免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com 第2课时一般锐角的三角函数值 名师教案… 教学目标 1.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角 2.了解锐角三角函数的增减性,并能比较大小 教学重难点 利用计算器探索锐角三角函数的增减性 教学过程 导入新课 通过上面几节的学习我们知道,当锐角A是30°,45°或60°等特殊角时,可以求得 这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值;如果锐角A不是这些特殊角,怎样得到它的三角函 数值呢? 推进新课 、合作探究 1.利用刻度尺和量角器求函数值 步骤1:用刻度尺和量角器,作出Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=36° 步骤2:用刻度尺量得∠A的对边BC mm,斜边AB 步骤3:算出比 即sin36 说明:此种方法简便、易于操作,但误差较大.随着科学技术的发展,今天我们可以借 助计算器来求锐角的三角函数值 2.利用计算器,已知角度求函数值 (1)求sin18°的值 过程:利用计算器的键,并输入角度值18,得到结果sin18=0.30901699 (2)求tan30°36′的值 过程:利用tan键,并输入角的度、分值,就可以得到答案0.591398351 利用计算器求锐角的三角函数值,或已知锐角三角函数值求相应的锐角时,不同的计算 器操作步骤有所不同 因为30°36′=30.6°,所以也可以利用tan键,并输入角度值30.6,同样得到答案 591398351 3.探究正、余弦函数的增减性 (1)用计算器求sin15°,sin36°,sin56°,sin78°的值,并比较它们的大小 学生由计算器求出后,可比较得出:sin15°cos36°>cos56°>cos78 3)同样用计算器可比较tan15°,tan36°,tan56°,tan78°的大小 学生可比较得出:tan15°BC2 >B3C3,所以sin∠B1AC1>sin∠B2AC2>sin∠BAC3 结论:角在0°~90°之间变化时,锐角的正弦值随着角度的增大而增大 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第 2 课时 一般锐角的三角函数值 教学目标 1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角． 2．了解锐角三角函数的增减性，并能比较大小． 教学重难点 利用计算器探索锐角三角函数的增减性． 教学过程 导入新课 通过上面几节的学习我们知道，当锐角 A 是 30°，45°或 60°等特殊角时，可以求得 这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函 数值呢？ 推进 新课 一、合作探究 1．利用刻度尺和量角器求函数值 步骤 1：用刻度尺和量角器，作出 Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝36°. 步骤 2：用刻度尺量得∠A 的对边 BC＝__________ mm，斜边 AB＝__________ mm. 步骤 3：算出比值BC AB＝__________，即 sin 36°＝__________. 说明：此种方法简便、易于操作，但误差较大．随着科学技术的发展，今天我们可以借 助计算器来求锐角的三角函数值． 2．利用计算器，已知角度求函数值 (1)求 sin 18°的值 过程：利用计算器的 sin 键，并输入角度值 18，得到结果 sin 18°＝0.309 016 994. (2)求 tan 30°36′的值， 过程：利用 tan 键，并输入角的度、分值，就可以得到答案 0.591 398 351. 利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算 器操作步骤有所不同． 因为 30°36′＝30.6°，所以也可以利用 tan 键，并输入角度值 30.6，同样得到答案 0.591 398 351. 3．探究正、余弦函数的增减性 (1)用计算器求 sin 15°，sin 36°，sin 56°，sin 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：sin 15°＜sin 36°＜sin 56°＜sin 78°. (2)用计算器求 cos 15°，cos 36°，cos 56°，cos 78°的值，并比较它们的大小． 学生由计算器求出后，可比较得出：cos 15°＞cos 36°＞cos 56°＞cos 78°. (3)同样用计算器可比较 tan 15°，tan 36°，tan 56°，tan 78°的大小． 学生可比较得出：tan 15°＜tan 36°＜tan 56°＜tan 78°. 从而可得出锐角的正弦值、正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增 大而减小． 用图形可以说明这种关系，在图①中以 A 为圆心、AB1 为半径画弧，分别交 AB1，AB2， AB3 于点 B1，B2，B3，过 B1，B2，B3 分别作 AC 的垂线，垂足分别为 C1，C2，C3，因为 B1C1＞B2C2 ＞B3C3，所以 sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3. 结论：角在 0°～90°之间变化时，锐角的正弦值随着角度的增大而增大．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ B2 A GC2C3 C 在图②中,因为AB1cos∠B2AC>cos∠BAC 又因为BC<BC<BC 所以tan∠B1AC<tan∠B2AC<tan∠B3AC. 结论:角在0°~90°之间变化时,锐角的余弦值随着角度的增大而减小,锐角的正切 值随着角度的增大而增大 4.已知函数值,求锐角的大小 已知锐角三角函数值,也可以使用计算器求出相应的锐角 例如,已知sinA=0.5018:用计算器求锐角A可以按照下面方法操作: 依次按键2 ndf sin,然后输入函数值0.5018,得到∠A=30.11915867°(如果锐 角A精确到1°,则结果为30° 还可以利用|2ndfl ”键进一步得到∠A=30°7′8.97″(如果锐角A精确到 1′,则结果为30° 精确到1″的结果为30°7′9″) 使用锐角三角函数表,也可以査得锐角的三角函数值,或根据锐角三角函数值求相应的 锐角 问题:怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确? 让学生思考后回答,然后总结:可以再用计算器求30°7′9″的正弦值,如果它等于 0.5018,则我们原先的计算结果就是正确的 二、巩固提高 【例题】如下图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A,关于∠A的三角函数值与梯 子的倾斜程度之间,叙述正确的是( A.sinA的值越大,梯子越陡 B.cosA的值越大,梯子越陡 C.tanA的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关 点拨:根据角的变化得出函数值的大小变化,选项A正确 谷案:A 三、达标训练 1.已知∠A为锐角,且c0sA≤,那么( A.0°<A≤60° 60°≤A<90° C.0°<A≤30° D.30°≤A<90° 2.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA1 2Cos B=y3 则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 在图②中，因为 AB1＜AB2＜AB3， 所以 cos∠B1AC＞cos∠B2AC＞cos∠B3AC． 又因为 B1C＜B2C＜B3C， 所以 tan∠B1AC＜tan∠B2AC＜tan∠B3AC． 结论：角在 0°～90°之间变化时，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切 值随着角度的增大而增大． 4．已知函数值，求锐角的大小 已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 例如，已知 sin A＝0.501 8；用计算器求锐角 A 可以按照下面方法操作： 依次按键 2ndf sin ，然后输入函数值 0.501 8，得到∠A＝30.119 158 67°(如果锐 角 A 精确到 1°，则结果为 30°)． 还可以利用 2ndf ° ′ ″ 键进一步得到∠A＝30°7′8.97″(如果锐角 A 精确到 1′，则结果为 30°7′，精确到 1″的结果为 30°7′9″)． 使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的 锐角． 问题：怎样验算求出的∠A＝30°7′9″是否正确？ 让学生思考后回答，然后总结：可以再用计算器求 30°7′9″的正弦值，如果它等于 0.501 8，则我们原先的计算结果就是正确的． 二、巩固提高 【例题】 如下图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为 A，关于∠A 的三角函数值与梯 子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )． A．sin A 的值越大，梯子越陡 B．cos A 的值越大，梯子越陡 C．tan A 的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A 的函数值无关 点拨：根据角的变化得出函数值的大小变化，选项 A 正确． 答案：A 三、达标训练 1．已知∠A 为锐角，且 cos A≤1 2 ，那么( )． A．0°＜A≤60° B．60°≤A＜90° C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90° 2．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 sin A＝ 1 2 ，cos B＝ 3 2 ，则△ABC 的形状是( )． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.用计算器计算 (3)cos33°18′24″:(4)tan55°10′ 4.根据所给条件求锐角a (1)已知sina=0.4771,求a (2)已知cosa=0.8451,求a (3)已知tana=1.4106,求a.(精确到1″) 本课小结 1.利用计算器求锐角的三角函数值,已知锐角三角函数值用计算器求出相应的锐角 2.掌握锐角三角函数值的增减性.对于sinA与tanA,角度越大函数值也越大;对 于cosA,角度越大函数值越小.并能用锐角三角函数值的增减性比较大小 教研中心 1.各锐角三角函数之间的关系 同角、互余角之间的三角函数有如下关系: (1)互余关系:sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A),tanA·tan(90°一A) (2)平方关系:sin2A+cos2A=1 A (3)商的关系:tanA 说明:这些关系是计算三角函数恒等变形的基本依据,对今后的学习有重要的指导意 义.这些关系可以用定义来证明.下面的结论不成立:tanA+tanB=tan(A+B),tanA·tan B=tan(A·B) 2.求锐角三角函数值的一般方法 (1)用定义求锐角三角函数值 【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosA=,那么tanB的值为 解析:由cosA=-,可得 b 4 故设b=4k,c=5k. 根据勾股定理,得a=y(5k)2-(4k)2=3k 根据三角函数的定义,得tanB 答案: (2)用计算器求锐角三角函数值 【例2】若∠a的余角为38°,则∠a= sin a (结果 保留四位有效数字) 解析: a=90°-38 用计算器计算:[im国园□,可得sina 0.7880. 答案:520.7880 (3)利用等角求锐角三角函数值 B 【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若AC=4,BC=3, 则sin∠ACD的值为() D 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3．用计算器计算： (1)cos 18°44′25″；(2)sin 42°31′； (3)cos 33°18′24″；(4)tan 55°10′. 4．根据所给条件求锐角 α. (1)已知 sin α＝0.477 1，求 α； (2)已知 cos α＝0.845 1，求 α； (3)已知 tan α＝1.410 6，求 α.(精确到 1″) 本课小结 1．利用计算器求锐角的三角函数值，已知锐角三角函数值用计算器求出相应的锐角． 2．掌握锐角三角函数值的增减性．对于 sin A 与 tan A，角度越大函数值也越大；对 于 cos A，角度越大函数值越小．并能用锐角三角函数值的增减性比较大小． 1．各锐角三角函数之间的关系 同角、互余角之间的三角函数有如下关系： (1)互余关系：sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)，tan A·tan(90°－A) ＝1. (2)平方关系：sin2 A＋cos 2 A＝1. (3)商的关系：tan A＝ sin A cos A. 说明：这些关系是计算三角函数恒等变形的基本依据，对今后的学习有重要的指导意 义．这些关系可以用定义来证明．下面的结论不成立：tan A＋tan B＝tan(A＋B)，tan A·tan B＝tan(A·B)． 2．求锐角三角函数值的一般方法 (1)用定义求锐角三角函数值 【例 1】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 cos A＝ 4 5 ，那么 tan B 的值为__________． 解析：由 cos A＝ b c ，可得b c ＝ 4 5 . 故设 b＝4k，c＝5k. 根据勾股定理，得 a＝ (5k) 2－(4k) 2＝3k. 根据三角函数的定义，得 tan B＝ b a ＝ 4k 3k＝ 4 3 . 答案：4 3 (2)用计算器求锐角三角函数值 【例 2】 若∠α 的余角为 38°，则∠α＝__________°，sin α＝__________.(结果 保留四位有效数字) 解析：∵∠α＝90°－38°＝52°，用计算器计算： sin 5 2 ＝ ，可得 sin α ＝0.788 0. 答案：52 0.788 0 (3)利用等角求锐角三角函数值 【例 3】 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D 为垂足，若 AC＝4，BC＝3， 则 sin∠ACD 的值为( )． A． 4 3 B． 3 4 C． 4 5 D． 3 5
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 解析:由已知得∠ACD+∠A=90°,∠B+∠A=90 ∴∠ACD=∠B 根据勾股定理,得AB=√AC+BC=5 在Rt△ABC中,sinB sin∠ACD的值为二 答案:C (4)求特殊角的三角函数值 【例4】在Rt△ABC中,∠C=90°,如果∠B=2∠A,则tanB的值为 解析:在Rt△ABC中 ∠A+∠B=90°,∠B=2∠A 得 ∠B=60 ∴tanB=tan60. 答案:5 (5)构造直角三角形求锐角三角函数值 【例5】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,点D在BC边上,且∠ADC=45 DC=6,求∠BAD的正切值 C 分析:由于∠BAD不在直角三角形中,应设法把∠BAD转化到直角三角形中.结合已知 条件,可以考虑作DE⊥AB,因为tan∠BAD=D,所以只要求出DE,AE的长即可 解:作DE⊥AB于点E, ∠ADC=45°,∠C=90 AC=DC=6 Ac 3 又∵sinB= Ab 5 ∴AB=10. 根据勾股定理,得BC=√AB2-AC2=8, 从而BD=2 在Rt△BDE中 DE 3 DE=BD×sinB=1.2. BE=VBD2-DE2 =1.6, AE=AB-BE=8.4 DE 12 tan∠BAD= AE847 奥赛链接 若a为锐角,且cosa=0.6,则(). 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解析：由已知得∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B． 根据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝5. 在 Rt△ABC 中，sin B＝ AC AB＝ 4 5 ， ∴sin∠ACD 的值为4 5 . 答案：C (4)求特殊角的三角函数值 【例 4】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠B＝2∠A，则 tan B 的值为__________． 解析：在 Rt△ABC 中， ∵∠A＋∠B＝90°，∠B＝2∠A， ∴∠A＋2∠A＝90°，得∠A＝30°. ∴∠B＝60°. ∴tan B＝tan 60°＝ 3. 答案： 3 (5)构造直角三角形求锐角三角函数值 【例 5】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin B＝ 3 5 ，点 D 在 BC 边上，且∠ADC＝45°， DC＝6，求∠BAD 的正切值． 分析：由于∠BAD 不在直角三角形中，应设法把∠BAD 转化到直角三角形中．结合已知 条件，可以考虑作 DE⊥AB，因为 tan∠BAD＝ DE AE，所以只要求出 DE，AE 的长即可． 解：作 DE⊥AB 于点 E， ∵∠ADC=45°，∠C=90°， ∴AC=DC=6. 又∵s in B= 3 5 AC AB = ， ∴AB=10. 根据勾股定理，得 BC= 2 2 AB AC − =8， 从而 BD=2. 在 Rt△BDE 中，∵sin B= 3 5 DE BD = ， ∴DE=BD×sin B=1.2. ∴BE= 2 2 BD DE − =1.6，AE=AB-BE=8.4. ∴tan∠BAD= 1.2 1 8.4 7 DE AE = = . 奥赛链接 若α为锐角，且 cos α=0.6，则( )．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ A.0°<a<30 B.30°<a<45° C.45°<a<60° D.60°<a<90 解析:∵cos45° 12 <0.6< ∴cos60°<cosa<cos45°,∴45°<a<60° 答案:C 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 解析：∵cos 45°＝ 2 2 ，cos 60°＝ 1 2 ， 1 2 ＜0.6＜ 2 2 ， ∴cos 60°＜cos α＜cos 45°.∴45°＜α＜60°. 答案：C