免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第2课时相似三角形的应用 名师教案 教学目标 1.进一步巩固相似三角形的知识 2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高 度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想, 培养学生分析问题、解决问题的能力 教学重难点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度;灵活运用三角形相似的知 识解决实际问题 教学过程 导入新课 【导语一】1.判定两三角形相似有哪些方法? 2.相似三角形有什么性质? 【导语二】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之 ”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长230多米.据考证,为 建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.金字塔原高146.59米,但由于经过几千 年的风吹雨打,顶端被风化腐蚀,所以高度有所降低 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度.在一个烈日高照的上 午,他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下,他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德 给你一条2米高的木杆,一把皮尺,你能利用所学知识来测出塔高吗? 推进新课 合作探究 【问题1】据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理, 在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度 如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较棒子的 影长AB与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB 【问题2】如果∥B=1,A′B=2,AB=274,求金字塔的高度OB 分析:由于太阳光是平行光线, 因此∠OAB=∠OAB 又因为∠ABO=∠AB0=90°, 所以△:OAB△A'B,OB:0B=AB:AB′,OB AB·OB274×1 137(米),即该金字塔高为137米 点拨:在实际测量物体的高度、宽度时,关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形, 而且要能测量已知三角形的线段的长,运用相似三角形的性质列出比例式求解 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第 2 课时 相似三角形的应用 教学目标 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高 度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想， 培养学生分析问题、解决问题的能力． 教学重难点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；灵活运用三角形相似的知 识解决实际问题． 教学过程 导入新课 【导语一】 1.判定两三角形相似有哪些方法？ 2．相似三角形有什么性质？ 【导语二】 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之 一”．塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长 230 多米．据考证，为 建成大金字塔，共动用了 10 万人花了 20 年时间．金字塔原高 146.59 米，但由于经过几千 年的风吹雨打，顶端被风化腐蚀，所以高度有所降低． 埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度．在一个烈日高照的上 午，他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下，他想考一考年仅 14 岁的小穆罕穆德． 给你一条 2 米高的木杆，一把皮尺，你能利用所学知识来测出塔高吗？ 推进新课 一、合作探究 【问题 1】 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理， 在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图所示，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棒 O′B′，比较棒子的 影长 A′B′与金字塔的影长 AB，即可近似算出金字塔的高度 OB. 【问题 2】 如果 O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度 OB. 分析：由于太阳光是平行光线， 因此∠OAB＝∠O′A′B′. 又因为∠ABO＝∠A′B′O′＝90°， 所以△ OAB∽△O′A′B′，OB∶O′B′＝AB∶A′B′，OB＝ AB·O′B′ A′B′ ＝ 274×1 2 ＝ 137(米)，即该金字塔高为 137 米． 点拨：在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形， 而且要能测量已知三角形的线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ B E 【问题3】如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在 河的这一边选点B和C,使AB⊥BC,然后再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点 D 解法一:此时如果测得BD=120米,DC=60米,BC=50米,求两岸间的大致距离AB 因为∠ADB=∠EDC,∠B=∠C=90°, 所以△AB△ECD BD·EC120×50 那么C=B解得 100(米) 答:两岸间的大致距离为100米 解法二:我们在河对岸选定一目标点A,在河的一边选点D和E,使DE⊥AD,然后选点 B,作BC∥DE,与视线EA相交于点C.此时,测得DE,BC,BD,就可以求两岸间的大致距离 AB了 此时如果测得DE=120米,BC=60米,BD=50米,求两岸间的大致距离AB. 点拨:通过解决测量问题,培养学生学习数学的兴趣,让学生探究解决问题的方法 【问题4】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的 距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路1从左向右前进,当 他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C 分析:AB⊥1,CD⊥→AB∥CD△AM△C→B即m+5=12-1.610.4 FH F8-1.66.4 解得FH=8 点拨:关键是把生活中的实际问题转化为数学问题,转化的方法之一是画数学示意图, 在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系,进而形成解题思路 凡固提高 1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米 的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 2.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,求球拍 击球的高度h(设网球是直线运动) e=--108m m h my 3.如图,小明想测量一颗大树AB的高度,发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上,测得CD=4m,BC=10m,CD与地面成30度角,且测得1米竹杆的影子长为2 米,那么树的高度是多少? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【问题 3】 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在 河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后再选点 E，使 EC⊥BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D. 解法一：此时如果测得 BD＝120 米，DC＝60 米，EC＝50 米，求两岸间的大致距离 AB. 因为∠ADB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°， 所以△ABD∽△ECD. 那么AB EC ＝ BD DC ，解得 AB＝ BD·EC DC ＝ 120×50 60 ＝100(米)． 答：两岸间的大致距离为 100 米． 解法二：我们在河对岸选定一目标点 A，在河的一边选点 D 和 E，使 DE⊥AD，然后选点 B，作 BC∥DE，与视线 EA 相交于点 C.此时，测得 DE，BC，BD，就可以求两岸间的大致距离 AB 了． 此时如果测得 DE=120 米，BC=60 米，BD=50 米，求两岸间的大致距离 AB. 点拨：通过解决测量问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生探究解决问题的方法． 【问题 4】已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB＝8 m 和 CD＝12 m，两树的根部的 距离 BD＝5 m，一个身高 1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当 他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C? 分析：AB⊥l，CD⊥l⇒AB∥CD，△AFH∽△CFK FH FK ＝ AH CK ，即 FH FH＋5 ＝ 8－1.6 12－1.6＝ 6.4 10.4， 解得 FH＝8. 点拨：关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图， 在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路． 二、巩固提高 1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为 1.8 米 的竹竿的影长为 3 米，某一高楼的影长为 60 米，那么高楼的高度是多少米？ 2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 5 米的位置上，求球拍 击球的高度 h.(设网球是直线运动) 3．如 图，小明想测量一颗大树 AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地 面 CB 上，测得 CD＝4 m，BC＝10 m，CD 与地面成 30 度角，且测得 1 米竹杆的影子长为 2 米，那么树的高度是多少？
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ba 三、拓展延伸 1.数学兴趣小组测校内一棵树高,有以下两种方法 方法一:如图,把镜子放在离树(AB8m点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰 好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.8m,观察者目高CD=1.6m C 方法二:如图,把长为2.40m的标杆CD直立在地面上,量出树的影长为2.80m,标 杆影长为1.47m 分别根据上述两种不同方法求出树高(精确到0.1m) 2.怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度? 本课小结 1.在实际生活中,我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时,可以把它们转化为数 学问题,建立相似三角形模型,再利用对应边的比相等来达到求解的目的 2.利用太阳光测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成正 比例”的原理解决:物高1:物高2=影长::影长 教研中心 相似三角形在物理学上的应用 相似三角形在实际中的应用非常广泛,尤其与物理学的联系非常紧密.下面举例说明相 似三角形在物理学上的实际应用 【例1】如图所示,慢慢将电线杆竖起,如果所用力F的方向始终竖直向上,则电线 杆竖起过程中所用力的大小将() A.变大 B.变小 C.不变 D.无法判断 解析:由物理知识可知,电线杆竖起的过程,实质上相当于以O为支点,以F为动力, 以电线杆重力G为阻力的杠杆运动.在电线杆竖起的过程中,动力臂OA,阻力臂OB是逐渐 变化的 ∵AA∥BB …△OB∽△O,:B0B OA OA 是定值,即D也是定值.由杠杆平衡条件F·D=G·OB,得F=6·Or因此,动 力F大小不变.故选C 谷案:C 【例2】小华做小孔成像实验.如图,问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时,蜡 烛焰AB是像A'B的一半长,已知蜡烛与成像板间的距离为L 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 三、拓展延伸 1．数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法： 方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8 m 点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰 好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE＝2.8 m，观察者目高 CD＝1.6 m； 方法二：如图，把长为 2.40 m 的标杆 CD 直立在地面上，量出树的影长为 2.80 m，标 杆影长为 1.47 m. 分别根据上述两种不同方法求出树高(精确到 0.1 m)． 2．怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度？ 本课小结 1．在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数 学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的． 2．利用太阳光测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正 比例”的原理解决：物高 1∶物高 2＝影长 1∶影长 2. 相似三角形在物理学上的应用 相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相 似三角形在物理学上的实际应用． 【例 1】 如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力 F 的方向始终竖直向上，则电线 杆竖起过程中所用力的大小将( )． A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以 O 为支点，以 F 为动力， 以电线杆重力 G 为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂 OA，阻力臂 OB 是逐渐 变化的． ∵AA′∥BB′，∴△OBB′∽△OAA′.∴OB OA ＝ OB′ OA′ . 而 OB′ OA′ 是定值，即OB OA 也是定值．由杠杆平衡条件 F·OA＝G·OB，得 F＝G· OB OA .因此，动 力F 大小不变．故选 C. 答案：C 【例 2】 小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡 烛焰 AB 是像 A′B′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为 l
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ B E AB OA 0A 解:由相似三角形可知△ABO△ABO,△AED△AR·HBO,O OEOE AB 故小孔纸板应放在距蜡烛=处 奧赛链接 1.如图,△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分(即S=S=S),且DE∥FG∥BC,BC √6,FO-DE等于() S B D.2-2 解析:由相似三角形的性质,得DE:FG:BC=1:V:3.设DE=x,F=V2x,BC=y3 则√3 x=√2.∴D=V2,F=2.∴F-D=2-E 答案:D 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,且AC=CD=1,又E,D为CB的三等分点 (1)问图中是否存在相似三角形,若存在,找出并证明相似的三角形;若不存在,试说 明理由 (2)比较∠ADC与∠AEC+∠B的大小,试说明理由 解:(1)存在△ADE△BDA 证明:∵AC=CD=DE=EB=1,又∠C=90° MD=0则2=1=2,my2 DE DA AD BD 而∠ADE=∠BDA,∴△ADE∽△BD (2)由(1)知△ADE△BDA,∴∠DAE=∠B 又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE, ∴∠ADC=∠AEC+∠B 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：由相似三角形可知△ABO∽△A′B′O，△AEO∽△A′FO.∴ AB A′B′ ＝ OA OA′ ， OA OA′ ＝ OE OF .∴ OE OF ＝ AB A′B′ ＝ 1 2 . ∴ OE OF ＝ 1 2 ， OE EF ＝ 1 3 .∴OE＝ 1 3 EF＝ 1 3 l. 故小孔纸板应放在距蜡烛1 3 l 处． 奥赛链接 1．如图，△ABC 被 DE、FG 分成面积相等的三部分(即 S1＝S2＝S3)，且 DE∥FG∥BC，BC ＝ 6，FG－DE 等于( )． A． 3－1 B． 6－ 3 C． 6－ 2 D．2－ 2 解析：由相似三角形的性质，得 DE∶FG∶BC＝1∶ 2∶ 3.设DE＝x，FG＝ 2x，BC＝ 3 x，则 3x＝ 6. ∴x＝ 2.∴DE＝ 2，FG＝2.∴FG－DE＝2－ 2. 答案：D 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，且 AC＝CD＝1，又 E，D 为 CB 的三等分点． (1)问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说 明理由； (2)比较∠ADC 与∠AEC＋∠B 的大小，试说明理由． 解：(1)存在△ADE∽△BDA. 证明：∵AC＝CD＝DE＝E B＝1，又∠C＝90°， ∴AD＝ 2.则 DE AD ＝ 1 2 ＝ 2 2 ， DA BD ＝ 2 2 . ∴ DE AD ＝ DA BD . 而∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA. (2)由(1)知△A DE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B. 又∵∠ADC＝∠AEC＋∠DAE， ∴∠ADC＝∠AEC＋∠B