免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 25.2锐角的三角函数值 教学内容 25.2锐角的三角函数值 二.教学要求 1.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算,根据30°,45°,60°角的 三角函数值,能说出相应的锐角的大小。 2.经历用计算器由己知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进 步体会三角函数的意义。 重点及难点 重点 1.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算,并能根据30 角的三角函数值,说出相应的锐角的大小。 2.能通过运用计算器进行有关三角函数值的计算。 难点 1.利用三角函数的定义求30°,45°,60°角的三角函数值 2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题 知识要点] 知识点1、30°,45°,60°角的三角函数值 (1)30°角的三角函数值。 求30°角的三角函数值,关键是利用“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的 半”这一特征,不妨设30°角的对边为1,则斜边为2,可求得30°角的邻边为3,如图 所示,由此可求出30°角的各三角函数值。 tan (2)60°角的三角函数值 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 25.2 锐角的三角函数值 一. 教学内容： 25.2 锐角的三角函数值 二. 教学要求 1. 能够进行含有 30°，45°，60°角的三角函数值的计算，根据 30°，45°，60°角的 三角函数值，能说出相应的锐角的大小。 2. 经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进 一步体会三角函数的意义。 三. 重点及难点 重点： 1. 能够进行含有 30°，45°，60°角的三角函数值的计算，并能根据 30°， ，60° 角的三角函数值，说出相应的锐角的大小。 2. 能通过运用计算器进行有关三角函数值的计算。 难点： 1. 利用三角函数的定义求 30°，45°，60°角的三角函数值。 2. 能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。 ［知识要点］ 知识点 1、30°，45°，60°角的三角函数值 （1）30°角的三角函数值。 求 30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一 半”这一特征，不妨设 30°角的对边为 1，则斜边为 2，可求得 30°角的邻边为 ，如图 所示，由此可求出 30°角的各三角函数值。 （2）60°角的三角函数值
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形,如上图所示,此时30 角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边,由此可求出60°角的各三角函数值 c0s0o。1 (3)45°角的三角函数值 求45°角的三角函数值,关键是利用“含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特 征,不妨设一条直角边为1,则另一条直角边也为1,斜边为√2,由此可求出45°角的各 三角函数值 n45°=2 √2 0s45°=-,tan45°=1 0°,45°,60°角的各三角函数值如下表: 三角函数 角a 0s夏 tan c 2 2 1 知识点2、仰角、俯角 如图所示,当我们进行测量时,当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角 称为仰角 当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角 角 水平线 例如,如图所示,从地面上C,D两处望山顶A,仰角分别为30°,45°,若C,D两处 相距200米,那么山高AB为( A.100(√5+1)米 米 100√2米 米 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形，如上图所示，此时30° 角的对边和邻边分别是 6 0°角的邻边和对边，由此可求出 60°角的各三角函数值。 （3）45°角的三角函数值。 求 45°角的三角函数值，关键是利用“含 45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特 征，不妨设一条直角边为 1，则另一条直角边也为 1，斜边为 ，由此可求出 45°角的各 三角函数值。 30°， 45°，60°角的各三角函数值如下表： 知识点 2、仰角、俯角 如图所示，当我们进行测量时，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角 称为仰角。 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。 例如，如图所示，从地面上 C，D 两处望山顶 A，仰角分别为 30°，45°，若 C，D 两处 相距 200 米，那么山高 AB 为（ ） A. 100（ +1）米 B. 100 米 C. 100 米 D. 200 米
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 分 析:由题意可知∠C=30°,∠ADB=45 设AB=x,则BD=x BC=CD+BD=200+x AB 在Rt△ACB中,∠C=30°,tanC tan30° 200+x 3 3x=√3x+2003,(3-)x=2003 =20032003(3+5 =1003+1 (3-√3)(3+√ AB=100(√3+1)米,故正确答案为A 【典型例题 例1.求下列各式的值。 (1)sin230°+sin245°+√2cos60°c:45° tan60° sin cos60°-sm60 解:(1)am230°+am245°+√2c60°c945° 2n45°-(c0s60°-sn609)2+tan60° =√2 √3 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：由题意可知∠C＝30°，∠ADB＝45° 设 AB＝x，则 BD＝x， BC＝CD+BD＝200+x 在 Rt△A CB 中，∠C＝30°，tanC＝ ∴AB＝100（ +1）米，故正确答案为 A． 【典型例题】 例 1. 求下列各式的值。 （1） （2） 解：（1） （2）
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 例2.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB=C=2-√2,求BC的长 分析:BC不在直角三角形中,应作辅助线将其转化到直角三角形中,因此可作AD⊥BC 于D,此时组成BC的两条线段CD,BD可分别在Rt△ACD和Rt△ADB中求得 解:作AD⊥BC于D,在Rt△ACD中,sinC=AC, 所以AD= ACsinc= ACtin45°=2 在R△ADB中,sinB AD A AD= ABsin b= ABsin 300==AB AB=2AC,:AB=√2 又⊙AB-AC=2-√2,;√2AC-AC=2-√2,(2-1)AC=2-√2 AC= 2-2=(2-22+D=万 AB= 2 √2+1 0 cosC CD CD= ACcos 4 ⊙cos夕、BD BD=ARcos AB BC=BD+DC=√3+1 例3.如图所示,某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B 处,经16小时的航行到达,到达后必须立刻卸货,此时,接到气象部门通知,一台风中心 正以40海里/时的速度由A处向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包 括边界)均会受影响 (1)B处是否会受到台风影响?请说明理由 (2)为避免受到台风影响,该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据: √2≈14,38117 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－ ，求 BC 的长。 分析：BC 不在直角三角形中，应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作 AD⊥BC 于 D，此时组成 BC 的两条线段 CD，BD 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ADB中求得。 解：作 AD⊥BC 于 D，在 Rt△ACD 中，sinC＝ ， 所以 AD＝ACsinC＝ACsin45°＝ 例 3. 如图所示，某货船以 20 海里/小时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立刻卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心 正以 40 海里/时的速度由 A 处向北偏西 60°方向移动，距台风中心 200海里的圆形区域（包 括边界）均会受影响。 （1）B 处是否会受到台风影响？请说明理由； （2）为避免受到台风影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数 据：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 分析:这是一道与三角形知识有关的应用问题,要求能抓住问题的本质,在转化、抽 象成数学问题上下功夫。 C 西B A 解:(1)如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D,由题意得∠BAC=30° BD=AB.sin30°=20×16x-=160<200 在Rt△ABD中, 所以B处会受到台风影响。 (2)以点B为圆心,200海里为半径画圆,交AC于E,F,在Rt△BAD中, AD=AB.c0s3=320××32=1603 在RABD中,DE=√BE2-BD2=√2002-1602-120 AE=AD-DE=1603-120 1603-120160×17-120 40 40 38(小时) 该船应在3.8小时内卸完货物 例4.如图,在测量塔高AB时,选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C,D两点。用 测角仪测得塔顶A的仰角分别为30°和60°,已知测角仪高CE=1.5米,CD=30米,求塔 高AB(答案保留根号)。 分析:利用三角函数解决实际问题,应构造直角三角形,在如图所示的两个直角三角形 中,AF是连接的纽带,同时要注意测角仪CE的高不可忽略。。 解法(一):根据题意可知EG=CD=30(米),BF=CE=1.5(米) ∵∠AEG=30°,∠AGF=60° ∠EAG=30°,∴EG=AG=30(米) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：这是一道与三角形知识有关的应用问题，要求能抓住 问题的本质，在转化、抽 象成数学问题上下功夫。 解：（1）如图，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D，由题意得∠BAC＝30° 在 Rt△ABD 中， 所以 B 处会受到台风影响。 （2）以点 B 为圆心，200 海里为半径画圆，交 AC 于 E，F，在 Rt△BAD 中， 例 4. 如图，在测量塔高 AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的 C，D 两点。用 测角仪测得塔顶 A 的仰角分别为 30°和 60°，已知测角仪高 CE＝1.5 米，CD＝30 米，求塔 高 AB（答案保留根号）。 分析：利用三角函数解决实际问题，应构造直角三角形，在如图所示的两个直角三角形 中，AF 是连接的纽带，同时要注意测角仪 CE 的高不可忽略。 解法（一）：根据题意可知 EG＝CD＝30（米），BF＝CE＝1.5（米） ∵∠AEG＝30°，∠AGF＝60°，∴∠EAG＝30°，∴EG＝AG＝30（米）
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 在 RtAAFG中,sin∠AGF= AF F=AG.sin∠AGF=30x 5√3(米) AB=AF+FB=(153+)米 解法(二): 在Rt△AFC中,GF AF tan60°3 在R△AE冲中,EF=AFAF而EG=EF-GH tan 30 AF-AF=30,解得AF-15米,AB=(5√3+米。 例5.△ABC中,tanA,tanB是方程3x2-tx+3=0的两个根,sinA,sinB是方程 x2-√2x-k=0的两个根,求∠A,∠B的度数与k的值 分析:由一元二次方程根与系数的关系可知 tanAtanB=1,易得∠A+∠B=90°,又已 知s1nA+i1B=√2, sinSing=-k,sin2A+cos2A=1,可通过解方程求得∠A,∠ 的度数与k的值 解:回 tan a tan b是方程3x2-k+3=0的两个根, tan A, tan b=l,tanA=cotB,∠A+∠B=90 ⊙ sin A, sin B是方程x2-√2x-k=0的两个根, 又回an2A 即(sinA+sinB)2-2sinA 2 方程 解得snA ∠A=∠B=45° 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解法（二）： 例 5. △ABC 中，tanA，tanB 是方程 的两个根，sinA，sinB 是方程 的两个根，求∠A，∠B 的度数与 k 的值。 分析：由一元二次方程根与系数的关系可知 ta nA tanB＝1，易得∠A+∠B＝90°，又已 知 sinA+sinB＝ ，sinAsinB＝－k， ，可通过解方程求得∠A，∠B 的度数与 k 的值。 解：