工程数学们秋锦合练习（一） 一、单现选择器 1.设A.B是n阶矩阵，B可逆，且AB=0,试证：A=0 2设A,B是同阶对称矩阵，试证：AB+B4也是对称矩阵. 3可逆的对称矩库的逆矩阵也是对称矩阵. 1设a,a1,a是线性无关的，证明，C+a,+a,C+C也线性无关. 反设A,B是两个随机事件，试证：P氏B阴=P风A)代例0+P)Y例). 6已如随机事件A,B满是A三B,试证：P代A一)=P代A)+P气) 7.设随机事件A,B满足AB=O,试证：P风A+B)=1-P风) &设随机变量X的均值，方差都存在，且(X)≠0，试证：随机变量Y。X-E √DX) 的均值为0
1 工程数学 07 秋综合练习（一） 一、单项选择题 1. 设 A, B 是 n 阶矩阵， B 可逆，且 AB = 0 ，试证： A = 0． 2. 设 A, B 是同阶对称矩阵，试证： AB + BA 也是对称矩阵． 3. 可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵． 4. 设 1 2 3 , , 是线性无关的，证明, 1 2 2 3 1 3 + , + , + 也线性无关. 5. 设 A, B 是两个随机事件，试证： P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A) ． 6. 已知随机事件 A, B 满足 A B ，试证： P(A − B) = P(A) + P(B) ． 7. 设随机事件 A, B 满足 AB = ，试证： P(A + B) = 1− P(B) ． 8. 设随机变量 X 的均值、方差都存在,且 D(X ) 0 ，试证：随机变量 ( ) ( ) D X X E X Y − = 的均值为 0．
参考杯答1 1,证明：在AB=0的两端右乘B,得 ABB-=0B- 上式左端为 ABB--AI-A 右端为 0B-1=0 故有 A=0 证毕。 2.证明：因 (AB+BA)'=(ABY'+(BAY=B'A'+A'B'=84+AB=AB+BA 放可知AB+BA是对称矩库，证毕， 3。旺明：设A可逆，且”=A 则(Ay=(门=，所以A也是对称矩阵，证毕， 4.正明：设有一组数k,k,k1,使得 k(a1+a2)+k(a+4,)+k(a1+a,)=0 成立，即（休+ka1+(低+g+(民+=0，由己知%，a马线性无关， 故有 「k+k=0 k+k3=0 k:+k=0 该方程组只有零解，得k1=k=k=0,故区1+@2，区2+@，瓜1+区是线性无关的.证 华 5.证明：由事件的关系可如 B=BU =B(A+A)=AB+AB 而(ABAB)=☑，截由加法公式和乘法公式可知 2
2 参考解答： 1．证明：在 AB = 0 的两端右乘 −1 B ，得 1 1 0 − − ABB = B 上式左端为 ABB = AI = A −1 右端为 0 0 1 = − B 故有 A = 0 证毕。 2．证明：因 (AB + BA) = (AB) + (BA) = BA + AB = BA + AB = AB + BA 故可知 AB + BA 是对称矩阵．证毕． 3．证明：设 A 可逆，且 A = A 则 1 1 1 ( ) ( ) − − − A = A = A ，所以 −1 A 也是对称矩阵．证毕． 4．证明： 设有一组数 1 2 3 k , k , k ，使得 k1 (1 + 2 ) + k2 ( 2 +3 ) + k3 (1 +3 ) = 0 成立，即 (k1 + k3 )1 + (k1 + k2 ) 2 + (k2 + k3 )3 = 0 ，由已知 1 2 3 , , 线性无关， 故有 + = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k 该方程组只有零解，得 k1 = k2 = k3 = 0 ，故 1 2 2 3 1 3 + , + , + 是线性无关的．证 毕． 5．证明：由事件的关系可知 B = BU = B(A+ A) = AB + AB 而 (AB)(AB) = ，故由加法公式和乘法公式可知
P(B)-P(AB)+P(AB)-P(A)P(BA)+P(A)P(BA) 证毕 6.证明：已知A一B,由事件的关系可知 A=(A-B)+B 而(A-B)门B=☑，故由概率的性质可知 P(A)=P(A-B)+P(B) 即 P(A-B)=P(A)-P(B) 证毕， 7.迁明：由AB=@可知AC万，因此得A+豆=豆，故 P(A+B)=P(B) 由因为PB)=1-PB),故有 PYA+B)=1-P汽B) 证华。 8.证明： E0)E)X VDX灯VDX灯 =[E(X)-E(X】=0 D(X 结论得证
3 P(B) = P(AB) + P(AB) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A) 证毕． 6．证明：已知 A B ，由事件的关系可知 A = (A− B) + B 而 (A − B) B = ，故由概率的性质可知 P(A) = P(A− B) + P(B) 即 P(A− B) = P(A) − P(B) 证毕． 7．证明： 由 AB = 可知 A B ，因此得 A + B = B ，故 P(A + B) = P(B) 由因为 P(B) = 1− P(B) ，故有 P(A + B) = 1− P(B) 证毕。 8．证明： [ ( ) ( )] 0 ( ) 1 ( ( )) ( ) 1 ) ( ) ( ) ( ) ( = − = − = − = E X E X D X E X E X D X D X X E X E Y E 结论得证．