免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第4课时解直角三角形的应用 名师教案 教学目标 1.了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题,能把一些较复杂的图形转化为解直 角三角形的问题 2.能够把实际问题转化为解直角三角形问题,从而把实际问题转化为数学问题来解决 3.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学来源于实践又反过来作用于实 践的观点,培养学生用数学的意识 教学重难点 理解坡度的有关术语,解决有关坡度的实际问题 教学过程 导入新课 长江三峡水利枢纽,是当今世界上最大的水利枢纽工程.放眼世界,从大海深处到茫 茫太空,人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作.三峡工程 在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列.它不仅将为我 国带来巨大的经济效益,还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献 这节我们将学习水库大坝的有关问题 推进新课 【问题1】同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决 如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6皿,坝高23皿,斜坡AB的坡度i=1:3,斜坡 CD的坡度i′=1:2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) B C 1=13 23 m 5 A 通过前面的学习,学生已了解了坡度与坡角的概念,也基本了解了解实际应用题的方法 会将实际问题抽象为几何问题加以解决 引导学生分析例题,图中ABCD是梯形,若BE⊥AD,CF⊥AD,梯形就被分割成Rt△ABE, 矩形BEFC和Rt△CFD,AD=AE+EF+FD,AE,DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出,EF =BC=6m,从而求出AD 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成,以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习 惯.坡度问题计算过程很繁琐,因此教师一定要做好示范,并严格要求学生,选择最简练、 准确的方法计算,以培养学生的运算能力 解:作BE⊥AD,CF⊥AD, 在Rt△ABE和Rt△CDF中, BE 1 CF 1 AE=3BE=3×23=69(m) FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第 4 课时 解直角三角形的应用 教学目标 1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直 角三角形的问题． 2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决． 3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实 践的观点，培养学生用数学的意识． 教学重难点 理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题． 教学过程 导入新课 长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程．放眼世界 ，从大海深处到茫 茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程 在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列．它不仅将为我 国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献． 这节我们将学习水库大坝的有关问题． 推进新课 一、合作探究 【问题 1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决： 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i＝1∶3，斜坡 CD 的坡度 i′＝1∶2.5，求斜坡 AB 的坡面角 α，坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长(精确到 0.1 m)． 通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法， 会将实际问题抽象为几何问题加以解决． 引导学生分析例题，图中 ABCD 是梯形，若 BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成 Rt△ABE， 矩形 BEFC 和 Rt△CFD，AD＝AE＋EF＋ FD，AE，DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF ＝BC＝6 m，从而求出 AD． 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习 惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、 准确的方法计算，以培养学生的运算能力． 解：作 BE⊥AD，CF⊥AD， 在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中， BE AE＝ 1 3 ， CF FD＝ 1 2.5， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)， FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∴斜坡AB的坡度i=tana 30.3333,查表得a≈18°26′ AB=BE÷sina=72.7(m) 答:斜坡AB的坡角a约为18°26′,坝底宽AD为132.5m,斜坡AB的长约为72.7m 在求AB时,也可由=及勾股定理得出BE:AB=1:√10,∴AB=2310≈72.7(m 【问题2】利用上面的方法,你能解决下面的问题吗? 段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾 角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米) 12.51米 给学生充分的时间,以便让学生思考,写出解答过程.让一名学生上台板演 二、巩固提高 利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分), 已知渠道内坡度为1:0.5,渠道底面宽BC为1米,求 A B C (1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积 (2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数 分析:(1)引导学生将实际问题转化为数学问题 (2)要求等腰梯形ABCD的面积,首先要求出AD,如何利用条件求AD? (3)土方数=等腰梯形ABCD的面积×100 解:(1)∵渠道内坡度为1:0.5,渠深BE为0.6米, ∴AE=0.5×0.6=0.3(米) 等腰梯形ABCD FD=AE=0.3(米) AD=2×0.3+1=1.6(米) 等腰梯形ABCD的面积为一×(1.6+1)×0.6=0.78(米2) (2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3) 答:横断面ABCD面积为0.78平方米,修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78 立方米 达标训练 1.一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角a和坝底宽AD.(单位 米,结果保留根号) 2.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它 沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,海轮所 在的B处距离灯塔P有多远?(精确到0.01海里) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∵斜坡 AB 的坡度 i＝tan α＝ 1 3 ≈0.333 3，查表得 α≈18°26′. AB＝BE÷sin α＝72.7(m)． 答：斜坡 AB 的坡角 α 约为 18°26′，坝底宽 AD 为 132.5 m，斜坡 AB 的长约为 72.7 m. 在求 AB 时，也可由BE AE＝ 1 3 及勾股定理得出 BE∶AB＝1∶ 10，∴AB＝23 10≈72.7(m)． 【问题 2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？ 一段路基的横断面是梯形，高为 4.2 米，上底的宽是 12.51 米，路基的坡面与地面的倾 角分别是 32°和 28°.求路基下底的宽．(精确到 0.1 米) 给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程．让一名学生上台板演． 二、巩固提高 利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6 米的一块(图中阴影部分是挖去部分)， 已知渠道内坡度为 1∶0.5，渠道底面宽 BC 为 1 米，求： (1)横断面(等腰梯形)ABCD 的面积； (2)修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数． 分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题． (2)要求等腰梯形 ABCD 的面积，首先要求出 AD，如何利用条件求 AD? (3)土方数=等腰梯形 ABCD 的面积×100. 解：(1)∵渠道内坡度为 1∶0.5，渠深 BE 为 0.6 米， ∴AE=0.5×0.6=0.3(米)． ∵等腰梯形 ABCD， ∴FD=AE=0.3(米)． ∴AD=2×0.3+1=1.6(米)． ∴等腰梯形 ABCD 的面积为 1 2 ×(1.6+1)×0.6=0.78(米 2)． (2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米 3)． 答： 横断面 ABCD 面积为 0.78 平方米，修一条长为 100 米的渠道要挖出的土方数为 78 立方米． 三、达标训练 1．一段河坝的断面为梯形 ABCD，试根据图中数据，求出坡角 α 和坝底宽 AD．(单位： 米，结果保留根号) 2．如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处．这时，海轮所 在的 B 处距离灯塔 P 有多远？(精确到 0.01 海里)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ B 分析:因为△APB不是一个直角三角形,所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形 △ACP与△PCB.PC是东西走向的一条直线,AB是南北走向的一条直线,所以AB与PC是相 互垂直的,即∠ACP与∠BCP均为直角.再通过65°角与∠APC互余的关系求∠APC;通过 34°角与∠BPC互余的关系求∠BC 3.一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被拆除后,换成供轮椅行走的斜 坡.根据这个城市的规定,轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最 短的水平距离该是多少?(精确到0.1米) 本课小结 1.在解决实际问题时,我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题,要善于将 某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系,这样才能很好 地运用解直角三角形的方法求解 2.利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤: (1)审题.按题意画出正确的平面或截面示意图,并通过图形弄清已知和未知 (2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角 三角形的问题.如果没有现成的直角三角形可供使用,可通过作辅助线产生直角三角形,再 把条件和问题转化到这个直角三角形中 (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的 直角三角形 教研中心 1.解直角三角形的依据 在Rt△ABC中,∠C=90°,其边角关系如下 (1)三边关系:a2+b=c(勾股定理) (2)三角关系:∠A+∠B=∠C=90 (3)边角关系:tan4sa.sinA=, COS N 2.常见解直角三角形的类型及解法 (1)已知斜边和一个锐角(如C,∠A)解直角三角形:∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b C·cos (2)已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A)解直角三角形:∠B=90°-∠A,c=sinA 3)已知两直角边(a,b)解直角三角形:c=va2+b2,tanA=2,∠B=90°-∠A (4)已知斜边和一直角边(如a,c)解直角三角形:b=√e-a,sinA=2,∠B=90° 3.用三角函数表示的三角形面积公式 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：因为△APB 不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形： △ACP 与△PCB．PC 是东西走向的一条直线，AB 是南北走向的一条直线，所以 AB 与 PC 是相 互垂直的，即∠ACP 与∠BCP 均为直角．再通过 65°角与∠APC 互余的关系求∠APC；通过 34°角与∠BPC 互余的关系求∠BPC． 3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面 1.2 米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜 坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过 9°.从斜坡的起点至屋门的最 短的水平距离该是多少？(精确到 0.1 米) 本课小结 1．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将 某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样才能很好 地运用解直角三角形的方法求解． 2．利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤： (1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． (2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角 三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再 把条件和问题转化到这个直角三角形中． (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的 直角三角形． 1．解直角三角形的依据 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，其边角关系如下： (1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2 (勾股定理)． (2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°. (3)边角关系：tan A＝ a b ，sin A＝ a c ，cos A＝ b c . 2．常见解直角三角形的类型及解法 (1)已知斜边和一个锐角(如 c，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b ＝c·cos A． (2)已知一条直角边和一个锐角(如 a，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，c＝ a sin A， b＝ a tan A. (3)已知两直角边(a，b)解直角三角形：c＝ a 2＋b 2，tan A＝ a b ，∠B＝90°－∠A． (4)已知斜边和一直角边(如 a，c)解直角三角形：b＝ c 2－a 2，sin A＝ a c ，∠B＝90° －∠A． 3．用三角函数表示的三角形面积公式
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 如图,∵S△ABC=AB·CD==c·CD, D 又 b CD=b·sinA ∴SABC=-C·CD=-Cr·b·sinA=-bc·sinA 由此可得三角形面积公式为S△AB=-bc·sinA, 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 4.利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤 (1)审题,通过图形(如果题目没有图形,要画出图形),弄清已知和未知 (2)找出有关的直角三角形,或通过作辅助线产生有关的直角三角形,把问题转化为解 直角三角形的问题 (3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形,其中找出有关的直 角三角形是关键 注意正确理解有关角的含义:(1)坡角:(2)仰角、俯角;(3)方位角:(4)方向角 5.解直角三角形常作的几种辅助线 解直角三角形解决问题时,有时没有直接能解的三角形,这时需要添加辅助线,构造直 角三角形,现介绍几种常用的方法 (1)梯形作高法 若梯形的内角中有特殊角时,一般过较短的底作梯形的高,可构造出含特殊角的直角三 角形 【例1】如图,塔AB和楼CD的水平距离为80m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°,试求塔高和楼高 分析:在直角梯形ABDC中,有特殊角∠BAC,过较短底CD的端点C作梯形的高CE,可 构造出含特殊角的Rt△AEC.解Rt△ABD和Rt△AEC,得AB,AE,从而获得塔高AB和楼高 解:作CE⊥AB于E,已知∠ACE=45°,∠ADB=60°,BD=CE=80m 分别解Rt△ABD和Rt△AEC,得AB=803m,AE=8m :CDBE=AB-AE=80(3-1)m 故塔高为80√3m,楼高为80(3-1)m (2)延长四边形不相邻的两边使之相交法 有一对角均为直角,或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时,可延长不相邻的两边使 之相交,构造含特殊角的直角三角形 【例2】如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=1,∠BAD=30°,∠ABC=60°,四边 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 如图，∵S△ABC= 1 2 AB ·CD= 1 2 c ·CD， 又∵sin A= CD b ， ∴CD=b·sin A． ∴S△ABC＝ 1 2 c ·CD＝ 1 2 c ·b·sin A＝ 1 2 bc ·sin A． 由此可得三角形面积公式为 S△ABC＝ 1 2 bc ·sin A， 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半． 4．利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤 (1)审题，通过图形(如果题目没有图形，要画出图形)，弄清已知和未知． (2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解 直角三角形的问题． (3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形，其中找出有关的直 角三角形是关键． 注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角． 5．解直角三角形常作的几种辅助线 解直角三角形解决问题时，有时没有直接能解的三角形，这时需要添加辅助线，构造直 角三角形，现介绍几种常用的方法． (1)梯形作高法 若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三 角形． 【例 1】 如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 m，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 45°和 60°，试求塔高和楼高． 分析：在直角梯形 ABDC 中，有特殊角∠BAC，过较短底 CD 的端点 C 作梯形的高 CE，可 构造出含特殊角的 Rt△AEC．解 Rt△ABD 和 Rt△AEC，得 AB，AE，从而获得塔高 AB 和楼高 CD． 解：作 CE⊥AB 于 E，已知∠ACE=45°，∠ADB=60°，BD=CE=80 m. 分别解 Rt△ABD 和 Rt△AEC，得 AB= 80 3 m，AE=80 m. ∴CD＝BE＝AB－AE＝80( 3－1) m. 故塔高为 80 3 m，楼高为 80( 3－1) m. (2)延长四边形不相邻的两边使之相交法 有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使 之相交，构造含特殊角的直角三角形． 【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝8，BC＝1，∠BAD＝30°，∠A BC＝60°，四边
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 形ABCD的面积为53,求AD的长 分析:显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA,且它们互余,延长AD,BC相交于 E,可得Rt△AEB 解:延长AD,BC相交于E,则∠E=180°-(30°+60°)=90 在R△AB中,sma0x么一 AE AB 可得BE=4,AE=43 S边0=S△AB-SA=1×4×4-1×3m=5√ DE=2√3,AD=AE-DE=23 奥赛链接 1.高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯.若毎转(每层楼的楼梯分两转,楼 梯转台不计)楼梯高度为2m,坡角为30°(如图所示),求至少共要地毯长多少米? 解:在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30 ∴AC=2tan30°= ∴AC+BC= 即每转楼梯要地(8+2)级 从一楼到三楼共要地4x/25s 我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水,要铺设引水管线.如图,已知MN为引 水工程某段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向有一村庄A, 以A为圆心,500m为半径的圆形区域为村民居住的范围.取MN上另一点B,测得BA的方 向为南偏东75°,已知MB=400m,通过计算回答:如果不改变方向,引水路线是否穿过该 村庄? 解:如图,过A作AD⊥MN于D. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 形 ABCD 的面积为 5 3，求 AD 的长． 分析：显然四边形 ABCD 中有特殊角∠DAB 和∠CBA，且它们互余，延长 AD，BC 相交于 E，可得 Rt△AEB． 解：延长 AD，BC 相交于 E，则∠E=180°-(30°+60°)=90°. 在 Rt△AEB 中，sin 3 0°= BE AB ，cos 30°= AE AB ， 可得 BE=4，AE= 4 3 . S 四边形 ABCD=S△ABE－S△CED= 1 2 ×4× 4 3 － 1 2 ×3DE= 5 3 . ∴DE= 2 3 ，AD=AE－DE= 2 3 . 奥赛链接 1．高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯．若每转(每层楼的楼梯分两转，楼 梯转台不计)楼梯高度为 2 m，坡角为 30°(如图所示)，求至少共要地毯长多少米？ 解：在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°， ∴AC＝2ta n 30°＝ 2 3 3 . ∴AC＋BC＝ 2 3 3 ＋2， 即每转楼梯要地毯 2 3 3 ＋2 m. 从一楼到三楼共要地毯 4× 2 3 3 ＋2 ＝ 8 3 3 ＋8 m. 2．我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水，要铺设引水管线．如图，已知 MN 为引 水工程某段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向有一村庄 A， 以 A 为圆心，500 m 为半径的圆形区域为村民居住的范围．取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方 向为南偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算回答：如果不改变方向，引水路线是否穿过该 村庄？ 解：如图，过 A 作 AD⊥MN 于 D．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ ∠1=30°,∠AMC=60° 又∵∠2=∠1=30°, 30°=45° 在Rt△ABD中,BD=AD. 在Rt△AMD中,设AD为x,则AM=2x ∴(400+x)2+x2=(2x)2, 解得x=200(1+V3),x=200(1-V5)(不合题意,舍去) x=200(1+y3)>500, 引水路线不会穿过村庄 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∵∠1＝30°，∠AMC＝60°， ∴∠AMD＝30°. 又∵∠2＝∠1＝30°， ∴∠ABD＝75°－30°＝45°. 在 Rt△ABD 中，BD＝AD． 在 Rt△AMD 中，设 AD 为 x，则 AM＝2x. ∴(400＋x) 2＋x 2＝(2x) 2， 解得 x1＝200(1＋ 3)，x2＝200(1－ 3)(不合题意，舍去)． ∵x＝200(1＋ 3)＞500， ∴引水路线不会穿过村庄．