14.解：设如下事作： A:“第一道工序加工的零件是次品 B:“第二道工序加工的零件是次品” C:“零件是合格品

9    X0 = 8 −10 0 0 由此得原方程组的全部解为 X = X0 + k1X1 + k2 X2 （其中 k k 1 2 , 为任意常数） 11．解： P(AB) = P(A)P(B A) = 0.50.4 = 0.2 P(AB) = P(B) − P(AB) = 0.6 − 0.2 = 0.4 P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.7 12．解：设如下事件： A ：“产品来自甲厂” B ：“产品来自乙厂” C ：“产品来自丙厂” D ：“产品是合格品” 由全概公式有 P(D) = P(A)P(D A) + P(B)P(D B) + P(C)P(D C) 0.5 0.01+ 0.3 0.02 + 0.2  0.04 = 0.019 由对立事件的关系可知 P(D) = 1− P(D) = 1− 0.019 = 0.981 13．解：设如下事件： A1 ：“第 1 次抽取出的是黑球” A2 ：“第 2 次抽取出的是黑球” 显然有 10 3 ( ) P A1 = ，由全概公式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A2 = P A1 P A2 A1 + P A1 P A2 A1 10 3 9 3 10 7 9 2 10 3 =  +  = 14．解： 设如下事件： A ：“第一道工序加工的零件是次品” B ：“第二道工序加工的零件是次品” C ：“零件是合格品

由事件的关弱有 C=A+B 已知A.B相互独立，由加法公式得 P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =003+001-0.03×0.01=00397 由对立事件的关系可知 PNC)=1-C)=1-0.0397=0.9603 1.解：a)P-l≤X≤4)-ft-0+2ed -l-e (2)P(X7=P3,7:3 2 2 n,=-n22 17.解：(1)由期里的定义得 E(X)=0×0.1+1×03+2×04+3×0.2=1.7 P(XS2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =0.1+0.3+0.4=0.8 18.解：由于已知G2,故迹取样本函数 U=-兰-N0,) GHn 已知x=151,经计算得 g.006.002 万·3 0

10 由事件的关系有 C = A+ B 已知 A, B 相互独立，由加法公式得 P(C) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0.03+ 0.01−0.030.01= 0.0397 由对立事件的关系可知 P(C) =1− P(C) =1− 0.0397 = 0.9603 15．解： （1）    −   = = + − − 4 0 -2 0 1 4 1 P( 1 X 4) f (x)dx 0dx 2e dx x 8 1 e − = − （2） ( 3) ( )d 0d 0 3 3  − = = =   − − − − P X f x x x （3） ( 10) ( )d 0d 2e d 1 0 -2 0 10 10  − = = + =    + − + − P X f x x x x x 16．解：⑴ 3) 2 3 ) (1 2 9 3 2 3 2 5 3 (5 9) (  − =  −  −  −   = X P X P X P = (3) − (1) = 0.9987 − 0.8413 = 0.1574…… ⑵ ) 2 7 3 2 3 ( 7) ( −  −  = X P X P 2) 2 3 2) 1 ( 2 3 (  −  = − − = X P X P 17．解：⑴由期望的定义得 E X( ) 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 1.7 =  +  +  +  = ⑵ P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = + + = 0.1 0.3 0.4 0.8 18．解：由于已知  2 ，故选取样本函数 ~ N(0, 1) n x U  −  = 已知 x =15.1 ，经计算得 0.02 3 0.06 9 = = 