21.1一元二次方程 01基础题 知识点1一元二次方程的定义及一般形式 1.(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A) A.3(x+1)2=2(x-1) BX2+x-2=0 2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)x-1) 2.下列一元二次方程中,常数项为0的是(D) C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 3.一个关于x的一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,则 这个一元二次方程是2x2+3x-5=0 4.将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 (1)2x2=8 解:移项,得一元二次方程的一般形式:2x2-8=0.其中二次项系数为2,一次项系数为 0,常数项为-8 (2)2x2+5=4x
21．1 一元二次方程 01 基础题 知识点 1 一元二次方程的定义及一般形式 1．(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A) A．3(x＋1)2＝2(x－1) B. ＋ －2＝0 1 x2 1 x C．ax2＋bx＋c＝0 D．x 2＋2x＝(x＋1)(x－1) 2．下列一元二次方程中，常数项为 0 的是(D) A．x 2＋x＝1 B．2x2－x－12＝0 C．2(x2－1)＝3(x－1) D．2(x2＋1)＝x＋2 3．一个关于 x 的一元二次方程，它的二次项系数为 2，一次项系数为 3，常数项为－5，则 这个一元二次方程是 2x2＋3x－5＝0． 4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项： (1)2x2＝8； 解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为 2，一次项系数为 0，常数项为－8. (2)2x2＋5＝4x；
解:移项,得一元二次方程的一般形式:2x2-4x+5=0 其中二次项系数为2,一次项系数为-4,常数项为5 (34y(y+3)=0 解:去括号,得一元二次方程的一般形式:4y2+12y=0 其中二次项系数为4,一次项系数为12,常数项为0 (4)(x-2)2x+1)=x2+2 解:去括号,得2x2+x-4x-2=x2+2 移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式: x2-3x-4=0 其中二次项系数为1,一次项系数为一3,常数项为-4 知识点2一元二次方程的根 5.下列是方程3x2+x-2=0的解的是(A) 6.下表是某同学求代数式x2-x的值的情况,根据表格可知方程x2-x=2的根是①D)
解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0. 其中二次项系数为 2，一次项系数为－4，常数项为 5. (3)4y(y＋3)＝0； 解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y＝0. 其中二次项系数为 4，一次项系数为 12，常数项为 0. (4)(x－2)(2x＋1)＝x 2＋2. 解：去括号，得 2x2＋x－4x－2＝x 2＋2. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式： x 2－3x－4＝0. 其中二次项系数为 1，一次项系数为－3，常数项为－4. 知识点 2 一元二次方程的根 5．下列是方程 3x2＋x－2＝0 的解的是(A) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2 6．下表是某同学求代数式 x 2－x 的值的情况，根据表格可知方程 x 2－x＝2 的根是(D)
0026 1或x=2 7.(山西第二次质量评估)若x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解 则m的值为1. 知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 8.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地,它的长比宽多11米,设场地的 宽为x米,则可列方程为(C) A.x(x-11)=180 B.2x+2(x-11)=180 C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180 9.(教材P2问题1变式)阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长80cm,宽70cm 的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm 的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱,根据题 意列方程为(C) (80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4x2=3000 C.(80-2x)(70-2x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)X=3000
x －2 －1 0 1 2 3 … x 2－x 6 2 0 0 2 6 … A.x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝－1 或 x＝2 7．(山西第二次质量评估)若 x＝－1 是关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x＋m＋1＝0 的一个解， 则 m 的值为 1． 知识点 3 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 8．某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的 宽为 x 米，则可列方程为(C) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 9．(教材 P2 问题 1 变式)(阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为 x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 3 000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题 意列方程为(C) A．(80－x)(70－x)＝3 000 B．80×70－4x2＝3 000 C．(80－2x)(70－2x)＝3 000 D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3 000
10.有一根20m长的绳子,怎样用它围成一个面积为24m2的矩形?设矩形的长为xm, 依题意可得方程为x(10-x)=24. 11.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式 (1)正方体的表面积为36,求正方体的边长x; (2x支球队参加篮球赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,一共进行了15场比赛,求参 赛的篮球队支数x 解:(1)6x2=36 般形式为6x2-36=0 (22xx-1)=15 般形式为2x2-2x-15=0或x2-x-30=0 易错点忽视一元二次方程二次项的系数不为零 12.若(m+1)x++6x-2=0是关于x的一元二次方程,则m的值为1 02中档题 13.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2018-a-b的值是(A) A.2023 B.2013 018 D.2012 14.(阳泉市盂县期末)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则 a-b的值为(C) 15.若关于x的一元二次方程(a-2x2-(a2-4x+8=0不含一次项,则a==2
10．有一根 20 m 长的绳子，怎样用它围成一个面积为 24 m2的矩形？设矩形的长为 x m， 依题意可得方程为 x(10－x)＝24． 11．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为 36，求正方体的边长 x； (2)x 支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 15 场比赛，求参 赛的篮球队支数 x. 解：(1)6x2＝36. 一般形式为 6x2－36＝0. (2) x(x－1)＝15. 1 2 一般形式为 x 2－ x－15＝0 或 x 2－x－30＝0. 1 2 1 2 易错点 忽视一元二次方程二次项的系数不为零 12．若(m＋1)x|m|＋1＋6x－2＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 1． 02 中档题 13．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是 x＝1，则 2 018－a－b 的值是(A) A．2 023 B．2 013 C．2 018 D．2 012 14．(阳泉市盂县期末) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋ax＋b＝0 有一个非零根－b，则 a－b 的值为(C) A．－1 B．0 C．1 D．－2 15．若关于 x 的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8＝0 不含一次项，则 a＝－2．
16.小明用30cm的铁丝围成一斜边长等于13cm的直角三角形,设该直角三角形的一直 角边长为xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,列方程得x2+(17-x)2=132 17.如果一5是一元二次方程x2=c2的一个根,那么常数c是±5,方程的另一根是5 18.(临汾市襄汾县期末)已知a,b是方程x2-2x-1=0的两根,且 a2-2b2-2a+4b+m=0,则m=1 19.根据下面的问题列出关于x的方程,并将方程化成一般形式: 在圣诞节到来之际,九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺,所有同学送完后共送了870 张,求九(四)班有多少名同学 解:设九(四)班有x名同学,根据题意,得 x(x-1)=870. 将方程化成一般形式为x2-x-870=0 20.已知关于x的方程(m+3m-3)x2+(m+3)+2=0 (1)当m为何值时,此方程是一元一次方程? (2)当m为何值时,此方程是一元二次方程? 解:(1)由题意,得(m+3)m-3)=0且m+3≠0, 所以m-3=0,即m=3 (2)由题意,得(m+3)m-3)≠0,即m≠±3 03综合题
16．小明用 30 cm 的铁丝围成一斜边长等于 13 cm 的直角三角形，设该直角三角形的一直 角边长为 x cm，则另一直角边长为(17－x) cm，列方程得 x 2＋(17－x)2＝132． 17．如果－5 是一元二次方程 x 2＝c 2的一个根，那么常数 c 是±5，方程的另一根是 5． 18．(临汾市襄汾县期末)已知 a，b 是方程 x 2－2x－1＝0 的两根，且 a 2－2b2－2a＋4b＋m＝0，则 m＝1． 19．根据下面的问题列出关于 x 的方程，并将方程化成一般形式： 在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了 870 张，求九(四)班有多少名同学． 解：设九(四)班有 x 名同学，根据题意，得 x(x－1)＝870. 将方程化成一般形式为 x 2－x－870＝0. 20．已知关于 x 的方程(m＋3)(m－3)x2＋(m＋3)x＋2＝0. (1)当 m 为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当 m 为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)由题意，得(m＋3)(m－3)＝0 且 m＋3≠0， 所以 m－3＝0，即 m＝3. (2)由题意，得(m＋3)(m－3)≠0，即 m≠±3. 03 综合题
21.若x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.张敏是这样考虑的: 12a+b=2 满足条件的a,b必须满足\a-b=2,你说张敏的这种想法全面吗?若不全面,请你说明 其余满足的条件 解:张敏的这种想法不全面 由x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程,得 2a+b=2,(2a+b=2,(2a+b=2,(2a+b=1,(2a+b=0 a-b=0,或a-b=1,或a-b=2,或a-b=2,)或
21．若 x 2a＋b－2xa－b＋3＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 a，b 的值．张敏是这样考虑的： 满足条件的 a，b 必须满足{ 你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明 2a＋b＝2， a－b＝2， ) 其余满足的条件． 解：张敏的这种想法不全面． 由 x 2a＋b－2xa－b＋3＝0 是关于 x 的一元二次方程，得 { 或 或 或 或 2a＋b＝2， a－b＝0， ) { 2a＋b＝2， a－b＝1， ) { 2a＋b＝2， a－b＝2， ) { 2a＋b＝1， a－b＝2， ) { 2a＋b＝0， a－b＝2. )