免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 24.3相似三角形的性质 ●学习指导 1.学习了相似三角形的性质后,对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应 高、周长的问题,应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比,等于周长的比的性质 举例如下 [例1]如图1,已知△ABC∽△ABC,点D、D分别是BC、B"C的中点,AE BC于E,A'E⊥BC于E.求证:∠DAE=∠DAE' 分析:欲证∠DAE=∠DA'E,只需证Rt△ ADECRt△ADE即可 证明:∵△A△ABC,B=,BD=CD,A⊥BC,AE⊥BC ∠△ 图1 AD AE AB (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比) AD AE AB Rt△ ADEo Rt△ADE ∠DAE=∠DA'E [例2]己知如图2,△ABC与△ABC中,∠C=∠C=90°,∠A=∠H, BC=6,AC=8,△ABC的周长为72.求△ABC各边的长 图 解:在Rt△ABC中,AB=√AC2+BC2=√82+62=10 ∴△ABC的周长=6+8+10=24 ∴∠C=∠C.=90°,∠A=∠A,∴△ABC△ABC 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 24.3 相似三角形的性质 ●学习指导 1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应 高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质. 举例如下. ［例 1］如图 1，已知△ABC∽△A′B′C′，点 D、D′分别是 BC、B′C′的中点，AE ⊥BC 于 E，A′E′⊥B′C′于 E′.求证：∠DAE＝∠D′A′E′. 分析：欲证∠DAE＝∠D′A′E′，只需证 Rt△ADE∽Rt△A′D′E′ 即可. 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，BD＝CD，B′D′＝C′D′， AE⊥BC，A′E′⊥B′C′. 图 1 ∴ A B AB A E AE A D AD = = (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比). ∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′. ∴∠DAE＝∠D′A′E′. ［例 2］已知如图 2，△ABC 与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′， BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长为 72.求△A′B′C′各边的长. 图 2 解：在 Rt△ABC 中，AB＝ 2 2 2 + = 8 + 6 AC BC ＝10. ∴△ABC 的周长＝6＋8＋10＝24. ∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys AB BC CA 24 A'B BC CA 72 10 6 81 =-.∴AB=30,BC=18,CA′=24 AB'B'C′CMA3 说明:由已知条件知△AB∽△ABC,已知△ABC各边的长,要求△AB"C各 边的长,只要求出相似比即可 [例3]如图3,四边形ABC中,∠ADC=∠ACB=90°,且AB=18,AC=12,AD=8, ⊥AB,DF⊥AC,垂足为E、 CE (1)求的值 (2)求证:CE=CD 分析:由题设可知,DF、CE分别为△ACD和△ABC的高 因此只要证得△ACD△ABC,根据相似三角形的性质即可求得 CE (1)解:∵AB=18,AC=12,AD=8 Ab 18 3 AC 12 AC 12 2 Ad 8 AB AC AC AD ∵∠AEC=∠AFD=90°,∴Rt△ ABCoRt△ACD ∵CE⊥AB,DF⊥机C.∴CEAB3 DF AC 2 (2)证明:∵Rt△ABC∽Rt△ACD,∴∠BAC=∠CmD. 图3 CE⊥AB,CD⊥AB,∴CE=CD. 例4]已知,如图4,△ABC中,OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,OD∥AB交BC于D, OE∥AC交BC于E求证:BC=DE(AB+BC+AO 分析:由OD∥AB,OE∥AC知△ODE△ABC,要证结论中有△ABC的周长,从而想到了 利用相似三角形的周长比等于相似比证题 证明:∵OD∥AB ∵∠4=∠ABC,∠1=∠3 又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴BD=OD 同理可证:OECE ∵OE∥AC,∴∠5=∠ACB,∴△ODR△ABC 图4 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴ 72 24 = = = C A CA B C BC A B AB . 即 . 3 10 6 8 1 = = = AB B C C A ∴A′B′＝30， B′C′＝18，C′A′＝24. 说明：由已知条件知△ABC∽△A′B′C′，已知△ABC 各边的长，要求△A′B′C′各 边的长，只要求出相似比即可. ［例 3］如图 3，四边形 ABCD 中，∠ADC＝∠ACB＝90°，且 AB＝18，AC＝12，AD＝8， CE⊥AB，DF⊥AC，垂足为 E、F. (1)求 DF CE 的值； (2)求证：CE＝CD. 分析：由题设可知，DF、CE 分别为△ACD 和△ABC 的高， 因此只要证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得 DF CE . (1) 解：∵AB＝18，AC＝12，AD＝8， ∴ . 2 3 8 12 , 2 3 12 18 = = = = AD AC AC AB ∴ AD AC AC AB = . ∵∠AEC＝∠AFD＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△ACD ∵CE⊥AB，DF⊥AC.∴ 2 3 = = AC AB DF CE . (2)证明：∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴∠BAC＝∠CAD. 图 3 ∵CE⊥AB，CD⊥AB，∴CE＝CD. ［例 4］已知，如图 4，△ABC 中，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB 交 BC 于 D， OE∥AC 交 BC 于 E.求证：BC 2 =DE(AB+BC+AC) 分析：由 OD∥AB，OE∥AC 知△ODE∽△ABC，要证结论中有△ABC 的周长，从而想到了 利用相似三角形的周长比等于相似比证题. 证明：∵OD∥AB ∴∠4=∠ABC，∠1=∠3 又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD=OD 同理可证：OE=CE ∵OE∥AC，∴∠5=∠ACB，∴△ODE∽△ABC 图 4
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ Od+ DE+Oe DE Bd+ DE +CE DE AB+bc+ Ac AB+bc+Ac AB+BC+AC BO BC=DE(AB+ BC+AC 说明:相似三角形的性质较多,究竟选择哪个性质,需要根据结论的特征灵活选择. [例5]求证:相似三角形的面积比等于相似比的平方 已知:如图5,△ABC∽△ABC,′△ABC与△ABC的相似比为k 求证 AABC △BCr 图5 分析:根据三角形的面积公式“三角形面积等于三角形的一边乘以这边上的高的一半” 可先作出BC和BC边上的高,再根据相似三角形对应高的比,对应边的比都等于相似比 即可证出 证明:分别过A、A作BC`BC的垂线,垂足分别为D、D ∵:△ABC△ABC BC AD =k(相似三角形对应边的比、对应高的比等于相似比) B'C AD BC·AD SMBC⊥BC'·AD k2 说明:此结论在原教材中是定理,现已删去,对此结论在解决 填空题和选择题中可直接应用.但在求解题中要写出推导过程 [例6]如图6,正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CD延长 线上一点,且∠FEC=∠FCE,EF交AD于F 求证:S△AB=4S△Pm 分析:△AEP△PDF易证,要证出S△ABP=4S△m,关键证其相似 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴ , , BC DE AB BC AC BD DE CE BC DE AB BC AC OD DE OE = + + + + = + + + + 即 BC DE AB BC AC BC = + + ∴BC 2 =DE(AB+BC+AC) 说明：相似三角形的性质较多，究竟选择哪个性质，需要根据结论的特征灵活选择. ［例 5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知：如图 5，△ABC∽△A′B′C，′△ABC 与△A′B′C′的相似比为 k. 求证： A B C ABC S S =k 2 图 5 分析：根据三角形的面积公式“三角形面积等于三角形的一边乘以这边上的高的一半” 可先作出 BC 和 B′C′边上的高，再根据相似三角形对应高的比，对应边的比都等于相似比 即可证出. 证明：分别过 A、A′作 BC、B′C′的垂线，垂足分别为 D、D′. ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ A D AD B C BC = =k(相似三角形对应边的比、对应高的比等于相似比) ∴ 2 2 1 2 1 k B C A D BC AD S S A B C ABC = = 说明：此结论在原教材中是定理，现已删去，对此结论在解决 填空题和选择题中可直接应用.但在求解题中要写出推导过程. ［例 6］如图 6，正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CD 延长 线上一点，且∠FEC=∠FCE，EF 交 AD 于 F. 求证：S△AEP=4S△PDF. 分析：△AEP∽△PDF 易证，要证出 S△AEP=4S△PDF，关键证其相似
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 比为2:1. 证明:过F作FG⊥CE与G,则CG==CE 四边形ABCD是正方形 ∴AB∥CD,AB=BC=CD,∠B=90 ∴∠BEC=∠FCE,∠B=∠FGC=90 BE EC △BCE△GFC CG FC 设 AF-BEX,则BC=CD=AB=2x Ce-VBC2+BE2=(2x)2+x2 √5xDF= x = 2x+ DF De1AE.∵AB∥CD.∴:△ABAD△DF,.∴:4E=P=2 DE PD AE·AP ,△EP =4,∴S△ABF=4S△DP DF·DP 说明:有等腰三角形时,常作底边上的高构造三线合一的基本图形,另外该题还可延长 B至M,使BBE,边结CM,再证△CEM△FEC,请读者自己完成 2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题,举例如下 [例7]如图7,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AC 12cm,BC=5cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片 并求出这种不锈钢片的边长 分析:要求面积最大的正方形,则正方形的顶点应落在△ABC的边上,那么顶点落在边 上时有如图8、9两种情况 图7 图8 解:如图8,设正方形EFOH的边长为xCm,过C作CD⊥AB于D,交E于点M ∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,∴AB=√AC2+BC2=√122+52=13 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 比为 2∶1. 图 6 证明：过 F 作 FG⊥CE 与 G，则 CG= 2 1 CE ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB∥CD，AB=BC=CD，∠B=90° ∴∠BEC=∠FCE，∠B=∠FGC=90° ∴△BCE∽△GFC∴ FC EC CG BE = 设 AE=BE=x，则 BC=CD=AB=2x CE= BC BE (2x) x 5x 2 2 2 2 + = + = ∴ 2 , 2 5 2 5 x DF x DF x x x = + = ∴DF= , 2 1 AE ∵AB∥CD，∴△AEP∽△DFP，∴ = = 2 PD AP DF AE ∴ DF DP AE AP S S DFP AEP = 2 1 2 1 =4，∴S△AEP=4S△DFP 说明：有等腰三角形时，常作底边上的高构造三线合一的基本图形，另外该题还可延长 AB 至 N，使 BN=BE，边结 CN，再证△CEN∽△FEC，请读者自己完成. 2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下. ［例 7］如图 7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AC ＝12 cm，BC＝5 cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片， 并求出这种不锈钢片的边长. 分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC 的边上，那么顶点落在边 上时有如图 8、9 两种情况. 图 7 图 8 图 9 解：如图 8，设正方形 EFGH 的边长为 xcm，过 C 作 CD⊥AB 于 D，交 EH 于点 M. ∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝ 12 5 13 2 2 2 2 AC + BC = + =
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ AC·BC12×560 AB·CD=AC CD- AB BAB.∴△CB△CB.:EH=CM AB CD 780 即 如图9,设正方形CFGH的边长为Jcm ∵GH∥AC GH BH y 5-y 60 x<y,∴应按图9裁剪,这时正方形面积最大,它的边长为 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝ 13 60 13 12 5 = = AB AC BC . ∵EH∥AB，∴△CEH∽△CAB.∴ CD CM AB EH = . 即 229 780 . 13 13 60 13 60 = = − x x x (cm). 如图 9，设正方形 CFGH 的边长为 ycm. ∵GH∥AC，∴ 17 60 . 5 5 12 , = − = = y y y BC BH AC GH (cm). ∵x＜y，∴应按图 9 裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为 17 60 cm